미적분학의 기본 정리 (微積分學의基本定理, 영어 : fundamental theorem of calculus )는 미분 과 적분 을 서로 연관시키는 정리이다. 미적분학의 기본 정리와 그 증명은 제임스 그레고리(1638–1675)가 발표하였으며, 아이작 베로우(1630–1677)는 더욱 일반적인 경우를 증명하였다. 이후 아이작 베로우의 제자인 아이작 뉴턴이 미적분학의 기본 정리를 완성시켰고, 이 정리의 제안과 증명으로부터 적분과 미분이 통합된 미적분학 이 창시되었다. 독일의 라이프니츠 역시 뉴턴과는 독자적으로 미적분학의 기본 정리의 최종형태를 발견했고, dx와 dy와 같은 무한소를 나타내는 기호를 도입함으로써 미적분학의 발전에 크게 기여하였다.
미적분학의 기본 정리는 두 결과로 구성되며, 이 둘 가운데 하나를 뜻하기도 한다. 미적분학의 제1 기본 정리 는 미분과 적분이 서로 역연산 관계에 있다는 정리이다. 이 정리는 관련이 없어 보이는 두 수학이 아주 긴밀한 관계를 가지고 있음을 보여준다. 미적분학의 제2 기본 정리 는 정적분 을 부정적분 의 차로 간단히 계산할 수 있음을 의미한다. 이 정리가 있기에 계산이 힘든 리만 합 의 극한을 매번 계산할 필요 없이 간단히 부정적분을 사용해 정적분의 값을 계산할 수 있다.
빨간색 영역의 넓이는 정확히 A ( x + h ) − A ( x ) {\displaystyle A(x+h)-A(x)} h {\displaystyle h} f ( x ) h {\displaystyle f(x)h} 연속 함수 f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } ( t , y ) {\displaystyle (t,y)} 데카르트 좌표계 를 추가한 평면 위의 곡선으로 나타낼 수 있다. 만약 항상 f ( t ) ≥ 0 {\displaystyle f(t)\geq 0} t = x {\displaystyle t=x} A ( x ) {\displaystyle A(x)} 리만 적분
A ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t {\displaystyle A(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt} 으로 주어진다. 작은 실수 h > 0 {\displaystyle h>0} A ( x + h ) − A ( x ) {\displaystyle A(x+h)-A(x)} t = x {\displaystyle t=x} t = x + h {\displaystyle t=x+h}
A ( x + h ) − A ( x ) ≈ f ( x ) h {\displaystyle A(x+h)-A(x)\approx f(x)h} 로 근사할 수 있다. 따라서, h {\displaystyle h}
A ( x + h ) − A ( x ) h ≈ f ( x ) {\displaystyle {\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}\approx f(x)} 이다. 이 근사는 절댓값 이 작은 h < 0 {\displaystyle h<0} t = x {\displaystyle t=x} t = x + h {\displaystyle t=x+h} 기울기 이며, A {\displaystyle A} x {\displaystyle x} 미분 A ′ ( x ) {\displaystyle A'(x)} 극한
A ′ ( x ) = lim h → 0 A ( x + h ) − A ( x ) h {\displaystyle A'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}} 으로 주어진다. 따라서,
A ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle A'(x)=f(x)} 이다.
물론 직관적인 관찰에는 직사각형 넓이와 실제 넓이의 오차에 대한 고려가 빠져 있다. 사실, f {\displaystyle f} 연속 함수 이므로, h {\displaystyle h} t ∈ [ x , x + h ] {\displaystyle t\in [x,x+h]} f ( t ) {\displaystyle f(t)} f ( t ) {\displaystyle f(t)} t ∈ [ x , x + h ] {\displaystyle t\in [x,x+h]} m {\displaystyle m} M {\displaystyle M}
m h ≤ A ( x + h ) − A ( x ) ≤ M h {\displaystyle mh\leq A(x+h)-A(x)\leq Mh} m h ≤ f ( x ) h ≤ M h {\displaystyle mh\leq f(x)h\leq Mh} 에 속한다. 따라서, 기울기와 그 근삿값 f ( x ) {\displaystyle f(x)} M − m {\displaystyle M-m}
| A ( x + h ) − A ( x ) h − f ( x ) | ≤ M − m {\displaystyle \left|{\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}-f(x)\right|\leq M-m} h {\displaystyle h} f {\displaystyle f} M − m {\displaystyle M-m}
어떤 물체가 직선 위에서 시간 t ∈ [ t 0 , t 1 ] {\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]} 속도 v ( t ) ≥ 0 {\displaystyle v(t)\geq 0} 변위 Δ s {\displaystyle \Delta s} 연속 함수 ), 시간 t ∈ [ t 0 , t 1 ] {\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]} 리만 적분
Δ s = ∫ t 0 t 1 v ( t ) d t {\displaystyle \Delta s=\int _{t_{0}}^{t_{1}}v(t)\,dt} 과 같다. 또한, t 0 {\displaystyle t_{0}} t 1 {\displaystyle t_{1}}
Δ s = s ( t 1 ) − s ( t 0 ) {\displaystyle \Delta s=s(t_{1})-s(t_{0})} 와 같다. 따라서, 다음이 성립한다.
∫ t 0 t 1 v ( t ) d t = s ( t 1 ) − s ( t 0 ) {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}v(t)\,dt=s(t_{1})-s(t_{0})} 즉, 상수를 더하는 차이를 무시하면, 변위는 속도의 적분과 같다. 다른 한편, 속도는 정의에 따라 변위의 미분 이다.
v ( t ) = s ′ ( t ) = lim Δ t → 0 s ( t + Δ t ) − s ( t ) Δ t {\displaystyle v(t)=s'(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}} 미적분학의 기본 정리 리만 적분 가능 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } F : [ a , b ] → R {\displaystyle F\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t ( ∀ x ∈ [ a , b ] ) {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\qquad (\forall x\in [a,b])} 미적분학의 제1 기본 정리 에 따르면, 다음이 성립한다.
F {\displaystyle F} 립시츠 연속 함수 이다. 따라서, F {\displaystyle F} 균등 연속 함수 이며, 연속 함수 이다.만약 f {\displaystyle f} 연속 함수 라면, F {\displaystyle F} 미분 가능 함수 이며, 그 미분은 F ′ = f {\displaystyle F'=f} 함수 f {\displaystyle f} 유계 함수 이다. 즉,
M = sup t ∈ [ a , b ] | f ( t ) | < ∞ {\displaystyle M=\sup _{t\in [a,b]}|f(t)|<\infty } 이다. 따라서, 임의의 a ≤ x ≤ y ≤ b {\displaystyle a\leq x\leq y\leq b}
| F ( y ) − F ( x ) | = | ∫ a y f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t | = | ∫ x y f ( t ) d t | ≤ ∫ x y | f ( t ) | d t ≤ M ( y − x ) {\displaystyle |F(y)-F(x)|=\left|\int _{a}^{y}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right|=\left|\int _{x}^{y}f(t)\,dt\right|\leq \int _{x}^{y}|f(t)|\,dt\leq M(y-x)} 이다. 즉, F {\displaystyle F} 립시츠 연속 함수 이다.
이제, f {\displaystyle f} 연속 함수 라고 가정하고, 임의의 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} f {\displaystyle f}
| f ( t ) − f ( x ) | < ϵ ( ∀ t ∈ ( x − δ , x + δ ) ∩ [ a , b ] ) {\displaystyle |f(t)-f(x)|<\epsilon \qquad (\forall t\in (x-\delta ,x+\delta )\cap [a,b])} 인 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} y ∈ ( ( x − δ , x ) ∪ ( x + δ ) ) ∩ [ a , b ] {\displaystyle y\in ((x-\delta ,x)\cup (x+\delta ))\cap [a,b]}
| F ( y ) − F ( x ) y − x − f ( x ) | = | 1 y − x ∫ x y f ( t ) d t − 1 y − x ∫ x y f ( x ) d t | = | 1 y − x ∫ x y ( f ( t ) − f ( x ) ) d t | < ϵ {\displaystyle \left|{\frac {F(y)-F(x)}{y-x}}-f(x)\right|=\left|{\frac {1}{y-x}}\int _{x}^{y}f(t)\,dt-{\frac {1}{y-x}}\int _{x}^{y}f(x)\,dt\right|=\left|{\frac {1}{y-x}}\int _{x}^{y}(f(t)-f(x))\,dt\right|<\epsilon } 이다. 따라서, F {\displaystyle F} x {\displaystyle x} F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle F'(x)=f(x)}
리만 적분 가능 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } F ′ = f {\displaystyle F'=f} 미분 가능 함수 F : [ a , b ] → R {\displaystyle F\colon [a,b]\to \mathbb {R} } F {\displaystyle F} f {\displaystyle f} 부정적분 이다). 미적분학의 제2 기본 정리 에 따르면, 다음 등식이 성립한다.
∫ a b f ( t ) d t = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)} 폐구간 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}
P = ( x 0 P , x 1 P , … , x n ( P ) P ) {\displaystyle P=(x_{0}^{P},x_{1}^{P},\dots ,x_{n(P)}^{P})} a = x 0 P < x 1 P < ⋯ < x n ( P ) P = b {\displaystyle a=x_{0}^{P}<x_{1}^{P}<\cdots <x_{n(P)}^{P}=b} 을 생각하자. 평균값 정리 에 따라, 각 i = 1 , … , n ( P ) {\displaystyle i=1,\dots ,n(P)}
F ( x i P ) − F ( x i − 1 P ) = f ( ξ i P ) ( x i P − x i − 1 P ) {\displaystyle F(x_{i}^{P})-F(x_{i-1}^{P})=f(\xi _{i}^{P})(x_{i}^{P}-x_{i-1}^{P})} 인 ξ i P ∈ ( x i − 1 P , x i P ) {\displaystyle \xi _{i}^{P}\in (x_{i-1}^{P},x_{i}^{P})} i {\displaystyle i}
F ( b ) − F ( a ) = ∑ i = 1 n ( P ) f ( ξ i P ) ( x i P − x i − 1 P ) {\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n(P)}f(\xi _{i}^{P})(x_{i}^{P}-x_{i-1}^{P})} 을 얻는다. 우변은 f {\displaystyle f} P {\displaystyle P} 리만 합 이므로, 분할 P {\displaystyle P} 리만 적분
F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( t ) d t {\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt} 을 얻는다.
르베그 적분 은 리만 적분 을 효과적으로 일반화한다. 구체적으로, 모든 리만 적분 가능 함수는 르베그 적분 을 가지며, 이는 리만 적분 과 일치한다. 미적분학의 기본 정리의 르베그 적분 형태가 존재하며, 다음과 같다. 르베그 적분 을 갖는 가측 함수 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
F : [ a , b ] → R {\displaystyle F\colon [a,b]\to \mathbb {R} } F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t ( ∀ x ∈ [ a , b ] ) {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\qquad (\forall x\in [a,b])} 는 절대 연속 함수 이며, 거의 모든 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle F'(x)=f(x)} 미분 가능 함수 F : [ a , b ] → R {\displaystyle F\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 도함수 F ′ = f {\displaystyle F'=f} 르베그 적분 을 갖는다면,
∫ a b f ( t ) d t = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)} 이다.
미적분학의 기본 정리는 폐구간 및 0-형식 에 대한 스토크스 정리 와 같다.
![{\displaystyle t\in [x,x+h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7755cf92fd927bba783907054f6ac416970739)
![{\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b698b33a7f49fc270026c5ecaaad66a0e9e588a)
.gif)
![{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ab61178bf5349838758ffe3d96135406ed0245)
![{\displaystyle F\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22aae183016ffbb759663208b693d6a28be4e69e)
![{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\qquad (\forall x\in [a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/638b5668d7153ce65d559ec56afa1701cefdbb8f)
![{\displaystyle M=\sup _{t\in [a,b]}|f(t)|<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4052d13c2a58f03b2e82ea921575cd5f4806794)
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
![{\displaystyle |f(t)-f(x)|<\epsilon \qquad (\forall t\in (x-\delta ,x+\delta )\cap [a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b557f844066d3b820d88c8b72f07d468792e00a4)
![{\displaystyle y\in ((x-\delta ,x)\cup (x+\delta ))\cap [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1589996f15f1d6c3b0dd5ff1167c28113c08acd5)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
이 부분의 본문은 스토크스 정리입니다.