음함수 정리

다변수 미적분학에서 음함수 정리(陰函數定理, 영어: implicit function theorem)는 변수들에 대한 방정식이 국소적으로 충분히 매끄러운 함수 관계를 나타낼 충분 조건을 제시하는 정리이다.

2차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 위에서 원점 ${\displaystyle (0,0)}$을 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 원의 방정식

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$

을 생각하자. 이 방정식은 ${\displaystyle [-1,1]\times [0,\infty )}$에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.

${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}\qquad \forall x\in [-1,1]}$

또한 이 방정식은 ${\displaystyle [-1,1]\times (-\infty ,0]}$에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.

${\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}\qquad \forall x\in [-1,1]}$

이 방정식을 만족시키는 연속 함수는 ${\displaystyle [-1,1]\times \mathbb {R} }$에서 위와 같은 두 가지가 있으므로 유일하지 않다. 그러나 ${\displaystyle (0,1)}$을 지나는 연속 함수는 첫 번째 함수로 유일하다. 이 사실에 대한 기하학적 의미를 알아보기 위해, 다음과 같은 함수를 정의하자.

${\displaystyle z=x^{2}+y^{2}-1\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }$

이렇게 정의한 ${\displaystyle F}$의 그래프는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$에 놓인 곡면이며, 위와 같은 원은 이 곡면과 평면 ${\displaystyle z=0}$의 교선이다. ${\displaystyle (0,1)}$ 주변에서 ${\displaystyle x'^{2}+y'^{2}-1=0}$인 점 ${\displaystyle (x',y')}$을 임의로 취하자. 여기에는 특히 ${\displaystyle (x',y')=(0,1)}$ 역시 포함된다. ${\displaystyle x=x'}$가 고정되었을 때, ${\displaystyle z={x'}^{2}+y^{2}-1}$는 ${\displaystyle y=y'}$ 주변에서 ${\displaystyle y}$에 대한 순증가 함수이기 때문에, 국소적으로 ${\displaystyle y<y'}$에 대하여 ${\displaystyle z<0}$이 성립하며, ${\displaystyle y>y'}$에 대하여 ${\displaystyle z>0}$이 성립한다. 따라서 ${\displaystyle z=x^{2}+y^{2}-1}$의 영점 집합은 ${\displaystyle (0,1)}$에서 국소적으로 어떤 함수 ${\displaystyle y=y(x)}$의 그래프와 일치한다. ${\displaystyle z}$가 ${\displaystyle y}$에 대한 순단조 함수가 되기 위한 한 가지 충분 조건은 ${\displaystyle \partial z/\partial y\neq 0}$이다. 이를 만족시키지 않는 점을 지나는 연속 함수는 국소적으로 유일할 필요가 없다. 예를 들어, 방정식을 만족시키며 ${\displaystyle (1,0)}$을 지나는 연속 함수는 대역적으로나 국소적으로나 유일하지 않다. 음함수 정리에서는 이 조건을 가정으로 삼아 국소적으로 유일한 음함수의 존재를 결론으로 제시한다. 사실 ${\displaystyle \partial z/\partial y\neq 0}$은 비퇴화 조건의 가장 간단한 경우이다. 여러 개의 방정식의 연립

${\displaystyle z_{1}(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{m})=0}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle z_{m}(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{m})=0}$

에서 ${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{m})}$가 국소적으로 ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$의 함수인지를 다루려면 다음과 같은 비퇴화 조건을 사용하여야 한다.

${\displaystyle \det {\frac {\partial (z_{1},\dots ,z_{m})}{\partial (y_{1},\dots ,y_{m})}}\neq 0}$

이 부등식의 좌변은 함수 ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{m}}$의 변수 ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{m}}$에 대한 야코비 행렬식이다. 특히, 만약

${\displaystyle z_{1}=a_{11}x_{1}+\cdots a_{1n}x_{n}+b_{11}y_{1}+\cdots +b_{1m}y_{m}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle z_{m}=a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}+b_{m1}y_{1}+\cdots +b_{mm}y_{m}}$

일 경우, 위에서 정의한 야코비 행렬식은 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$을 상수로 간주하여 얻는 연립 일차 방정식의 계수 행렬의 행렬식 ${\displaystyle \det(b_{ij})_{m\times m}}$이다.

열린 근방 ${\displaystyle \mathbf {a} \in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$와 ${\displaystyle \mathbf {b} \in V\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle \mathbf {f} \colon U\times V\to \mathbb {R} ^{m}}$, ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\mapsto \mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$ (${\displaystyle \mathbf {x} \in U}$, ${\displaystyle \mathbf {y} \in V}$)가 다음을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} }$ 역시 연속 함수이다. 여기서 ${\displaystyle (\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} )_{ij}=\partial f_{i}/\partial y_{j}}$이다.
• ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\mathbf {0} }$
• ${\displaystyle \det \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0}$

그렇다면, 다음을 만족시키는 열린 근방 ${\displaystyle \mathbf {a} \in W\subseteq U}$ 및 유일한 연속 함수 ${\displaystyle \mathbf {g} \colon W\to \mathbb {R} ^{m}}$가 존재한다.

• ${\displaystyle \mathbf {g} (W)\subseteq V}$
• ${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {g} (\mathbf {a} )}$
• 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in W}$에 대하여, ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=\mathbf {0} }$

또한, ${\displaystyle k\in \{1,2,\dots \}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \mathbf {f} }$가 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수라면, ${\displaystyle \mathbf {g} }$ 역시 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수이며, ${\displaystyle \mathbf {g} }$의 도함수 ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} }$는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} (\mathbf {x} )=-(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} )))^{-1}\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))\qquad \forall \mathbf {x} \in W}$

여기서 ${\displaystyle (\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} )_{ij}=\partial f_{i}/\partial x_{j}}$이다. 이를 음함수 정리라고 한다. ${\displaystyle \mathbf {f} }$가 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수임을 가정하지 않을 경우, ${\displaystyle \mathbf {g} }$의 미분 가능성은 일반적으로 성립하지 않는다.

두 열린구간 ${\displaystyle a\in U\subseteq \mathbb {R} }$와 ${\displaystyle b\in V\subseteq \mathbb {R} }$ 및 연속 함수 ${\displaystyle f\colon U\times V\to \mathbb {R} }$가 다음을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle \partial f/\partial y}$ 역시 연속 함수이다.
• ${\displaystyle f(a,b)=0}$
• ${\displaystyle (\partial f/\partial y)(a,b)\neq 0}$

그렇다면, 다음을 만족시키는 열린구간 ${\displaystyle a\in W\subseteq U}$ 및 유일한 연속 함수 ${\displaystyle g\colon W\to \mathbb {R} }$가 존재한다.

• ${\displaystyle g(W)\subseteq V}$
• ${\displaystyle b=g(a)}$
• 임의의 ${\displaystyle x\in W}$에 대하여, ${\displaystyle f(x,g(x))=0}$

또한, ${\displaystyle k\in \{1,2,\dots \}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수라면, ${\displaystyle g}$ 역시 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수이며, ${\displaystyle g}$의 도함수 ${\displaystyle g'}$는 다음과 같다.

${\displaystyle g'(x)=-{\frac {(\partial f/\partial x)(x,g(x))}{(\partial f/\partial y)(x,g(x))}}\qquad \forall x\in W}$

이는 음함수 정리에서 ${\displaystyle n=m=1}$을 취한 가장 간단한 경우이다.

수학적 귀납법을 사용하자.

먼저 ${\displaystyle m=1}$일 경우를 증명하자. 편의상 ${\displaystyle (\partial f/\partial y)(a,b)>0}$라고 가정하자. 그러면 ${\displaystyle \partial f/\partial y}$에 연속성에 의하여, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle \delta _{1}>0}$가 존재한다.

• ${\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\subseteq U}$
• ${\displaystyle \operatorname {B} (b,\delta _{1})\subseteq V}$
• 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})}$ 및 ${\displaystyle y\in \operatorname {B} (b,\delta _{1})}$에 대하여, ${\displaystyle (\partial f/\partial y)(\mathbf {x} ,y)>0}$

이에 따라 ${\displaystyle f(\mathbf {a} ,y)}$가 ${\displaystyle \operatorname {B} (b,\delta _{1})}$에서 순증가 함수이며, 또한 ${\displaystyle f(\mathbf {a} ,b)=0}$이므로, ${\displaystyle f(\mathbf {a} ,b-\delta _{1})<0<f(\mathbf {a} ,b+\delta _{1})}$이다. 따라서 다음을 만족시키는 ${\displaystyle 0<\delta _{2}<\delta _{1}}$가 존재한다.

• 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$에 대하여, ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,b-\delta _{1})<0<f(\mathbf {x} ,b+\delta _{1})}$

따라서, 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} '\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$에 대하여, ${\displaystyle f(\mathbf {x} ',y)}$는 ${\displaystyle \operatorname {B} (b,\delta _{1})}$에서 순증가 함수이자 연속 함수이므로, 중간값 정리에 따라 ${\displaystyle f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))=0}$인 유일한 ${\displaystyle g(\mathbf {x} ')\in \operatorname {B} (b,\delta _{1})}$가 존재한다. 이렇게 정의한 함수 ${\displaystyle g\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R} }$는 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$에 대하여 ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))=0}$를 만족시키며, 특히 ${\displaystyle b=g(\mathbf {a} )}$이다. 이제 ${\displaystyle g}$의 연속성을 증명하자. 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} '\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$ 및 충분히 작은 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, ${\displaystyle f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} ')-\epsilon )<0<f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} ')+\epsilon )}$이므로, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle \delta _{3}>0}$가 존재한다.

• ${\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{3})\subseteq \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$
• 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{3})}$에 대하여, ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ')-\epsilon )<0<f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ')+\epsilon )}$

따라서, 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta )}$에 대하여, ${\displaystyle g(\mathbf {x} )\in \operatorname {B} (g(\mathbf {x} '),\epsilon )}$이다. 이제 ${\displaystyle g}$의 유일성을 증명하자. 연속 함수 ${\displaystyle h\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R} }$가 다음을 만족시킨다고 가정하자.

• ${\displaystyle h(\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2}))\subseteq V}$
• ${\displaystyle b=h(\mathbf {a} )}$
• 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$에 대하여, ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))=0}$

그렇다면, 다음과 같은 집합이 ${\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$의 열린닫힌집합임을 보이는 것으로 족하다.

${\displaystyle A=\{\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\colon g(\mathbf {x} )=h(\mathbf {x} )\}}$

우선 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} '\in A}$에 대하여, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle \delta _{4}>0}$가 존재한다.

• ${\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{4})\subseteq \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$
• 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{4})}$에 대하여, ${\displaystyle h(\mathbf {x} )\in \operatorname {B} (b,\delta _{1})}$

따라서, 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{4})}$에 대하여, ${\displaystyle h(\mathbf {x} )=g(\mathbf {x} )}$이다. 즉, ${\displaystyle A}$는 ${\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$의 열린집합이다. 또한 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} '\in A'\cap \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$에 대하여, ${\displaystyle g,h}$의 연속성에 의하여 ${\displaystyle \mathbf {x} '\in A}$이다. 즉, ${\displaystyle A}$는 ${\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$의 닫힌집합이다. ${\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$는 연결 집합이며, 또한 ${\displaystyle A\neq \varnothing }$이므로, ${\displaystyle A=\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$에 대하여, ${\displaystyle g(\mathbf {x} )=h(\mathbf {x} )}$이다. 이제 ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수일 때 ${\displaystyle g}$의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 ${\displaystyle j\in \{1,\dots ,n\}}$ 및 ${\displaystyle \mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j}\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$에 대하여, 다음과 같이 표기하자.

${\displaystyle \Delta y(\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j})=g(\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j})-g(\mathbf {x} ')}$

그러면 평균값 정리에 따라 다음을 만족시키는 ${\displaystyle 0<\theta (\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j})<1}$가 존재한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=f(\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j},g(\mathbf {x} ')+\Delta y)-f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))\\&={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} '+\theta \Delta x_{j}\mathbf {e} _{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)\Delta x_{j}+{\frac {\partial f}{\partial y}}(\mathbf {x} '+\theta \Delta x_{j}\mathbf {e} _{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)\Delta y\end{aligned}}}$

따라서, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial g}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} ')&=\lim _{\Delta x_{j}\to \mathbf {0} }{\frac {\Delta y}{\Delta x_{j}}}\\&=\lim _{\Delta x_{j}\to \mathbf {0} }\left(-{\frac {(\partial f/\partial x_{j})(\mathbf {x} '+\theta \Delta x_{j}\mathbf {e} _{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)}{(\partial f/\partial y)(\mathbf {x} '+\theta \Delta x_{j}\mathbf {e} _{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)}}\right)\\&=-{\frac {(\partial f/\partial x_{j})(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))}{(\partial f/\partial y)(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))}}\end{aligned}}}$

또한 ${\displaystyle (\partial f/\partial x_{j})(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))}$와 ${\displaystyle (\partial f/\partial y)(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))}$가 연속 함수이므로, ${\displaystyle g}$는 연속 미분 가능 함수이다.

이제 ${\displaystyle m>1}$일 경우를 증명하자. ${\displaystyle V}$의 원소를 ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},{\tilde {\mathbf {y} }})}$로 쓰고, ${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},{\tilde {\mathbf {f} }})}$와 같이 표기하자. 또한 편의상 ${\displaystyle \det(\mathrm {D} _{\tilde {\mathbf {y} }}{\tilde {\mathbf {f} }}\!(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ))\neq 0}$이라고 가정하자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {g} }}\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\times \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})\to \mathbb {R} ^{m-1}}$가 존재하게 되는 ${\displaystyle \delta _{1}>0}$가 존재한다.

• ${\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\subseteq U}$
• ${\displaystyle \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})\times {\tilde {\mathbf {g} }}(\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\times \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1}))\subseteq V}$
• ${\displaystyle \mathbf {b} '={\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {a} ,b_{1})}$
• 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})}$ 및 ${\displaystyle y_{1}\in \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})}$ 및 ${\displaystyle i\in \{2,\dots ,m\}}$에 대하여, ${\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} ,y_{1},{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,y_{1}))=0}$

다음과 같은 함수 ${\displaystyle F\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\times \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})\to \mathbb {R} ^{m}}$를 정의하자.

${\displaystyle F(\mathbf {x} ,y_{1})=f_{1}(\mathbf {x} ,y_{1},{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,y_{1}))\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1}),\;y_{1}\in \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})}$

그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})}$ 및 ${\displaystyle y_{1}\in \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})}$에 대하여 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial y_{1}}}&={\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}+\sum _{j=2}^{m}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{j}}}{\frac {\partial h_{j-1}}{\partial y_{1}}}\\&={\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}+\mathrm {D} _{\tilde {\mathrm {y} }}f_{1}(\mathrm {D} _{\tilde {\mathrm {y} }}{\tilde {f}})^{-1}\mathrm {D} _{y_{1}}{\tilde {f}}\\&={\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}+\sum _{i=2}^{m}\sum _{j=2}^{m}(-1)^{i+j}{\frac {1}{\det \mathrm {D} _{\tilde {\mathbf {y} }}{\tilde {\mathbf {f} }}}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{1}}}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{j}}}\det \mathrm {D} _{(y_{2},\dots ,y_{j-1},y_{j+1},\dots ,y_{m})}(f_{2},\dots ,f_{i-1},f_{i+1},\dots ,f_{m})\\&={\frac {\det \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} }{\det \mathrm {D} _{\tilde {\mathbf {y} }}{\tilde {\mathbf {f} }}}}\end{aligned}}}$

따라서 ${\displaystyle (\partial F/\partial y_{1})(\mathbf {a} ,b_{1})\neq 0}$이다. 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 ${\displaystyle g_{1}\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R} }$가 존재하게 되는 ${\displaystyle 0<\delta _{2}<\delta _{1}}$가 존재한다.

• ${\displaystyle g_{1}(\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2}))\subseteq \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})}$
• ${\displaystyle b_{1}=g_{1}(\mathbf {a} )}$
• 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$에 대하여, ${\displaystyle F(\mathbf {x} ,g_{1}(\mathbf {x} ))=0}$

이제 ${\displaystyle \mathbf {g} \colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R} ^{m}}$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )=(g_{1}(\mathbf {x} ),{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,g_{1}(\mathbf {x} )))\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$

그렇다면, ${\displaystyle \mathbf {g} }$는 연속 함수이며, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \mathbf {g} (\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2}))\subseteq V}$

${\displaystyle f_{1}(\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=F(\mathbf {x} ,g_{1}(\mathbf {x} ))=0\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$

${\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=f_{i}(\mathbf {x} ,g_{1}(\mathbf {x} ),{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,g_{1}(\mathbf {x} )))=0\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2}),\;i\in \{2,\dots ,m\}}$

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {a} )=(g_{1}(\mathbf {a} ),{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {a} ,b_{1}))=\mathbf {b} }$

이러한 ${\displaystyle \mathbf {g} }$의 유일성은 ${\displaystyle m=1}$의 경우와 똑같은 방법으로 보일 수 있다. 만약 ${\displaystyle \mathbf {f} }$가 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수라면, 각 ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,m\}}$ 및 ${\displaystyle j\in \{1,\dots ,n\}}$에 대하여, ${\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=0}$의 양변에 ${\displaystyle \partial /\partial x_{j}}$를 취하면, 연쇄 법칙에 따라 다음을 얻는다.

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}+\sum _{k=1}^{m}{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{k}}}{\frac {\partial g_{k}}{\partial y_{j}}}=0}$

이를 행렬로 표기하면 ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} }$의 공식을 얻으며, 따라서 ${\displaystyle \mathbf {g} }$ 역시 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수이다.

다음과 같은 함수 ${\displaystyle \mathbf {F} \colon U\times V\to \mathbb {R} ^{m}}$를 정의하자.

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {y} -(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ))^{-1}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\qquad \forall \mathbf {x} \in U,\;\mathbf {y} \in V}$

그러면 다음이 성립한다.

${\displaystyle \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=1_{m\times m}-(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ))^{-1}\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\qquad \forall \mathbf {x} \in U,\;\mathbf {y} \in V}$

따라서 ${\displaystyle \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=0_{m\times m}}$이다. 또한 ${\displaystyle \det \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0}$이므로, ${\displaystyle 0<c<1}$를 취하였을 때, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle \delta _{1}>0}$가 존재한다.

• ${\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{1})\subseteq U}$
• ${\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})\subseteq V}$
• 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{1})}$ 및 ${\displaystyle \mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})}$에 대하여, ${\displaystyle \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )<c}$이며 ${\displaystyle \det \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\neq 0}$

또한, ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\mathbf {b} }$이므로, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle 0<\delta _{2}<\delta _{1}}$가 존재한다.

• 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$에 대하여, ${\displaystyle \Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {b} )-\mathbf {b} \Vert <(1-c)\delta _{1}}$

이제 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} '\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})}$에 대하여, ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\cdot )}$가 ${\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})}$ 위의 ${\displaystyle c}$-립시츠 연속 함수임을 증명하자. 우선 임의의 ${\displaystyle \mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})}$에 대하여, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle 0<\theta (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )<1}$가 존재한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )-\mathbf {b} \Vert &\leq \Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} )\Vert +\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} )-\mathbf {b} \Vert \\&\leq \Vert \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} +\theta (\mathbf {y} -\mathbf {b} ))\Vert \Vert \mathbf {y} -\mathbf {b} \Vert +\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} )-\mathbf {b} \Vert \\&<(1-c)\delta _{1}+c\delta _{1}\\&=\delta _{1}\end{aligned}}}$

따라서 ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )\in \operatorname {B} (\mathbf {b} ,\delta _{1})\subseteq {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})}$이다. 또한, 임의의 ${\displaystyle \mathbf {y} ,\mathbf {z} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})}$에 대하여, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle 0<\theta (\mathbf {x} ',\mathbf {y} ,\mathbf {z} )<1}$가 존재한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {z} )\Vert &\leq \Vert \mathrm {D} _{\mathrm {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {z} +\theta (\mathbf {y} -\mathbf {z} )\Vert \Vert \mathbf {y} -\mathbf {z} \Vert \\&\leq c\Vert \mathbf {y} -\mathbf {z} \Vert \end{aligned}}}$

즉, ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\cdot )}$는 ${\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})}$ 위의 ${\displaystyle c}$-립시츠 연속 함수이다. 또한 ${\displaystyle ({\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1}),\Vert \cdot \Vert )}$는 완비 거리 공간이므로, 바나흐 고정점 정리에 따라 ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\cdot )}$는 ${\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})}$에서 유일한 고정점 ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} ')\in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})}$를 가진다. 즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))=\mathbf {0} }$

이제 이렇게 정의한 ${\displaystyle \mathbf {g} \colon {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R} ^{m}}$가 연속 함수임을 증명하자. 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{2})}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} ')\Vert &=\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ))-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Vert \\&\leq \Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ))-\mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Vert +\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '))-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Vert \\&\leq c\Vert \mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} ')\Vert +c'\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert \end{aligned}}}$

${\displaystyle c'=\sup _{\mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{2}),\;\mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})}\Vert \mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\Vert }$

즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \Vert \mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} ')\Vert \leq {\frac {c'}{1-c}}\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert }$

따라서 ${\displaystyle \mathbf {g} }$는 연속 함수가 맞다. ${\displaystyle \mathbf {g} }$의 유일성은 고정점의 유일성에 따라 성립한다. 이제 ${\displaystyle \mathbf {f} }$가 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수일 때 ${\displaystyle \mathbf {g} }$의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{2})}$에 대하여, 다음과 같이 표기하자.

${\displaystyle \Delta \mathbf {y} (\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )=\mathbf {g} (\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} )}$

그러면 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \Delta \mathbf {y} +(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Delta \mathbf {x} \Vert &\leq \Vert (\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\Vert \Vert (\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))\Delta \mathbf {y} +\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Delta \mathbf {x} \Vert \\&=\Vert (\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\Vert \Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\Delta \mathbf {y} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))-(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))\Delta \mathbf {y} -\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Delta \mathbf {x} \Vert \\&=o(\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert )\qquad (\Delta \mathbf {x} \to \mathbf {0} )\end{aligned}}}$

마지막 등호는 ${\displaystyle \Vert \Delta \mathbf {y} \Vert \leq (c'/(1-c))\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert }$ 때문이다. 즉,

${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} (\mathbf {x} ')=-(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))}$

가 성립하며, ${\displaystyle \mathbf {g} }$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수이다.