평균값 정리

함수 ${\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle g(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}$

(즉, ${\displaystyle g}$는 ${\displaystyle f}$에서 ${\displaystyle f}$의 양 끝점을 잇는 직선을 뺀 차와 같다.) 그렇다면, ${\displaystyle g}$는 연속 함수이며, ${\displaystyle (a,b)}$에서 미분 가능하며,

${\displaystyle g(a)=g(b)=0}$

이다. 롤의 정리에 따라, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle c\in (a,b)}$가 존재한다.

${\displaystyle 0=g'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

다르부 정리에 따라, 임의의 ${\displaystyle x\in [a,b]}$에 대하여 ${\displaystyle g'(x)>0}$이거나, 임의의 ${\displaystyle x\in [a,b]}$에 대하여 ${\displaystyle g'(x)<0}$이다. 함수 ${\displaystyle h\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle h(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}(g(x)-g(a))}$

그렇다면, ${\displaystyle h}$는 연속 함수이며, ${\displaystyle (a,b)}$에서 미분 가능하며,

${\displaystyle h(a)=h(b)=0}$

이다. 롤의 정리에 따라, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle c\in (a,b)}$가 존재한다.

${\displaystyle 0=h'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c)}$

함수

${\displaystyle D\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}}$

에 롤의 정리를 적용한다.

함수 ${\displaystyle g\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle g(t)=f((1-t)\mathbf {x} +t\mathbf {y} )}$

그렇다면, ${\displaystyle g}$는 미분 가능 함수이다. 평균값 정리에 따라, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle t_{0}\in (0,1)}$가 존재한다.

${\displaystyle 0=g'(t_{0})=f'(g(t_{0}))\cdot (\mathbf {y} -\mathbf {x} )}$

편의상 ${\displaystyle g\colon [a,b]\to [0,\infty )}$라고 가정하자.

${\displaystyle m=\inf f\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle M=\sup f\in \mathbb {R} }$

라고 하자. 임의의 ${\displaystyle x\in [a,b]}$에 대하여

${\displaystyle mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)}$

이므로,

${\displaystyle m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)dx}$

이다. 만약

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx=0}$

이라면, 위 부등식에 따라

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0}$

이다. 이 경우 임의의 ${\displaystyle c\in (a,b)}$를 취한다. 만약

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx\neq 0}$

${\displaystyle m<{\frac {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}}<M}$

이라면, 중간값 정리에 따라 다음을 만족시키는 ${\displaystyle c\in (a,b)}$가 존재한다.

${\displaystyle f(c)={\frac {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}}}$

이제 나머지 경우를 증명하자. 편의상

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx\neq 0}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=M\int _{a}^{b}g(x)dx}$

라고 가정하자. 항상 ${\displaystyle f(x)g(x)\leq Mg(x)}$이므로, 가정에 따라 거의 모든 ${\displaystyle x\in [a,b]}$에 대하여 ${\displaystyle f(x)g(x)=Mg(x)}$이다. 마찬가지로, 항상 ${\displaystyle g(x)\geq 0}$이므로, ${\displaystyle g(x)>0}$인 ${\displaystyle x\in [a,b]}$는 양의 르베그 측도의 집합을 이룬다. 마지막으로, 두 끝점 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$는 영집합을 이룬다. 따라서,

${\displaystyle f(x)g(x)=Mg(x)}$

${\displaystyle g(x)>0}$

${\displaystyle x\neq a,b}$

인 ${\displaystyle x\in [a,b]}$의 집합은 양의 르베그 측도를 가지며, 특히 공집합이 아니다. 즉,

${\displaystyle f(c)=M={\frac {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}}}$

인 ${\displaystyle c\in (a,b)}$가 존재한다.

임의의 감소함수 ${\displaystyle f\colon [a,b]\to [0,\infty )}$에 대하여, ${\displaystyle f_{1}\colon [a,b]\to [0,\infty )}$, ${\displaystyle f_{1}(x)=f(a+b-x)}$는 증가함수이다. 임의의 증가함수 ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$에 대하여, ${\displaystyle f_{2}\colon [a,b]\to [0,\infty )}$, ${\displaystyle f_{2}(x)=f(x)-f(a)}$는 증가함수이며, 음이 아닌 값을 갖는다. 임의의 감소함수 ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$에 대하여, ${\displaystyle f_{3}\colon [a,b]\to [0,\infty )}$, ${\displaystyle f_{3}(x)=f(x)-f(b)}$는 감소함수이며, 음이 아닌 값을 갖는다. 따라서, 첫 번째 명제를 증명하는 것으로 족하다.

증가함수 ${\displaystyle f\colon [a,b]\to [0,\infty )}$ 및 리만 적분 가능 함수 ${\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle f}$ 역시 리만 적분 가능하며, ${\displaystyle g}$는 유계 함수이다. 따라서, 임의의 구간 분할

${\displaystyle P=(x_{0}^{P},x_{1}^{P},\dots ,x_{n_{P}}^{P})\in \operatorname {part} ([a,b])}$

${\displaystyle a=x_{0}^{P}<x_{1}^{P}<\cdots <x_{n_{P}}^{P}=b}$

에 대하여,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sum _{i=1}^{n_{P}}\int _{x_{i-1}^{P}}^{x_{i}^{P}}(f(x)-f(x_{i}^{P}))g(x)\,dx\right|&\leq (\sup |g|)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n_{P}}\left(\sup _{x\in [x_{i-1}^{P},x_{i}^{P}]}f(x)\right)(x_{i}^{P}-x_{i-1}^{P})-\sum _{i=1}^{n_{P}}\left(\inf _{x\in [x_{i-1}^{P},x_{i}^{P}]}f(x)\right)(x_{i}^{P}-x_{i-1}^{P})\right)\\&\to (\sup |g|)\cdot \left({\mathcal {U}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\mathcal {L}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\qquad (P\in \operatorname {part} ([a,b]))\\&=0\end{aligned}}}$

이다. (여기서

${\displaystyle {\mathcal {U}}\int _{a}^{b}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\int _{a}^{b}}$

는 리만 상적분·리만 하적분이다. ${\displaystyle f}$는 리만 적분 가능하므로 상적분과 하적분이 같다.)

${\displaystyle h\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle h(x)=\int _{x}^{b}g(t)\,dt}$

라고 하자. 제1 미적분학의 기본 정리에 의하여, ${\displaystyle h}$는 연속 함수다.

${\displaystyle m=\inf h\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle M=\sup h\in \mathbb {R} }$

라고 하자. 이제, 아벨 변환을 통하여 적분의 상계와 하계를 다음과 같이 구할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{n_{P}}\int _{x_{i-1}^{P}}^{x_{i}^{P}}f(x)g(x)\,dx\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{n_{P}}f(x_{i}^{P})\int _{x_{i-1}^{P}}^{x_{i}^{P}}g(x)\,dx\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{n_{P}}f(x_{i}^{P})(h(x_{i-1}^{P})-h(x_{i}^{P}))\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(b)(h(a)-h(b))+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i}^{P})-f(x_{i+1}^{P}))(h(a)-h(x_{i}^{P})\right)\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(b)h(a)+h(a)\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i}^{P})-f(x_{i+1}^{P}))+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))h(x_{i}^{P})\right)\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(x_{1})h(a)+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))h(x_{i}^{P})\right)\\&\geq \lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(mf(x_{1})+m\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))\right)\\&=mf(b)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(x_{1})h(a)+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))h(x_{i}^{P})\right)\\&\leq \lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(Mf(x_{1})+M\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))\right)\\&=Mf(b)\end{aligned}}}$

중간값 정리에 따라, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle c\in [a,b]}$가 존재한다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=h(c)f(b)=f(b)\int _{c}^{b}g(x)\,dx}$

코시의 적분공식에서 폐곡선을 원으로 취하면 즉시 얻을 수 있다.