부정적분

미적분학에서 부정적분(不定積分, 영어: indefinite integral)은 어떤 함수를 도함수로 하는 모든 함수를 구하는 연산이다. 부정적분이 존재할 경우, 이는 항상 고정된 함수와 임의의 상수의 합의 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 상수만큼의 차를 무시하면 부정적분은 미분 또는 도함수를 구하는 연산의 역연산이다.

함수 ${\displaystyle f(x)}$ (${\displaystyle x\in I}$)가 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle F(x)}$ (${\displaystyle x\in I}$)가 존재한다면, 이를 ${\displaystyle f(x)}$의 원함수(原函數, 영어: antiderivative) 또는 역도함수(逆導函數)라고 한다.

${\displaystyle F'(x)=f(x)\qquad \forall x\in I}$

함수 ${\displaystyle f(x)}$ (${\displaystyle x\in I}$)의 한 원함수 ${\displaystyle F(x)}$가 존재할 경우, ${\displaystyle f(x)}$의 모든 원함수는 정확히 다음과 같다.

${\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x=F(x)+C}$

이를 ${\displaystyle f(x)}$의 부정적분이라고 한다. 여기서 ${\displaystyle C}$는 임의의 상수이며, 이를 적분상수라고 부른다. 부정적분이 항상 위와 같은 꼴임은 다음과 같이 증명할 수 있다. 우선 임의의 상수 ${\displaystyle C}$에 대하여, ${\displaystyle (C)'=0}$이므로, ${\displaystyle (F(x)+C)'=f(x)}$이다. 즉, ${\displaystyle F(x)+C}$는 ${\displaystyle f(x)}$의 원함수이다. 또한 임의의 원함수 ${\displaystyle G(x)}$에 대하여, ${\displaystyle (G(x)-F(x))'=0}$이므로, 평균값 정리에 따라 ${\displaystyle G(x)-F(x)}$는 상수 함수이다. 따라서 ${\displaystyle G(x)}$는 ${\displaystyle G(x)=F(x)+C}$ 꼴로 나타낼 수 있다.

위와 같은 꼴의 부정적분 공식은 정의역을 이루는 각각의 구간에서만 유효하다. 예를 들어, ${\displaystyle f(x)=1/x^{2}}$에 대한 다음과 같은 부정적분 공식이 성립하려면 두 구간 ${\displaystyle (0,\infty )}$ 및 ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ 가운데 하나를 선택하여야 한다.^[1]:398-399

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x=-{\frac {1}{x}}+C}$

전체 정의역 ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty )}$에서의 실제 부정적분은 다음과 같다.^[1]:398-399

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x={\begin{cases}\displaystyle -{\frac {1}{x}}+C&x>0\\\displaystyle -{\frac {1}{x}}+C'&x<0\end{cases}}}$

만약 ${\displaystyle f(x)}$의 부정적분이 존재한다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle \left(\int f(x)\mathrm {d} x\right)'=f(x)}$

만약 ${\displaystyle F(x)}$가 미분 가능 함수라면 다음이 성립한다.

${\displaystyle \int F'(x)\mathrm {d} x=F(x)+C}$

이에 따라 상수 차를 무시하면 부정적분은 미분의 역연산이다.

 이 부분의 본문은 미적분학의 기본 정리입니다.

연속 함수 ${\displaystyle f(x)}$의 한 원함수는 적분상한을 변수로 취한 정적분으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(x)\mathrm {d} x}$

반대로, 연속 함수${\displaystyle f(x)}$의 한 원함수 ${\displaystyle F(x)}$가 주어졌을 때, 정적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}$

함수 ${\displaystyle f(x),g(x)}$의 부정적분이 존재한다면, ${\displaystyle f(x)\pm g(x)}$의 부정적분 역시 존재하며, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \int f(x)\pm g(x)\mathrm {d} x=\int f(x)\mathrm {d} x\pm \int g(x)\mathrm {d} x}$

함수 ${\displaystyle f(x)}$의 부정적분이 존재한다면, 상수 ${\displaystyle c}$에 대하여 ${\displaystyle cf(x)}$의 부정적분 역시 존재하며, ${\displaystyle c\neq 0}$일 경우 다음이 성립한다.

${\displaystyle \int cf(x)\mathrm {d} x=c\int f(x)\mathrm {d} x}$

이에 따라 부정적분은 선형 연산이다.

 이 부분의 본문은 치환 적분입니다.

만약 ${\displaystyle f(x)}$의 한 원함수 ${\displaystyle F(x)}$가 존재하며, ${\displaystyle g(t)}$가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.^{[2]:246, 정리6.2.1}

${\displaystyle \int f(g(t))g'(t)\mathrm {d} t=\int f(x)\mathrm {d} x=F(g(t))+C}$

만약 ${\displaystyle g(t)}$가 미분 가능 함수이며, ${\displaystyle g'(t)\neq 0}$가 성립하며, ${\displaystyle f(g(t))g'(t)}$의 한 원함수 ${\displaystyle H(t)}$가 존재한다면, 다음이 성립한다.^{[2]:252, 정리6.2.2}

${\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x=\int f(g(t))g'(t)\mathrm {d} t=H(g^{-1}(x))+C}$

 이 부분의 본문은 부분 적분입니다.

만약 ${\displaystyle f(x),g(x)}$가 미분 가능 함수이며, ${\displaystyle f'(x)g(x)}$의 부정적분이 존재한다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \int f(x)g'(x)\mathrm {d} x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm {d} x}$

모든 (실수) 유리 함수는 다항식과 진분수식의 합으로 나타낼 수 있으며, 모든 진분수식은 부분 분수 분해를 통해 다음과 같은 꼴의 분수식들의 합으로 나타낼 수 있다.

• ${\displaystyle {\frac {A}{(x-a)^{m}}}}$
• ${\displaystyle {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n}}}}$

여기서 ${\displaystyle A,B,C,a,p,q\in \mathbb {R} }$은 실수이며 ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ^{+}}$은 양의 정수이다. 또한 ${\displaystyle p^{2}-4q<0}$을 만족시킨다. 이 두 가지 분수식의 부정적분은 다음과 같이 구할 수 있다.

${\displaystyle \int {\frac {A}{x-a}}\mathrm {d} x=A\ln(x-a)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {A}{(x-a)^{m}}}\mathrm {d} x=-{\frac {A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}}+C\qquad (m>1)}$

${\displaystyle \int {\frac {Bx+C}{x^{2}+px+q}}\mathrm {d} x={\frac {B}{2}}\ln(x^{2}+px+q)+{\frac {2C-Bp}{\sqrt {4q-p^{2}}}}\arctan {\frac {2x+p}{\sqrt {4q-p^{2}}}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n}}}\mathrm {d} x=-{\frac {B}{2(n-1)(x^{2}+px+q)^{n-1}}}+(C-Bp/2)\int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n}}}\mathrm {d} x\qquad (n>1)}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2(n-1)(q-p^{2}/4)}}\left({\frac {x+p/2}{(x^{2}+px+q)^{n-1}}}+(2n-3)\int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n-1}}}\mathrm {d} x\right)\qquad (n>1)}$

부분 분수 분해의 각 항이 초등 함수이므로, 모든 유리 함수의 부정적분은 초등 함수이다.

삼각 유리 함수는 ${\displaystyle R(\sin x,\cos x)}$ 꼴의 함수를 뜻한다. 여기서 ${\displaystyle R(u,v)}$는 2변수 유리 함수이다. 이에 대한 부정적분에 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.

${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}=t,\;x=2\arctan t,\;\mathrm {d} x={\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t}$

그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다.

${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right){\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t}$

만약 ${\displaystyle R(-u,v)=-R(u,v)}$라면, 이는 항상 ${\displaystyle R(u,v)=uR_{1}(u^{2},v)}$ 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 이 경우 다음과 같은 더 간편한 기법을 사용할 수 있다.

${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int \sin xR_{1}(\sin ^{2}x,\cos x)\mathrm {d} x=-\int R_{1}(1-t^{2},t)\mathrm {d} t\qquad (\cos x=t)}$

마찬가지로, 만약 ${\displaystyle R(u,-v)=-R(u,v)}$라면, 이는 ${\displaystyle R(u,v)=vR_{1}(u,v^{2})}$ 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.

${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int \cos xR_{1}(\sin x,\cos ^{2}x)\mathrm {d} x=\int R_{1}(t,1-t^{2})\mathrm {d} t\qquad (\sin x=t)}$

만약 ${\displaystyle R(-u,-v)=R(u,v)}$라면, ${\displaystyle R(u,v)=R_{1}(u/v,v^{2})}$ 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.

${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int R_{1}(\tan x,\cos ^{2}x)\mathrm {d} x=\int R_{1}\left(t,{\frac {1}{1+t^{2}}}\right){\frac {1}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t\qquad (\tan x=t)}$

사실 모든 유리 함수는 위와 같은 세 유리 함수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle R(u,v)={\frac {R(u,v)-R(-u,v)}{2}}+{\frac {R(-u,v)-R(-u,-v)}{2}}+{\frac {R(-u,-v)+R(u,v)}{2}}}$

무리 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 그러나 다음과 같은 꼴의 부정적분은 초등함수이다.

${\displaystyle R\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)}$

여기서 ${\displaystyle R(u,v)}$는 2변수 유리 함수이며, ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}$는 양의 정수이며, ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$는 실수이다. 또한 ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$을 만족시킨다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}=t,\;x={\frac {dt^{n}-b}{a-ct^{n}}},\;\mathrm {d} x={\frac {n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-ct^{n})^{2}}}\mathrm {d} t}$

그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다.

${\displaystyle \int R\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {dt^{n}-b}{a-ct^{n}}},t\right){\frac {n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-ct^{n})^{2}}}\mathrm {d} t}$

함수 ${\displaystyle (a+bz)^{p}z^{q}}$를 생각하자. 여기서 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$는 실수이며, ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Q} }$는 유리수이다. ${\displaystyle p,q,p+q}$ 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수가 된다. ${\displaystyle p=r/s}$이며 ${\displaystyle q=r'/s'}$라고 하자. 여기서 ${\displaystyle r,s,r',s'\in \mathbb {Z} }$는 정수이다. 만약 ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 ${\displaystyle {\sqrt[{s'}]{z}}}$뿐이므로, 치환 적분 ${\displaystyle {\sqrt[{s'}]{z}}=t}$를 통해 구할 수 있다. 만약 ${\displaystyle q\in \mathbb {Z} }$일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 ${\displaystyle {\sqrt[{s}]{a+bz}}}$뿐이므로, 역시 치환 적분 ${\displaystyle {\sqrt[{s}]{a+bz}}=t}$를 통해 구할 수 있다. 만약 ${\displaystyle p+q\in \mathbb {Z} }$일 경우, 함수를 ${\displaystyle ((a+bz)/z)^{p}z^{p+q}}$와 같이 변형하였을 때 제곱근식은 ${\displaystyle \textstyle {\sqrt[{s}]{(a+bz)/z}}}$뿐이므로, 치환 적분 ${\displaystyle \textstyle {\sqrt[{s}]{(a+bz)/z}}=t}$를 통해 구할 수 있다.

보다 일반적으로, 함수 ${\displaystyle x^{m}(a+bx^{n})^{p}}$를 생각하자. 여기서 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$는 실수이며, ${\displaystyle m,n,p\in \mathbb {Q} }$는 유리수이다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.

${\displaystyle x^{n}=z,\;x=z^{1/n},\;\mathrm {d} x={\frac {1}{n}}z^{1/n-1}\mathrm {d} z}$

그러면 위와 같은 꼴의 함수의 부정적분으로 변한다.

${\displaystyle \int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\mathrm {d} x={\frac {1}{n}}\int (a+bz)^{p}z^{(m+1)/n-1}\mathrm {d} z}$

따라서 ${\displaystyle p,q=(m+1)/n-1,p+q}$ 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수이다. 반대로 ${\displaystyle p,q,p+q}$가 정수가 아닐 경우 이 부정적분은 초등 함수로 나타낼 수 없음을 19세기 중엽에 파프누티 체비쇼프가 증명하였다.

초등 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 부정적분들은 초등 함수가 아니다.

• (오차 함수) ${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\mathrm {d} x}$
• (프레넬 함수) ${\displaystyle \int \sin x^{2}\mathrm {d} x}$
• (삼각 적분 함수) ${\displaystyle \int {\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}$
• (로그 적분 함수) ${\displaystyle \int {\frac {1}{\ln x}}\mathrm {d} x}$
• ${\displaystyle \int x^{x}\mathrm {d} x}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x}$

• 정적분
• 적분표
• 기호적분
• 적분상수