변분법

변분법(變分法, 영어: calculus of variations)이란 미적분학의 한 분야로, 일반 미적분학과는 달리 범함수를 다룬다. 이런 미적분학은 알려지지 않은 함수와 이 함수의 도함수를 다루는데, 주로, 어떠한 값을 최대화 하거나, 최소화하는 함수 모양이 어떻게 되는가를 다룬다.

변분법은 범함수의 극댓값, 극솟값을 연구하는데, 이를 합쳐서 정류값이라 한다. 함수가 변수에 의존하듯이, 범함수는 함수에 의존하므로 흔히 함수의 함수로 설명한다. 범함수는 정의역의 원소인 ${\displaystyle y}$에 대해 정류값을 갖는다. 범함수 ${\displaystyle J[y]}$가 함수 ${\displaystyle f}$에서 정류값을 갖는다는 것은 ${\displaystyle \Delta J=J[y]-J[f]}$이 ${\displaystyle f}$의 미소근방에서 같은 부호를 갖는다는 것이다. 함수 ${\displaystyle f}$은 ‘’정류‘’함수 또는 정류점이라 한다. 정류값 ${\displaystyle J[f]}$은 ${\displaystyle f}$의 미소근방에서 ${\displaystyle \Delta J\leq 0}$이면 극댓값이라 하고 ${\displaystyle \Delta J\geq 0}$이면 극솟값이라 한다.

 이 부분의 본문은 오일러-라그랑주 방정식입니다.

오일러-라그랑주 방정식은 함수 ${\displaystyle q}$의 함수인 범함수 ${\displaystyle S}$를 최소나 최대로 하는 함수 ${\displaystyle q\left(t\right)}$를 찾기 위한 것이다. 여기서 ${\displaystyle S}$는

${\displaystyle \displaystyle S(q)=\int _{a}^{b}L(t,q(t),q'(t))\,\mathrm {d} t}$

이다. 여기서:

• ${\displaystyle q}$는 구하고자 하는 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족한다:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}q\colon [a,b]\subset \mathbb {R} &\to X\\t&\mapsto x=q(t)\end{aligned}}}$

여기서 ${\displaystyle q}$는 미분 가능한 함수고, ${\displaystyle q\left(a\right)=x_{a},q\left(b\right)=x_{b}}$로 정해져 있다.

• ${\displaystyle q'}$는 ${\displaystyle q}$를 미분한 함수이다.

함수 ${\displaystyle f}$ 가, 경계값 조건 ${\displaystyle f\left(a\right)=c,f\left(b\right)=d}$를 만족하고, 다음과 같이 주어지는 범함수 ${\displaystyle J}$를 최대 또는 최소로 만든다고 하자.

${\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx.\,\!}$

여기서 ${\displaystyle F}$가 연속적인 편미분값을 가진다고 가정한다.

만일 ${\displaystyle f}$가 범함수${\displaystyle J}$를 최대, 최소로 한다고 하면, ${\displaystyle f}$에 매우 작은 변화를 가했을 때,

${\displaystyle J}$의 값이 늘거나(${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle J}$를 최소화할때) , ${\displaystyle J}$의 값이 줄 수 있다(${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle J}$를 최대화할때).

여기서 ${\displaystyle f}$에 매우 작은 변화를 준 함수 ${\displaystyle g_{\epsilon }\left(x\right)=f\left(x\right)+\epsilon \eta \left(x\right)}$를 도입하자. 여기서 ${\displaystyle \eta \left(x\right)}$는 ${\displaystyle \eta \left(a\right)=\eta \left(b\right)=0}$를 만족하는 미분가능한 함수이다. 이제, ${\displaystyle y}$ 대신 ${\displaystyle g_{\epsilon }(x)}$를 넣은 ${\displaystyle J}$는 다음과 같은 함수가 된다.

${\displaystyle J(g_{\epsilon }(x))=\int _{a}^{b}F(x,g_{\epsilon }(x),g_{\varepsilon }'(x))\,dx.\,\!}$

이제 ${\displaystyle J}$를 ${\displaystyle \epsilon }$에 대해 미분한 전미분을 구하면,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} J}{\mathrm {d} \varepsilon }}=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \epsilon }}(x,g_{\varepsilon }(x),g_{\varepsilon }'(x))\,dx.}$

전미분의 정의에서 다음과 같은 식이 나오며,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \epsilon }}={\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }}}{\frac {\partial g_{\varepsilon }}{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial F}{\partial g'_{\varepsilon }}}{\frac {\partial g'_{\varepsilon }}{\partial \varepsilon }}=\eta (x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }'}}.}$

그러므로

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} J}{\mathrm {d} \epsilon }}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }'}}\,\right]\,dx.}$

만약 ${\displaystyle \epsilon =0}$이 되면 ${\displaystyle g_{\epsilon }=f}$이고, ${\displaystyle f}$ 가 ${\displaystyle J}$를 극값으로 만드는 함수이므로, ${\displaystyle J'(0)=J'(g_{\epsilon })_{\epsilon =0}=J'(f)=0}$ 이고,

${\displaystyle J'(0)=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\,\right]\,dx=0.}$

좀 더 정리하기 위해, 두 번째 항에 부분적분을 한다. 그러면 다음과 같은 식을 얻는다.

${\displaystyle 0=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx+\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]_{a}^{b}.}$

${\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}$ 이므로,

${\displaystyle 0=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx.\,\!}$

변분법의 기본정리를 적용하면, 다음과 같은 오일러-라그랑주 방정식을 얻는다. ${\displaystyle 0={\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}.}$

(${\displaystyle \because }$(a,b)에서의 모든 컴팩트이면서 매끄러운 함수 ${\displaystyle \eta (t)}$에 대해 ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0}$)

2차원 좌표평면상에 두 점 ${\displaystyle \left(a,y_{a}\right)}$와 ${\displaystyle \left(b,y_{b}\right)}$가 있다고 하자. 그렇다면 이 두 점을 연결하는 가장 짧은 곡선은 다음과 같은 범함수 ${\displaystyle L}$를 최소로 만드는 곡선이다.

${\displaystyle L\left[f\right]=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+f'\left(x\right)^{2}}}\,dx}$

여기서 ${\displaystyle f}$의 경우 두 점을 지나야 하므로 ${\displaystyle f\left(a\right)=y_{a},f\left(b\right)=y_{b}}$를 만족하는 함수이다.

위에서 증명한 오일러-라그랑주 방정식을 적용하게 되면, 함수 ${\displaystyle f}$는

${\displaystyle 0=-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial f'}}{\sqrt {1+f'\left(x\right)^{2}}}}$

를 만족하여야 한다. 식을 조금 정리해보면,

${\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial f'}}{\sqrt {1+f'\left(x\right)^{2}}}\\&=&{\frac {d}{dx}}{\frac {f'\left(x\right)}{\sqrt {1+f'\left(x\right)^{2}}}}\end{matrix}}}$

평균값 정리에 의해 미분해서 0이되는 함수는 그 구간에선 상수함수이므로,

${\displaystyle {\frac {f'\left(x\right)}{\sqrt {1+f'\left(x\right)^{2}}}}=k}$

가 되고, 좌변의 분모를 양변에 곱한 후 양변을 제곱하여 정리하면 ${\displaystyle f'\left(x\right)}$에 대한 이차방정식이므로 다음과 같은 해를 얻을 수 있다.

${\displaystyle f'\left(x\right)=C}$

따라서 두 점 사이의 곡선중 길이가 최소인 곡선은 ${\displaystyle f\left(x\right)=Cx+D}$를 만족하는 직선이다.

페르마의 원리는 빛이 광로를 극소로 하는 경로를 따라 진행한다고 말한다. x좌표가 경로 ${\displaystyle y=f(x)}$의 매개변수일 때 광로는

${\displaystyle A[f]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,\,}$

으로 주어진다. 굴절률 ${\displaystyle n(x,y)}$는 매질에 따라 달라진다.

${\displaystyle f(x)=f_{0}(x)+\varepsilon f_{1}(x)}$을 이용하면 A의 일계 변분(A의 ε에 대한 일계 도함수)는

${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.}$

이다. 첫째항에 대해 부분적분을 하면 오일러-라그랑주 공식을 얻게된다.

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.\,}$

빛의 경로는 위 식을 적분함으로써 결정된다. 이 유도는 라그랑주 광학, 해밀턴 광학에 이용된다.

빛이 렌즈를 들어가거나 나갈때 굴절률은 불연속이다.

${\displaystyle n(x,y)=n_{-}\quad {\hbox{if}}\quad x<0,\,}$

${\displaystyle n(x,y)=n_{+}\quad {\hbox{if}}\quad x>0,\,}$

이라 하자. (여기서 ${\displaystyle n_{-}}$, ${\displaystyle n_{+}}$은 상수이다.) 오일러 라그랑주 공식은 x<0 또는 x>0인 구간에서 성립하며 굴절률이 상수이므로 경로는 일직선이 된다. x=0,에서 f가 연속이어야 하지만 f' 는 불연속일 수도 있다. 각 범위에서 오일러-라그랑주 방정식에서 부분적분을 하면 일계 변분은

${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{-}{\frac {f_{0}'(0_{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{-})^{2}}}}-n_{+}{\frac {f_{0}'(0_{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{+})^{2}}}}\right].\,}$

이 된다.

${\displaystyle n_{-}}$에 곱해진 항은 입사각의 sine값이며 ${\displaystyle n_{+}}$에 곱해진 항은 굴절각의 sine이다. 굴절의 스넬의 법칙은 이 두항이 같아야 한다는 것이다. 즉, 스넬의 법칙은 광로의 일계 변분이 사라지는 것과 동치이다.

 이 부분의 본문은 작용 (물리학)입니다.

고전역학에서 작용 S는 라그랑지안 L의 시간에 대한 적분으로 정의된다. 라그랑지안은 에너지의 차이이다.

${\displaystyle L=T-U,\,}$

T는 역학계의 운동에너지이고 U는 퍼텐셜 에너지이다. 해밀턴의 원리 (또는 작용 원리)는 보존계는 작용 적분

${\displaystyle S=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}L(x,{\dot {x}},t)dt\,}$

이 경로 x(t)에 대해 정류값을 갖도록 운동한다는 것이다. 이런 역학계의 오일러-라그랑주 방정식은 라그랑주 방정식이라 불린다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}},\,}$

이는 뉴턴의 운동 방정식과 동치이다.

운동량 P는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}.\,}$

예로

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2},\,}$

이면

${\displaystyle p=m{\dot {x}}.\,}$

해밀턴 역학은 ${\displaystyle {\dot {x}}}$대신 운동량이 도입되고, 라그랑지안 L이 다음과 같이 정의된 해밀토니안 H으로 대채될 때 유도된다.

${\displaystyle H(x,p,t)=p\,{\dot {x}}-L(x,{\dot {x}},t).\,}$

해밀토니안은 계의 역학적 에너지이다 : H = T + U.

위키미디어 공용에 변분법 주제와 관련된 미디어 분류가 있습니다.

• Chapter 8: Calculus of Variations, from Optimization for Engineering Systems, by Ralph W. Pike, Louisiana State University.

• 오일러-라그랑주 방정식