역함수 정리

다변수 미적분학에서 역함수 정리(逆函數定理, 영어: inverse function theorem)는 주어진 함수가 국소적으로 충분히 매끄러운 역함수를 가질 충분 조건을 제시하는 정리이다.

양의 정수 ${\displaystyle k}$ 및 열린 근방 ${\displaystyle \mathbf {a} \in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 및 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수 ${\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$가 다음을 만족시킨다고 하자.

${\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )\neq 0}$

여기서 좌변은 ${\displaystyle \mathbf {f} }$의 ${\displaystyle \mathbf {a} }$에서의 야코비 행렬식이다. 그렇다면, ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 ${\displaystyle \mathbf {a} }$에서 국소 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린 근방 ${\displaystyle \mathbf {a} \in V\subseteq U}$가 존재한다.

• ${\displaystyle \mathbf {f} (V)}$는 열린집합이다.
• ${\displaystyle \mathbf {f} |_{V}}$는 단사 함수이다.
• ${\displaystyle \mathbf {g} \colon \mathbf {f} (V)\to \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\mapsto \mathbf {x} }$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수이다.

이를 역함수 정리라고 한다.^[1]:322-323

열린구간 ${\displaystyle a\in I\subseteq \mathbb {R} }$ 및 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수 ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$가 다음을 만족시킨다고 하자.

${\displaystyle f'(a)\neq 0}$

그렇다면, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle a}$에서 국소 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린구간 ${\displaystyle a\in J\subseteq I}$가 존재한다.

• ${\displaystyle f(J)}$는 열린구간이다.
• ${\displaystyle f|_{J}}$는 단사 함수이다.
• ${\displaystyle g\colon f(J)\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f(x)\mapsto x}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수이다.

이는 역함수 정리의 일변수 버전이다.

임의의 ${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$에 대하여, 다음과 같은 함수 ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$를 정의하자.

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )=\mathbf {x} +(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\qquad \forall \mathbf {x} \in U}$

그렇다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )=(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))\qquad \forall \mathbf {x} \in U,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$

그렇다면 ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} }$가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방 ${\displaystyle \mathbf {a} \in V\subseteq U}$가 존재한다.

${\displaystyle \Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\Vert <{\frac {1}{2\Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}}$

즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \Vert \mathrm {D} \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )\Vert <{\frac {1}{2}}\qquad \forall \mathbf {x} \in V,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$

즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )-\mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} ')\Vert \leq {\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x} '\Vert \qquad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {x} '\in V,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$

이제 ${\displaystyle \mathbf {f} |_{V}}$가 단사 함수임을 보이자. ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} '\in V}$가 ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} ')}$를 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} '}$는 모두 ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {f} (\mathbf {x} )}}$의 고정점이다. 즉, ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {f} (\mathbf {x} )}(\mathbf {x} )=\mathbf {x} }$이며 ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {f} (\mathbf {x} )}(\mathbf {x} ')=\mathbf {x} '}$이다. 이를 위에 대입하면, ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} '}$를 얻는다. 따라서 ${\displaystyle \mathbf {f} |_{V}}$는 단사 함수이다.

이제 ${\displaystyle \mathbf {f} (V)}$가 열린집합임을 보이자. 즉, 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} '\in V}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )\subseteq \mathbf {f} (V)}$인 ${\displaystyle \epsilon >0}$을 찾자. 그러려면 임의의 ${\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {B} (\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )}$에 대하여, ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }}$가 ${\displaystyle V}$에서 고정점을 가지는 것으로 족하다. ${\displaystyle \delta >0}$가 ${\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )\subseteq V}$를 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {B} (\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )}$에 대하여 ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta ))\subseteq \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta )}$가 성립함을 보이는 것으로 족하다. 사실, ${\displaystyle \epsilon =\delta /2\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }$를 취하면, 임의의 ${\displaystyle \mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )}$ 및 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta )}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )-\mathbf {x} '\Vert &\leq \Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )-\mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} ')\Vert +\Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} ')-\mathbf {x} '\Vert \\&\leq {\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x} '\Vert +\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {x} '))\Vert \\&<\delta \end{aligned}}}$

즉, ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )\in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )}$이다. 즉, ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }}$는 ${\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )}$ 위의 축약 사상이며, 바나흐 고정점 정리에 따라, ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }}$는 고정점 ${\displaystyle \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )}$를 갖는다. 따라서, ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {f} (\mathbf {x} )\in \mathbf {f} ({\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta ))\subseteq \mathbf {f} (V)}$이며, ${\displaystyle \mathbf {f} (V)}$는 열린집합이다.

이제 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$에 대하여, ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )}$가 가역 행렬임을 보이자. ${\displaystyle \mathbf {h} \in \mathbb {R} ^{n}}$가 ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\mathbf {h} =\mathbf {0} }$을 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\mathbf {h} \Vert \\&\geq \Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )\mathbf {h} \Vert -\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {h} \Vert \\&\geq {\frac {\Vert \mathbf {h} \Vert }{\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}-\Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\Vert \Vert \mathbf {h} \Vert \\&\geq {\frac {\Vert \mathbf {h} \Vert }{2\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}\\\end{aligned}}}$

즉, ${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {0} }$이다. 따라서 ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )}$는 가역 행렬이다.

이제 ${\displaystyle \mathbf {g} \colon \mathbf {f} (V)\to \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\to \mathbf {x} }$가 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수임을 보이자. 임의의 ${\displaystyle \mathbf {y} ,\mathbf {y} +\mathbf {k} \in \mathbf {f} (V)}$에 대하여, ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {f} (\mathbf {x} )}$ 또한 ${\displaystyle \mathbf {y} +\mathbf {k} =\mathbf {f} (\mathbf {x} +\mathbf {h} )}$인 ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} +\mathbf {h} \in V}$를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {h} \Vert &\geq \Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} +\mathbf {h} )-\mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )\Vert \\&=\Vert \mathbf {h} -(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\mathbf {k} \Vert \\&\geq \Vert \mathbf {h} \Vert -\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert \Vert \mathbf {k} \Vert \end{aligned}}}$

즉, ${\displaystyle \Vert \mathbf {k} \Vert \geq \Vert \mathbf {h} \Vert /(2\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert )}$이다. 따라서, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{\mathbf {k} \to \mathbf {0} }{\frac {\Vert \mathbf {g} (\mathbf {y} +\mathbf {k} )-\mathbf {g} (\mathbf {y} )-(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {k} \Vert }{\Vert \mathbf {k} \Vert }}&=\limsup _{\mathbf {k} \to \mathbf {0} }{\frac {\Vert \mathbf {h} -(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}(\mathbf {f} (\mathbf {x} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\Vert }{\Vert \mathbf {k} \Vert }}\\&\leq \limsup _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}\Vert }{\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}{\frac {\Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} )-(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {h} \Vert }{\Vert \mathbf {h} \Vert }}\\&=0\end{aligned}}}$

즉, ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} (\mathbf {x} )=(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {y} ))^{-1}}$이며, ${\displaystyle \mathbf {g} }$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수이다.

열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 및 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 함수 ${\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$가 다음을 만족시킨다고 하자.

${\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\neq 0\qquad \forall \mathbf {x} \in U}$

그렇다면, ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 열린 함수이다. 즉, 모든 열린집합 ${\displaystyle {\widetilde {U}}\subseteq U}$의 상 ${\displaystyle \mathbf {f} ({\widetilde {U}})}$은 역시 열린집합이다.

열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 및 단사 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수 ${\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$가 다음을 만족시킨다고 하자.

${\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\neq 0\qquad \forall \mathbf {x} \in U}$

그렇다면, ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 미분동형사상이다. 즉, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle \mathbf {f} (U)}$는 열린집합이다.
• ${\displaystyle \mathbf {f} ^{-1}\colon f(U)\to \mathbb {R} ^{n}}$은 역시 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수이다.

다음과 같은 함수 ${\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$를 생각하자.

${\displaystyle \mathbf {f} (x,y)=(e^{x}\cos y,e^{x}\sin y)\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }$

그렇다면, ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ 함수이며, 또한 다음을 만족시킨다.

${\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (x,y)=e^{2x}\neq 0}$

음함수 정리에 따라, ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 (모든 점에서) 국소 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ 미분동형사상이다. 그러나 ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 삼각 함수의 주기성에 따라 단사 함수가 아니므로, 미분동형사상이 아니다.

다음과 같은 함수 ${\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$를 생각하자.

${\displaystyle \mathbf {f} (x,y)=(x^{3},y)\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }$

그렇다면, ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 연속 함수이며, 다음과 같은 연속 역함수 ${\displaystyle f^{-1}}$를 갖는다.

${\displaystyle f^{-1}(u,v)=(u^{1/3},v)\qquad \forall u,v\in \mathbb {R} }$

즉, ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}$ 미분동형사상이다. 그러나, ${\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (0,0)=0}$이다. 즉, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}$ 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가질 수 있다. ${\displaystyle k>0}$일 경우, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가지지 않는다.

• 음함수 정리

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inverse function theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.