해석학 및 일반위상수학 에서 균등 수렴 (均等收斂, 영어 : uniform convergence ) 또는 고른 수렴 또는 평등 수렴 (平等收斂) 또는 일양 수렴 (一樣收斂)은 함수열이 모든 점에서 “동일한 속도”로 주어진 함수로 수렴하는 성질이다. 점별 수렴 보다 더 강한 개념이며, 점별 수렴이 보존하지 않는 여러 성질을 보존한다. 예를 들어, 연속 함수 의 열의 균등 극한은 연속 함수다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
집합 X {\displaystyle X} 균등 공간 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} 함수 의 그물 ( f n : X → Y ) n ∈ ( N , ≲ ) {\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}} 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 만약 이들이 다음 조건을 만족시킨다면, ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in N}} f {\displaystyle f} 균등 수렴 한다고 하며, f {\displaystyle f} ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in N}} 균등 극한 이라고 한다.
임의의 측근 ϵ ∈ E Y {\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}} N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in N} 임의의 n ≳ N ϵ {\displaystyle n\gtrsim N_{\epsilon }} x ∈ X {\displaystyle x\in X} f n ( x ) ≈ ϵ f ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\approx _{\epsilon }f(x)} 이는 흔히
f n ⇉ f {\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f} 라고 쓴다. 예를 들어, 만약 Y = R {\displaystyle Y=\mathbb {R} } 실수선 이며, 함수의 그물 ( f n : X → R ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }}
임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} } 임의의 n ≥ N ϵ {\displaystyle n\geq N_{\epsilon }} x ∈ X {\displaystyle x\in X} | f n ( x ) − f ( x ) | ≤ ϵ {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \epsilon } 사실, 균등 수렴은 함수 집합 Y X {\displaystyle Y^{X}} 균등 수렴 위상 에서의 수렴 이다. 특히, Y = R {\displaystyle Y=\mathbb {R} } R X {\displaystyle \mathbb {R} ^{X}} 균등 거리 함수
d ( f , g ) = sup x ∈ X | f ( x ) − g ( x ) | {\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|} 로부터 유도되는 위상에 대한 수렴이다.
집합 X {\displaystyle X} 정의역 으로 하고 균등 공간 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} 공역 으로 하는 함수 의 그물 ( f n : X → Y ) n ∈ ( N , ≲ ) {\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}} 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in N}} f {\displaystyle f} 점별 수렴 한다.
집합 X {\displaystyle X} 정의역 으로 하고 아벨 위상군 ( Y , + ) {\displaystyle (Y,+)} 공역 으로 하는 함수열 ( f n : X → Y ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in \mathbb {N} }} ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 0 : X → Y {\displaystyle 0\colon X\to Y}
집합 X {\displaystyle X} 정의역 으로 하고 완비 균등 공간 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} 공역 으로 하는 함수 의 그물 ( f n : X → Y ) n ∈ ( N , ≲ ) {\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}} 동치 다.
f n {\displaystyle f_{n}} f n {\displaystyle f_{n}} Y X {\displaystyle Y^{X}} 균등 수렴 균등 구조 에 대하여) 코시 그물 이다. 즉, 임의의 측근 ϵ ∈ E Y {\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}} N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in N} 임의의 m , n ≳ N ϵ {\displaystyle m,n\gtrsim N_{\epsilon }} x ∈ X {\displaystyle x\in X} f m ( x ) ≈ ϵ f n ( x ) {\displaystyle f_{m}(x)\approx _{\epsilon }f_{n}(x)} (표준적인 균등 구조를 갖춘) 실수선 Y = R {\displaystyle Y=\mathbb {R} } 완비 균등 공간 이다. 또한, 함수의 열 ( f n : X → Y ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in \mathbb {N} }}
임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} } 임의의 m , n ≥ N ϵ {\displaystyle m,n\geq N_{\epsilon }} x ∈ X {\displaystyle x\in X} | f m ( x ) − f n ( x ) | ≤ ϵ {\displaystyle |f_{m}(x)-f_{n}(x)|\leq \epsilon } 만약 Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} 한원소 집합 인 경우를 생각할 수 있다.
균등 수렴을 위한 다양한 수렴 판정법 이 존재한다.
위상 공간 X {\displaystyle X} 정의역 으로 하고 균등 공간 ( Y , E Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})} 공역 으로 하는 연속 함수 의 그물 ( f n : X → Y ) n ∈ ( N , ≲ ) {\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}} 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} f {\displaystyle f} 연속 함수 다.
반대로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
콤팩트 공간 X {\displaystyle X} 연속 함수 의 단조 그물 ( f n : X → R ) n ∈ ( N , ≲ ) {\displaystyle (f_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n\in (N,\lesssim )}} (연속 함수의 그물) 모든 f n {\displaystyle f_{n}} 연속 함수 다. (단조 그물) 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} n ≲ n ′ {\displaystyle n\lesssim n'} f n ( x ) ≤ f n ′ ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n'}(x)} 연속 함수 f : X → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } 디니 정리 f n {\displaystyle f_{n}} f {\displaystyle f} 점별 수렴 한다면, f n {\displaystyle f_{n}} f {\displaystyle f} X {\displaystyle X} 콤팩트 공간 이라고 가정하지 않으면 참이 아니다. 예를 들어, 연속 함수 의 단조열 ( x ↦ x n ) : ( 0 , 1 ) → R {\displaystyle (x\mapsto x^{n})\colon (0,1)\to \mathbb {R} } n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 연속 함수 0으로 점별 수렴 하지만, 이는 균등 수렴이 아니다. 단조 그물의 가정 역시 필수적이다. 예를 들어, 연속 함수 의 열 ( x ↦ n x exp ( − n x 2 ) ) : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle (x\mapsto nx\exp(-nx^{2}))\colon [0,1]\to \mathbb {R} } 연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다.
임의의 양의 실수 ϵ ∈ R + {\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}} n ∈ N {\displaystyle n\in N}
K ϵ , n = { x ∈ X : | f ( x ) − f n ( x ) | ≥ ϵ } ⊆ X {\displaystyle K_{\epsilon ,n}=\{x\in X\colon |f(x)-f_{n}(x)|\geq \epsilon \}\subseteq X} 라고 정의하자. K ϵ , n {\displaystyle K_{\epsilon ,n}} 콤팩트 공간 X {\displaystyle X} 닫힌집합 이며, 따라서 콤팩트 집합 이다. 임의의 n ≲ n ′ {\displaystyle n\lesssim n'}
| f ( x ) − f n ( x ) | = f ( x ) − f n ( x ) ≳ f ( x ) − f n ′ ( x ) = | f ( x ) − f n ′ ( x ) | {\displaystyle |f(x)-f_{n}(x)|=f(x)-f_{n}(x)\gtrsim f(x)-f_{n'}(x)=|f(x)-f_{n'}(x)|} 이므로, K n ⊃ K n ′ {\displaystyle K_{n}\supset K_{n'}} ( K ϵ , n ) n ∈ N {\displaystyle (K_{\epsilon ,n})_{n\in N}} 하향 집합 을 이룬다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ( f n ( x ) ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}(x))_{n\in N}} f ( x ) {\displaystyle f(x)} x ∉ K ϵ , n {\displaystyle x\not \in K_{\epsilon ,n}} n ∈ N {\displaystyle n\in N} ⋂ n ∈ N K ϵ , n = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap _{n\in N}K_{\epsilon ,n}=\varnothing } 칸토어 교점 정리 에 따라, K ϵ , N ϵ = ∅ {\displaystyle K_{\epsilon ,N_{\epsilon }}=\varnothing } N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in N} n ≳ N ϵ {\displaystyle n\gtrsim N_{\epsilon }} K ϵ , n = ∅ {\displaystyle K_{\epsilon ,n}=\varnothing } ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in N}} f {\displaystyle f}
리만 적분 가능 함수 의 열 ( f n : [ a , b ] → R ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }} 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } f {\displaystyle f} 리만 적분 가능 함수 이며, 또한
∫ a b f d x = lim n → ∞ ∫ a b f n d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx} 이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
미분 가능 함수 의 열 ( f n : [ a , b ] → R ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }} 함수 g : [ a , b ] → R {\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 또한, 이들이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
lim n → ∞ f n ( x 0 ) ∈ R {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})\in \mathbb {R} } x 0 ∈ [ a , b ] {\displaystyle x_{0}\in [a,b]} f n ′ {\displaystyle f_{n}'} g {\displaystyle g} 그렇다면, 다음이 성립한다.
f n {\displaystyle f_{n}} 미분 가능 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } f ′ = g {\displaystyle f'=g} 복소평면 의 열린집합 U ⊆ C {\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} } 정의역 으로 하는 복소수 값 정칙 함수 의 열 ( f n : U → C ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}\colon U\to \mathbb {C} )_{n\in \mathbb {N} }} 함수 f : U → C {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} } f {\displaystyle f} 정칙 함수 다. 이는 모레라 정리 의 따름정리다.
함수열
f n : [ 0 , 1 ] → R ( n ∈ Z + ) {\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\to \mathbb {R} \qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})} 을 생각하자. 만약
f n ( x ) = x / n ( ∀ n ∈ Z + , x ∈ [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle f_{n}(x)=x/n\qquad (\forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in [0,1])} 라면, f n {\displaystyle f_{n}}
f n ( x ) = x n ( ∀ n ∈ Z + , x ∈ [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}\qquad (\forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in [0,1])} 라면, f n {\displaystyle f_{n}}
f : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} } f ( x ) = { 0 x ∈ [ 0 , 1 ) 1 x = 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x\in [0,1)\\1&x=1\end{cases}}} 로 점별 수렴 하지만, 균등 수렴하지 않는다.
![{\displaystyle (x\mapsto nx\exp(-nx^{2}))\colon [0,1]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28a76b1c244960751fe16b415dcca8016a2a2f5)
![{\displaystyle (f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7397aac0fbc25efb9126a13028d88ea795725367)
![{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ab61178bf5349838758ffe3d96135406ed0245)
![{\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38132af5ea7cd916293fe93f29187bd461a5e270)
![{\displaystyle x_{0}\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06636653315ee7c3b5dc9bdb6ac3fb8cccadc145)
![{\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\to \mathbb {R} \qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e6ebeed84f93d262acaae7f834fab255cf62b4)
![{\displaystyle f_{n}(x)=x/n\qquad (\forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in [0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c8f760a324623319802469479a56c68567ae1d3)
![{\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}\qquad (\forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in [0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7860c7789304d065411622cc494d34d96eb483)
![{\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972965f41326a60c0c47be81b271ffbc231e180e)
