해석학 에서 아벨의 합 공식 (Abel's Sum Formula)은 크게 두 가지 의미로 사용된다. 여기에서는 적분 에 대한 공식을 기술할 것이다. 이는 많은 경우 쉽게 적분할 수 없을 것처럼 보이는 적분을 쉽게 만들어주는 공식이다. 닫힌 꼴의 적분값을 찾는 적분 기법의 측면에서, 이는 초등적인 기법으로 증명할 수 있는 고급 테크닉에 속한다.(이외의 테크닉으로는 푸리에 해석 을 이용한 방법, 유수 정리 를 이용한 방법, 변수 변환 을 이용한 방법, 수열 을 이용한 방법 등이 있다)
일반적으로 아벨의 합 공식은 다음과 같이 공식화된다.
보조정리 : [ c , ∞ ] {\displaystyle [c,\infty ]} 에서 리만적분가능함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 에 대해 ∫ c ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{c}^{\infty }f(x)\,dx} 가 수렴하면, 적분 ∫ c ∞ e − a x f ( x ) d x = F ( a ) {\displaystyle \int _{c}^{\infty }e^{-ax}f(x)\,dx=F(a)} 는 0 ≤ a ≤ 1 {\displaystyle 0\leq a\leq 1} 에 대해 균등수렴 한다. 정리 : 이 때, 실제로 ∫ c ∞ f ( x ) d x = lim a → + 0 F ( a ) {\displaystyle \int _{c}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\rightarrow +0}F(a)} 가 성립한다. 이것 자체의 증명은 그다지 어렵지 않으므로 생략한다.
아벨의 합 공식을 이용하는 방법은, 위의 공식에서 다른 방법으로 F ( a ) {\displaystyle F(a)} 에 관한 식을 찾은 뒤 이것을 a {\displaystyle a} 에 관해 풀어서 적분을 구하는 것이다.
아벨의 합 공식을 이용해 실제로 적분 ∫ 0 ∞ sin x x d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx} 를 계산해 보자. 공식에 대입하면,
∫ 0 ∞ sin x x d x = lim a → + 0 ∫ 0 ∞ e − a x sin x x d x = lim a → + 0 F ( a ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx=\lim _{a\rightarrow +0}\int _{0}^{\infty }e^{-ax}{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx=\lim _{a\rightarrow +0}F(a)} 이 된다. 그런데 우변의 식은,
F ′ ( a ) = − ∫ 0 ∞ e − a x sin x d x = − 1 1 + a 2 {\displaystyle F'(a)=-\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin {x}\,dx=-{\frac {1}{1+a^{2}}}} 이 되므로, 이를 다시 a {\displaystyle a} 에 관해 적분하면,
F ( a ) = − arctan a + C {\displaystyle F(a)=-\arctan {a}+C} 와 같이 된다. 적분상수를 결정하기 위해 적분의 형태를 이용하자. F ( a ) {\displaystyle F(a)} 의 원 식에서 a {\displaystyle a} 가 무한대로 가면, 적분식 안이 0 {\displaystyle 0} 으로 접근하므로 F ( a ) {\displaystyle F(a)} 역시 0 {\displaystyle 0} 으로 접근한다. 또 이때 아크탄젠트 함수의 값은 π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 로 접근하므로, 적분상수는 결국 π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 와 같이 된다. 따라서,
lim a → + 0 [ − arctan a + π 2 ] = π 2 {\displaystyle \lim _{a\rightarrow +0}{[-\arctan {a}+{\frac {\pi }{2}}]}={\frac {\pi }{2}}} 가 되고, 이는 원 적분과 같다.
호리에 노부오 외, 《미분적분학 연습》, 도서출판 고섶, 2006