초기하함수 (超幾何函數, 영어 : hypergeometric function )는 기하급수 를 일반화시키는 일련의 특수 함수 들이다. 일련의 거듭제곱 급수 로 나타내어지고, 어떤 선형 상미분 방정식 을 만족시킨다.
초기하 미분 방정식 (영어 : hypergeometric differential equation )은 미지 함수 w ( z ) {\displaystyle w(z)} max { p , q + 1 } {\displaystyle \max\{p,q+1\}} 상미분 방정식 이다.
z ∏ n = 1 p ( z d d z + a n ) w ( z ) = z d d z ∏ n = 1 q ( z d d z + b n − 1 ) w ( z ) {\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {d}{dz}}+a_{n}\right)w(z)=z{\frac {d}{dz}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}+b_{n}-1\right)w(z)} 여기서
a = ( a 1 , … , a p ) ∈ R p {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\dots ,a_{p})\in \mathbb {R} ^{p}} b = ( b 1 , … , b q ) ∈ R q {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},\dots ,b_{q})\in \mathbb {R} ^{q}} 는 임의의 상수들이다. 이 방정식의 해는 다음과 같은 급수로 전개시킬 수 있다.
p F q ( a ; b ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( b ) n z n n ! {\displaystyle {}_{p}F_{q}(\mathbf {a} ;\mathbf {b} ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {a} )_{n}}{(\mathbf {b} )_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}} 여기서
( x ) n = x ( x + 1 ) ⋯ ( x + n − 1 ) {\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\cdots (x+n-1)} 은 상승 포흐하머 기호 이며,
( a ) n = ( a 1 ) n ( a 2 ) n ⋯ ( a p ) n {\displaystyle (\mathbf {a} )_{n}=(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\cdots (a_{p})_{n}} ( b ) n = ( b 1 ) n ( b 2 ) n ⋯ ( b q ) n {\displaystyle (\mathbf {b} )_{n}=(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\cdots (b_{q})_{n}} 이다. 이 급수 p F q {\displaystyle {}_{p}F_{q}} 초기하급수 (영어 : hypergeometric series )라고 하며, 만약 이 급수가 수렴하는 경우 초기하함수 라고 한다.
정의에 따라, 초기하함수 p F q ( a ; b ; z ) {\displaystyle {}_{p}F_{q}(\mathbf {a} ;\mathbf {b} ;z)} { a 1 , … , a p } {\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{p}\}} { b 1 , … , b q } {\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{q}\}} { a 1 , … , a p } {\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{p}\}} { b 1 , … , b q } {\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{q}\}} 교집합 이 있으면, 이들을 서로 약분할 수 있다. 예를 들어 a p = b q {\displaystyle a_{p}=b_{q}}
p F q ( a 1 , … , a p ; b 1 , … , b q ; z ) = p − 1 F q − 1 ( a 1 , … , a p − 1 ; b 1 , … , b q − 1 ; z ) {\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)={}_{p-1}F_{q-1}(a_{1},\dots ,a_{p-1};b_{1},\dots ,b_{q-1};z)} 이다.
급수 전개에 따라, 초기하함수의 미분은 다음과 같다.
d n d z n p F q ( a ; b ; z ) = ( a ) n ( b ) n p F q ( a + n ; b + n ; z ) {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}{}_{p}F_{q}(\mathbf {a} ;\mathbf {b} ;z)={\frac {(\mathbf {a} )_{n}}{(\mathbf {b} )_{n}}}{}_{p}F_{q}(\mathbf {a} +n;\mathbf {b} +n;z)} 여기서 a + n = ( a 1 + n , a 2 + n , … , a p + n ) {\displaystyle \mathbf {a} +n=(a_{1}+n,a_{2}+n,\dots ,a_{p}+n)} b + n {\displaystyle \mathbf {b} +n}
복소 상미분 방정식
z ( z d d z + α 1 ) ⋯ ( z d d z + α n ) f = ( z d d z + β 1 − 1 ) ⋯ ( z d d z + β n − 1 ) f {\displaystyle z\left(z{\frac {d}{dz}}+\alpha _{1}\right)\cdots \left(z{\frac {d}{dz}}+\alpha _{n}\right)f=\left(z{\frac {d}{dz}}+\beta _{1}-1\right)\cdots \left(z{\frac {d}{dz}}+\beta _{n}-1\right)f} 의 n {\displaystyle n} 선형 독립 해는
z 1 − β i n F n − 1 ( α 1 − β i + 1 , … , α n − β n + 1 ; β 1 − β i , … , β i − β i + 1 ^ , … , β n − β i + 1 ; z ) ( i = 1 , … , n ) {\displaystyle z^{1-\beta _{i}}{}_{n}F_{n-1}(\alpha _{1}-\beta _{i}+1,\dots ,\alpha _{n}-\beta _{n}+1;\beta _{1}-\beta _{i},\dots ,{\widehat {\beta _{i}-\beta _{i}+1}},\dots ,\beta _{n}-\beta _{i}+1;z)\qquad (i=1,\dots ,n)} 이다. (여기서 ⋯ x ^ ⋯ {\displaystyle \cdots {\hat {x}}\cdots } x {\displaystyle x} 푹스 방정식 (해가 정칙 특이점 만을 갖는 방정식)이며, 리만 구 위의 (정칙) 특이점은 { 0 , 1 , ∞ ^ } ∈ C ^ {\displaystyle \{0,1,{\widehat {\infty }}\}\in {\hat {\mathbb {C} }}}
1 {\displaystyle 1} n − 1 {\displaystyle n-1} 선형 독립 해들을 갖는다. 나머지 하나의 해는 1 근처에서 모노드로미를 가지므로 포함되지 않는다. 0 {\displaystyle 0} ∞ ^ {\displaystyle {\widehat {\infty }}} z ≠ 0 , 1 , ∞ ^ {\displaystyle z\neq 0,1,{\widehat {\infty }}} n {\displaystyle n} 어떤 밑점 z 0 ∈ C ^ ∖ { 0 , 1 , ∞ ^ } {\displaystyle z_{0}\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0,1,{\widehat {\infty }}\}} 벡터 공간 을 V z 0 ( α 1 , … , α n ; β 1 , … , β n ) {\displaystyle V_{z_{0}}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n};\beta _{1},\dots ,\beta _{n})} n − 1 {\displaystyle n-1} 모노드로미 에 따라서 기본군 의 다음과 같은 군 표현 이 존재한다.
ϕ : π 0 ( C ^ ∖ { 0 , 1 , } ^ ; z 0 ) → GL ( V z 0 ) {\displaystyle \phi \colon \pi _{0}({\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0,1,{\widehat {\}}};z_{0})\to \operatorname {GL} (V_{z_{0}})} 임의의 i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}} 기본군 π 0 ( C ^ ∖ { 0 , 1 , } ^ ; z 0 ) = ⟨ g 0 , g 1 , g ∞ | g 0 g 1 g ∞ = 1 ⟩ {\displaystyle \pi _{0}({\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0,1,{\widehat {\}}};z_{0})=\langle g_{0},g_{1},g_{\infty }|g_{0}g_{1}g_{\infty }=1\rangle }
ϕ ( g 0 ) {\displaystyle \phi (g_{0})} 고윳값 은 exp ( − 2 π i β i ) {\displaystyle \exp(-2\pi i\beta _{i})} ( i = 1 , … , n ) {\displaystyle (i=1,\dots ,n)} ϕ ( g ∞ ) {\displaystyle \phi (g_{\infty })} 고윳값 은 exp ( 2 π i α i ) {\displaystyle \exp(2\pi i\alpha _{i})} ( i = 1 , … , n ) {\displaystyle (i=1,\dots ,n)} ϕ ( g 1 ) {\displaystyle \phi (g_{1})} n − 1 {\displaystyle n-1} 이 조건을 충족시키는 군 표현은 유일하며, 이를 초기하군 H ( α i , β i ) {\displaystyle H(\alpha _{i},\beta _{i})}
0 F 0 ( ; ; z ) = exp z {\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=\exp z} 지수 함수 이다.
1 F 0 ( a ; ; z ) = ( 1 − z ) − a {\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}} 기하급수 이다. 이로부터 "초기하"라는 이름이 유래하였다.
0 F 1 ( ; b ; z ) {\displaystyle {}_{0}F_{1}(;b;z)} 합류 초기하 극한 함수 (영어 : confluent hypergeometric limit function )라고 하며, 다음과 같이 베셀 함수 로 나타낼 수 있다.
J α ( x ) = ( x 2 ) α Γ ( α + 1 ) 0 F 1 ( ; α + 1 ; − 1 4 x 2 ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right)} 1 F 1 ( a ; b ; z ) {\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)} 제1종 합류 초기하함수 (영어 : confluent hypergeometric function of the first kind )라고 한다.
2 F 1 ( a , b ; c ; z ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)} 가우스 초기하함수 (영어 : Gaussian hypergeometric function )라고 하며, 초기하함수 가운데 가장 자주 등장한다. 보통 첨자의 언급 없이 "초기하함수"라고 하면 가우스 초기하함수를 가리킨다.
가우스 초기하함수의 특수한 경우로는 다음을 들 수 있다.
2 z 2 F 1 ( 1 / 2 , 1 ; 3 ; z 2 ) = arcsin z {\displaystyle 2z{}_{2}F_{1}(1/2,1;3;z^{2})=\arcsin z} π 2 2 F 1 ( 1 / 2 , 1 / 2 ; 1 ; z 2 ) = K ( z ) = ∫ 0 1 d x ( 1 − x 2 ) ( 1 − z 2 x 2 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}{}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;z^{2})=K(z)=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-z^{2}x^{2})}}}} 여기서 K ( z ) {\displaystyle K(z)} 타원적분 이다.
n F n − 1 {\displaystyle {}_{n}F_{n-1}} n {\displaystyle n} 클라우센-토메 초기하함수 (영어 : Clausen–Thomae hypergeometric function )라고 한다. 이는 토마스 클라우센(덴마크어 : Thomas Clausen )과 카를 요하네스 토메(독일어 : Carl Johannes Thomae )의 이름을 땄다. 이는 기하급수 1 F 0 {\displaystyle {}_{1}F_{0}} 2 F 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}} 모노드로미 이론을 갖는다.
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