로그 적분 함수

로그 적분 함수(log積分函數, 영어: logarithmic integral function)는 특수 함수의 일종이다. 보통 정적분으로 정의되고 ${\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}}$의 부정적분으로 쓸 수도 있다.

로그 적분 함수는 정적분을 사용하여 다음과 같이 정의된다.(미국식 정의)

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\;}$

혹은 다음과 같은 유럽식 정의를 쓰기도 한다.^[1]

${\displaystyle {\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\;}$

여기서 ${\displaystyle {\ln }\;}$은 자연로그를 의미한다.

로그 적분 함수는 지수 적분 함수 Ei(x)와 다음과 같은 관계에 놓여있다.^[2]

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\operatorname {Ei} (\ln x)}$

이 식은 x > 0에서 성립한다. 이 식은 지수 적분 함수의 급수로

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{t})=\operatorname {Ei} (t)=\gamma +\ln |t|+\sum _{k=1}^{\infty }{t^{k} \over k\cdot k!}\qquad (t\neq 0)}$

이므로

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\operatorname {Ei} (\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{(\ln x)^{k} \over k\cdot k!}\qquad (x\neq 1)}$

로 표현할 수 있다.

라마누잔이 만든 더 빠르게 수렴하는 급수로는

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.}$

이 있다.

여기서 ${\displaystyle \gamma }$ ≈ 0.57721 56649 01532 ... 는 오일러-마스케로니 상수이다.

x → ∞에서의 li(x)의 행동은 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=O\left({x \over \ln x}\right)\;}$

여기서 ${\displaystyle O}$는 점근 표기법을 의미한다.

로그 적분 함수는 수론에서 매우 중요한데 왜냐하면 어떤 수 이하의 소수의 개수를 어림하는데 쓰이기 때문이다. 즉, 소수 정리는 다음을 보장한다.

${\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {li} (x)}$

여기서의 ${\displaystyle \pi (x)}$은 소수 계량 함수이다. 실제로 계산해 보면 작은 범위 안에서는 ${\displaystyle li(x)}$가 ${\displaystyle \pi (x)}$보다 항상 약간 더 큰 것처럼 보이지만 실제로는 스큐스 수에서 ${\displaystyle \pi (x)}$가 ${\displaystyle li(x)}$보다 더 커지고 이후에는 무한히 대소 순서가 바뀐다는 것이 알려져 있다.^[1]

로그 적분 함수는 다른 특수 함수인 지수 적분 함수와 밀접한 연관이 있다. 가장 간단한 예로는 ${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\operatorname {Ei} (\ln x)}$라는 관계가 있다. 또한, 음함수 미분법을 이용하여 로그 적분 함수의 역함수를 미분해 보면 지수 적분 함수의 역함수가 나온다. 즉, 역함수를 함수 위에 -1을 위첨자로 쓴 형태로 표기한다면, ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {li} ^{-1}(x)=\operatorname {Ei} ^{-1}(x)}$이라고 쓸 수 있다.

• 스큐스 수
• 소수 계량 함수
• 지수 적분 함수
• 소수 정리
• 라마누잔-솔드너 상수

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