베셀 함수

수학에서 베셀 함수(Bessel function)는 헬름홀츠 방정식을 원통좌표계에서 변수분리할 때 등장하는 특수 함수다. 물리학에서 맥스웰 방정식이나 열 방정식, 슈뢰딩거 방정식 등 다양한 문제를 풀 때 쓰인다.

수학 포털

베셀 함수는 다음과 같은 상미분 방정식을 통해 기술되는 해 ${\displaystyle y(x)}$에 해당하는 함수 무리를 일컫는 말이다.

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}$

여기서 ${\displaystyle \alpha }$는 임의의 복소수다. 이 상미분 방정식을 ${\displaystyle \alpha }$차수의 베셀 방정식(Bessel equation)이라고 한다.

베셀 방정식은 2차 상미분 방정식이므로, 베셀 방정식은 서로 선형 독립인 두 가지 해를 가진다. ${\displaystyle \alpha }$가 정수일 경우, 두 해 가운데 하나는 ${\displaystyle x\to 0}$에서 발산하고, 다른 하나는 발산하지 않는다. 발산하지 않는 경우를 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind) ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$라고 하고, 발산하는 경우를 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind) ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$라고 한다. (${\displaystyle \alpha }$가 정수가 아닐 경우에도 ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$와 ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$는 베셀 방정식을 통해 기술되는 선형 독립된 두 종류 해를 이룬다.) 즉, 베셀 방정식을 통해 얻어지는 일반해는 다음과 같다.

${\displaystyle y(x)=c_{1}J_{\alpha }(x)+c_{2}Y_{\alpha }(x)}$

여기서 c₁, c₂는 임의의 상수다.

베셀 방정식은 2차원 헬름홀츠 방정식

${\displaystyle (\Delta +k^{2})f=0}$

을 극좌표계에서 변수분리하면서 등장한다.

먼저 헬름홀츠 방정식은 선형이므로 ${\displaystyle f(r,\theta )}$를 극좌표 ${\displaystyle r,\theta }$에 대해

${\displaystyle f(r,\theta )=R(kr)\Theta (\theta )}$

와 같이 변수분리할 수 있는데, ${\displaystyle \theta }$는 극좌표계 상에서 각도를 나타내므로 ${\displaystyle \Theta }$는 360° 회전변환에 불변하는 형태인

${\displaystyle \Theta (\theta )=\cos n\theta }$ 또는 ${\displaystyle \sin n\theta }$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$)

가 되고, 이를 헬름홀츠 방정식에 대입할 시 라플라스 연산자가 극좌표계에서

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}}$

로 나타남에 따라 다음과 같은 베셀 방정식을 얻는다.

${\displaystyle (kr)^{2}R''+(kr)R'+\left((kr)^{2}-n^{2}\right)R=0}$

α가 임의의 복소수일 때, 베셀 방정식을 통해 나타나는 가장 기본적인 해를 제1종 베셀 함수 J_α(x)라고 하며 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!(m+\alpha )!}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$

여기서 임의의 복소수에 대한 계승 ${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}$를 의미한다. (${\displaystyle \Gamma (z)}$는 감마 함수이다.)

이 때 만약 α가 정수가 아니라면, J_α(x)와 J_-α(x)는 선형 독립이면서 베셀 방정식의 해가 된다. 따라서

${\displaystyle y(x)=c_{1}J_{\alpha }(x)+c_{2}J_{-\alpha }(x)}$

(여기서 c₁,c₂는 상수)는 α가 정수가 아닐 때의 베셀 방정식의 일반해가 된다.

${\displaystyle J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x)}$(α가 정수일때만 정의 된다)

${\displaystyle J_{-1/2}(x)={\sqrt {2 \over \pi x}}\cos x}$

${\displaystyle J_{1/2}(x)={\sqrt {2 \over \pi x}}\sin x}$

${\displaystyle {d \over dx}\left(x^{\alpha }J_{\alpha }(x)\right)=x^{\alpha }J_{\alpha -1}}$

${\displaystyle \int _{0}^{x}x'J_{0}(x')dx'=xJ_{1}(x)}$

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{k}(x)=1}$

n이 정수인 베셀 함수에 대해선 다음과 같이 적분 표현을 사용해서 베셀 함수의 표현이 가능하다.

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )d\tau .}$

이 형태는 프리드리히 베셀이 사용했던 접근법이다. 그리고 여기서 다른 몇몇 성질들을 유도해냈다.

또 다른 적분 형태의 정의로는 다음이 있다.

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(n\tau -x\sin \tau )}d\tau }$

경로적분법을 사용하여 베셀 함수를 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle J_{n}(z)={1 \over 2\pi i}\oint e^{(z/2)(t-1/t)}t^{-n-1}dt}$

여기서 적분 경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다.

만약 베셀 방정식의 계수 ${\displaystyle \alpha }$가 정수이면 ${\displaystyle J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x)}$이므로 두 함수는 독립이 아니게 된다. 이 경우 나머지 한 해를 제2종 베셀 함수 Y_α(x)라고 하고, 다음과 같다.

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)=\lim _{m\rightarrow \alpha }{\frac {J_{m}(x)\cos m\pi -J_{-m}(x)}{\sin m\pi }}}$.

${\displaystyle \alpha }$가 정수가 아닐 경우에는 위 공식은 극한 없이 바로 사용할 수 있지만, ${\displaystyle \alpha }$가 정수일 경우에는 극한을 취하여야만 한다.

다음과 같은 2차 상미분 방정식을 변형 베셀 방정식(modified Bessel equation)이라고 한다.

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-(x^{2}+\alpha ^{2})y=0}$

변형 베셀 방정식의 해는 제1종 변형 베셀 함수 ${\displaystyle I_{\alpha }(x)}$와 제2종 변형 베셀 함수 ${\displaystyle K_{\alpha }(x)}$이다. 즉, 변형 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같다.

${\displaystyle y(x)=c_{1}I_{\alpha }(x)+c_{2}K_{\alpha }(x)}$

방정식의 특징 때문에 변형 베셀 함수는 쌍곡 베셀 함수라고도 불린다.

변형 베셀 방정식의 기본적인 해를 제1종 변형 베셀 함수 I_α(x)라 하고, 자세한 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)\;}$

제1종 변형 베셀 함수도 다음과 같은 급수 형태를 갖는다.

${\displaystyle I_{\alpha }(z)=\left({\frac {1}{2}}z\right)^{\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }{\left({1 \over 4}z^{2}\right)^{k} \over k!\Gamma (\alpha +k+1)}}$

선적분을 통한 제1종 변형베셀함수의 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle I_{n}(z)={1 \over 2\pi i}\oint e^{(z/2)(t+1/t)}t^{-n-1}dt}$

여기서 적분경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다.

조금 복잡하지만 다음과 같은 적분 표현법도 있다.

${\displaystyle I_{\alpha }(z)={1 \over \pi }\int _{0}^{\pi }e^{z\cos \theta }\cos(\alpha \theta )d\theta -{\sin(\alpha \pi ) \over \pi }\int _{0}^{\infty }e^{-z\cosh t-\alpha t}dt}$

만약, α가 정수이면 위 식은 다음과 같이 간단해진다.

${\displaystyle I_{n}(z)={1 \over \pi }\int _{0}^{\pi }e^{z\cos \theta }\cos(n\theta )d\theta }$

n = 0 에서의 제1종 변형 베셀 함수를 미분하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

${\displaystyle I_{n}(x)=T_{n}{d \over dx}I_{0}(x)}$

여기서 T_n은 제1종 체비세프 다항식이다.

마찬가지로, 변형 베셀 방정식에 대한 제2종 변형 베셀 함수 K_α(x)를 정의 할 수 있는데 그 자세한 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\pi \over 2}{I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x) \over \sin \alpha \pi }}$

변형 베셀 함수와 마찬가지로 α가 정수일 때 잘 정의가 되지 않으므로, 좀 더 엄밀히 정의하면,

${\displaystyle K_{\alpha }(x)=\lim _{m\rightarrow \alpha }{\pi \over 2}{I_{-m}(x)-I_{m}(x) \over \sin \alpha \pi }}$

또한 제2종 변형 베셀 함수는 다음과 같은 함수로 불리기도 했다.

• 배셋 함수
• 맥도날드 함수

베셀 함수는 다음과 같이 생성 함수로 표현할 수 있다. 이 공식을 야코비-앙거 전개(Jacobi–Anger expansion)라고 한다.

${\displaystyle \exp(ir\cos \theta )=\sum _{n}i^{n}J_{n}(r)\exp(in\theta )=J_{0}(r)+\sum _{n}2i^{n}J_{n}(r)\cos n\theta }$.

이는 카를 구스타프 야코프 야코비와 카를 테오도어 앙거(Carl Theodor Anger)의 이름을 딴 것이다.

마찬가지로, 구면 베셀 함수도 다음과 같이 생성 함수로 표현할 수 있다. 이 공식을 레일리 전개(Rayleigh expansion)라고 한다.

${\displaystyle \exp(ir\cos \theta )=\sum _{n}i^{n}(2n+1)j_{n}(r)P_{n}(\cos \theta )}$.

여기서 ${\displaystyle P_{n}}$은 르장드르 다항식이다.

다니엘 베르누이가 최초로 정의하였다. 프리드리히 베셀이 연구하고, 일반화하였다.^[1]

위키미디어 공용에 베셀 함수 주제와 관련된 미디어 분류가 있습니다.

• 헬름홀츠 방정식
• 구면 조화 함수
• 프로베니우스 방법

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bessel function of the first kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bessel function of the second kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Modified Bessel function of the first kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Modified Bessel function of the second kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Cylinder functions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Neumann function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hankel functions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.