미적분학 에서 비 판정법 (比判定法, 영어 : ratio test ) 또는 달랑베르 비 판정법 (영어 : d'Alembert's ratio test ) 또는 코시 비 판정법 (영어 : Cauchy ratio test )은 양의 실수 항의 급수 의 수렴 여부를 가리는 수렴 판정법 이다. 실수 항의 급수의 절대 수렴 여부를 판단할 수도 있다. 이웃하는 두 항의 비의 극한 을 사용한다. 공비에 따른 기하급수 의 수렴 여부에 기반한다. 다른 급수를 “표준 급수”로 삼아 더 정교한 판정법을 만들 수 있다. 그러나 이렇게 만든 판정법은 모든 급수에 대하여 유효할 수 없다. 즉, 임의의 급수에 대하여, 이 급수에 기반한 판정법이 효력을 잃는 급수를 구성할 수 있다.
양의 실수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} a n > 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle a_{n}>0\forall n\geq 0} 극한
L = lim n → ∞ a n + 1 a n ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\in [0,\infty ]} 가 존재한다고 하자. 비 판정법 에 따르면, 다음이 성립한다.
만약 L < 1 {\displaystyle L<1} ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 만약 L > 1 {\displaystyle L>1} ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 만약 L < 1 {\displaystyle L<1} L < q < 1 {\displaystyle L<q<1} N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} n ≥ N {\displaystyle n\geq N}
a n + 1 a n < q {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<q} 이다. 따라서 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N}
a n = a N ⋅ a N + 1 a N ⋅ a N + 2 a N + 1 ⋅ ⋯ ⋅ a n a n − 1 ≤ a N q n − N {\displaystyle a_{n}=a_{N}\cdot {\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\cdot {\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\leq a_{N}q^{n-N}} 이다. 0 ≤ q < 1 {\displaystyle 0\leq q<1} 기하급수 ∑ n = 0 ∞ q n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}} 비교 판정법 에 따라, 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
만약 L > 1 {\displaystyle L>1} N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} n ≥ N {\displaystyle n\geq N}
a n + 1 a n > 1 {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1} 이다. 즉, ( a N , a N + 1 , … ) {\displaystyle (a_{N},a_{N+1},\dots )} 증가수열 이며, 특히 0으로 수렴할 수 없다. 따라서, 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
보다 일반적으로, 양의 실수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} a n > 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle a_{n}>0\forall n\geq 0}
R = lim sup n → ∞ a n + 1 a n ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\in [0,\infty ]} r = lim inf n → ∞ a n + 1 a n ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\in [0,\infty ]} 라고 하자 (이는 항상 존재하며, 항상 r ≤ R {\displaystyle r\leq R} 비 판정법 에 따르면, 다음이 성립한다.
만약 R < 1 {\displaystyle R<1} ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 만약 r > 1 {\displaystyle r>1} ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 만약 극한 L {\displaystyle L} L = R = r {\displaystyle L=R=r} r ≤ 1 ≤ R {\displaystyle r\leq 1\leq R} L = 1 {\displaystyle L=1} n {\displaystyle n} a n + 1 a n ≥ 1 {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1} lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0} ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} r > 1 {\displaystyle r>1} r ≥ 1 {\displaystyle r\geq 1} r > 1 {\displaystyle r>1} 근 판정법 이나 라베 판정법 등 더 정교한 방법을 사용할 수도 있다.
만약 R < 1 {\displaystyle R<1} R < q < 1 {\displaystyle R<q<1} N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} n ≥ N {\displaystyle n\geq N}
a n + 1 a n < q {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<q} 이다. 따라서 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N}
a n = a N ⋅ a N + 1 a N ⋅ a N + 2 a N + 1 ⋅ ⋯ ⋅ a n a n − 1 ≤ a N q n − N {\displaystyle a_{n}=a_{N}\cdot {\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\cdot {\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\leq a_{N}q^{n-N}} 이다. 0 ≤ q < 1 {\displaystyle 0\leq q<1} 기하급수 ∑ n = 0 ∞ q n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}} 비교 판정법 에 따라, 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
만약 r > 1 {\displaystyle r>1} N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} n ≥ N {\displaystyle n\geq N}
a n + 1 a n > 1 {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1} 이다. 즉, ( a N , a N + 1 , … ) {\displaystyle (a_{N},a_{N+1},\dots )} 증가수열 이며, 특히 0으로 수렴할 수 없다. 따라서, 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
급수 ∑ n = 1 ∞ n 2 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}} a n = n 2 n {\displaystyle a_{n}={\frac {n}{2^{n}}}}
L = lim n → ∞ a n + 1 a n = lim n → ∞ ( n + 1 2 n + 1 ⋅ 2 n n ) = lim n → ∞ n + 1 2 n = 1 2 < 1 {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {n+1}{2^{n+1}}}\cdot {\frac {2^{n}}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{2n}}={\frac {1}{2}}<1} 이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다.
급수 ∑ n = 1 ∞ 2 n n ! n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}n!}{n^{n}}}} a n = 2 n n ! n n {\displaystyle a_{n}={\frac {2^{n}n!}{n^{n}}}}
L = lim n → ∞ a n + 1 a n = lim n → ∞ ( 2 n + 1 ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) n + 1 ⋅ n n 2 n n ! ) = lim n → ∞ 2 ( 1 + 1 / n ) n = 2 e < 1 {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}\cdot {\frac {n^{n}}{2^{n}n!}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{(1+1/n)^{n}}}={\frac {2}{\mathrm {e} }}<1} 이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다.
급수 ∑ n = 0 ∞ ( 100 ⋅ ( 100 − 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ ( 100 − n + 1 ) n ! ⋅ 1 2 n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {100\cdot (100-1)\cdot \cdots \cdot (100-n+1)}{n!}}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}\right)} 절대 수렴 여부를 판단할 수 있다. a n = 100 ⋅ ( 100 − 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ ( 100 − n + 1 ) n ! ⋅ 1 2 n {\displaystyle a_{n}={\frac {100\cdot (100-1)\cdot \cdots \cdot (100-n+1)}{n!}}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}}
L = lim n → ∞ | a n + 1 | | a n | = lim n → ∞ | 100 ⋅ ( 100 − 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ ( 100 − n ) ( n + 1 ) ! ⋅ 1 2 n + 1 ⋅ n ! 100 ⋅ ( 100 − 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ ( 100 − n + 1 ) ⋅ 2 n | = lim n → ∞ n − 100 2 ( n + 1 ) = 1 2 < 1 {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {100\cdot (100-1)\cdot \cdots \cdot (100-n)}{(n+1)!}}\cdot {\frac {1}{2^{n+1}}}\cdot {\frac {n!}{100\cdot (100-1)\cdot \cdots \cdot (100-n+1)}}\cdot {2^{n}}\right|=\lim _{n\to \infty }{\frac {n-100}{2(n+1)}}={\frac {1}{2}}<1} 비 판정법에 의하여, 이 급수는 절대 수렴 하며, 특히 수렴한다.
급수 ∑ n = 1 ∞ 2 n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}}{n}}} a n = 2 n n {\displaystyle a_{n}={\frac {2^{n}}{n}}}
L = lim n → ∞ a n + 1 a n = lim n → ∞ ( 2 n + 1 n + 1 ⋅ n 2 n ) = lim n → ∞ 2 n n + 1 = 2 > 1 {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{2^{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{n+1}}=2>1} 이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 발산한다.
급수 ∑ n = 1 ∞ 3 n n ! n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}n!}{n^{n}}}} a n = 3 n n ! n n {\displaystyle a_{n}={\frac {3^{n}n!}{n^{n}}}}
L = lim n → ∞ a n + 1 a n = lim n → ∞ ( 3 n + 1 ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) n + 1 ⋅ n n 3 n n ! ) = lim n → ∞ 3 ( 1 + 1 / n ) n = 3 e > 1 {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {3^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}\cdot {\frac {n^{n}}{3^{n}n!}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {3}{(1+1/n)^{n}}}={\frac {3}{\mathrm {e} }}>1} 이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 발산한다.
급수 ∑ n = 0 ∞ 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }1} L = 1 {\displaystyle L=1} a n = 1 {\displaystyle a_{n}=1} n {\displaystyle n} a n a n + 1 ≥ 1 {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\geq 1}
양의 실수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} a n > 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle a_{n}>0\forall n\geq 0} 라베 판정법 (영어 : Raabe’s test )에 따르면, 다음이 성립한다.
만약 s = lim inf n → ∞ n ( a n a n + 1 − 1 ) > 1 {\displaystyle s=\liminf _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)>1} ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 만약 s ′ = lim sup n → ∞ n ( a n a n + 1 − 1 ) < 1 {\displaystyle s'=\limsup _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)<1} ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 만약 R < 1 {\displaystyle R<1} s = ∞ {\displaystyle s=\infty } r > 1 {\displaystyle r>1} s ′ = − ∞ {\displaystyle s'=-\infty } ∑ n = 1 ∞ 1 n t {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{t}}}} t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } t > 1 {\displaystyle t>1} t ≤ 1 {\displaystyle t\leq 1} 코시 응집 판정법 이나 적분 판정법 을 통하여 보일 수 있다.) 두 번째 명제에서, s ′ < 1 {\displaystyle s'<1} n {\displaystyle n} n ( a n a n + 1 − 1 ) ≤ 1 {\displaystyle n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)\leq 1}
임의의 t > u > 1 {\displaystyle t>u>1} ϵ t , u > 0 {\displaystyle \epsilon _{t,u}>0} 0 ≤ x < ϵ t , u {\displaystyle 0\leq x<\epsilon _{t,u}}
1 + t x ≥ ( 1 + x ) u {\displaystyle 1+tx\geq (1+x)^{u}} 이는
f : [ 0 , ∞ ) → R {\displaystyle f\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} } f ( x ) = 1 + t x − ( 1 + x ) u {\displaystyle f(x)=1+tx-(1+x)^{u}} 라고 하였을 때
f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} f ′ ( 0 ) = t − u > 0 {\displaystyle f'(0)=t-u>0} 이며, f ′ {\displaystyle f'} 연속 함수 이기 때문이다.
만약 s > t > u > 1 {\displaystyle s>t>u>1} N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} n ≥ N {\displaystyle n\geq N}
a n a n + 1 > 1 + t n ≥ ( 1 + 1 n ) u = ( n + 1 ) u n u {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}>1+{\frac {t}{n}}\geq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{u}={\frac {(n+1)^{u}}{n^{u}}}} 이다. 즉,
n u a n > ( n + 1 ) u a n + 1 {\displaystyle n^{u}a_{n}>(n+1)^{u}a_{n+1}} 이다. 따라서, 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N}
n u a n ≤ ( n − 1 ) u a n − 1 ≤ ⋯ ≤ N u a N {\displaystyle n^{u}a_{n}\leq (n-1)^{u}a_{n-1}\leq \cdots \leq N^{u}a_{N}} 이다. 즉,
a n ≤ N u a N n u {\displaystyle a_{n}\leq {\frac {N^{u}a_{N}}{n^{u}}}} 이다. 급수 ∑ n = 1 ∞ 1 n u {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{u}}}} 비교 판정법 에 따라 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
만약 s ′ < 1 {\displaystyle s'<1} N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} n ≥ N {\displaystyle n\geq N}
a n a n + 1 < 1 + 1 n = n + 1 n {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}<1+{\frac {1}{n}}={\frac {n+1}{n}}} 이다. 즉,
n a n < ( n + 1 ) a n + 1 {\displaystyle na_{n}<(n+1)a_{n+1}} 이다. 따라서, 임의의 n ≥ N {\displaystyle n\geq N}
n a n ≥ ( n − 1 ) a n − 1 ≥ ⋯ ≥ N a N {\displaystyle na_{n}\geq (n-1)a_{n-1}\geq \cdots \geq Na_{N}} 이다. 즉,
a n ≥ N a N n {\displaystyle a_{n}\geq {\frac {Na_{N}}{n}}} 이다. 조화급수 ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}} 비교 판정법 에 따라 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
급수 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}} a n = ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! {\displaystyle a_{n}={\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}}
s = lim n → ∞ n ( a n a n + 1 − 1 ) = lim n → ∞ n ( ( n + 1 ) 2 n 2 − 1 ) = lim n → ∞ n ( n 2 + 2 n + 1 n 2 − 1 ) = lim n → ∞ 2 n 2 + n n 2 = 2 > 1 {\displaystyle s=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {(n+1)^{2}}{n^{2}}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {n^{2}+2n+1}{n^{2}}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {2n^{2}+n}{n^{2}}}=2>1} 이다. 라베 판정법에 따라, 이 급수는 수렴한다. (라베 판정법의 표준적인 증명은 이 급수가 수렴한다는 사실을 사용한다는 데 주의하자.) 적분 판정법 이나 코시 응집 판정법 을 사용할 수도 있다. 비 판정법이나 근 판정법 으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다.
급수 ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}} a n = ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! {\displaystyle a_{n}={\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}}
s ′ = lim n → ∞ n ( a n a n + 1 − 1 ) = lim n → ∞ n ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ⋅ ( 2 n + 2 ) ! ! ( 2 n + 1 ) ! ! − 1 ) = lim n → ∞ n ( 2 n + 2 2 n + 1 − 1 ) = lim n → ∞ n 2 n + 1 = 1 2 < 1 {\displaystyle s'=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {(2n+2)!!}{(2n+1)!!}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {2n+2}{2n+1}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{2n+1}}={\frac {1}{2}}<1} 이다. 라베 판정법에 따라, 이 급수는 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법 으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다.
양의 실수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} a n > 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle a_{n}>0\forall n\geq 0} 베르트랑 판정법 (영어 : Raabe’s test )에 따르면, 다음이 성립한다.
만약 b = lim inf n → ∞ ln n ( n ( a n a n + 1 − 1 ) − 1 ) > 1 {\displaystyle b=\liminf _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)>1} ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 만약 b ′ = lim sup n → ∞ ln n ( n ( a n a n + 1 − 1 ) − 1 ) < 1 {\displaystyle b'=\limsup _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)<1} ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 만약 s > 1 {\displaystyle s>1} b = ∞ {\displaystyle b=\infty } s ′ < 1 {\displaystyle s'<1} b ′ = − ∞ {\displaystyle b'=-\infty } ∑ n = 2 ∞ 1 n ln t n {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln ^{t}n}}} t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } t > 1 {\displaystyle t>1} t ≤ 1 {\displaystyle t\leq 1} 적분 판정법 을 통하여 보일 수 있다.) 두 번째 명제에서, b ′ < 1 {\displaystyle b'<1} n {\displaystyle n} ln n ( n ( a n a n + 1 − 1 ) − 1 ) ≤ 1 {\displaystyle \ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\leq 1}
라베 판정법의 증명에서 다음 사실을 증명하였다. 임의의 t > u > 1 {\displaystyle t>u>1} ϵ t , u > 0 {\displaystyle \epsilon _{t,u}>0} 0 ≤ x < ϵ t , u {\displaystyle 0\leq x<\epsilon _{t,u}}
1 + t x ≥ ( 1 + x ) u {\displaystyle 1+tx\geq (1+x)^{u}} 베르트랑 판정법의 증명은 다음 사실을 추가로 사용한다. 임의의 x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0}
x ≥ ln ( 1 + x ) {\displaystyle x\geq \ln(1+x)} 이는
g : [ 0 , ∞ ) → R {\displaystyle g\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} } g ( x ) = x − ln ( 1 + x ) {\displaystyle g(x)=x-\ln(1+x)} 라고 하였을 때
g ( 0 ) = 0 {\displaystyle g(0)=0} g ′ ( x ) = 1 − 1 1 + x ≥ 0 {\displaystyle g'(x)=1-{\frac {1}{1+x}}\geq 0} 이기 때문이다.
만약 b > t > u > 1 {\displaystyle b>t>u>1} N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} n ≥ N {\displaystyle n\geq N}
a n a n + 1 > 1 + 1 n + t n ln n ≥ 1 n + ( 1 + 1 n ln n ) u = 1 n + ( n ln n + 1 n ln n ) u = 1 n + ( ln n + 1 / n ln n ) u ≥ 1 n + ( ln n + ln ( 1 + 1 / n ) ln n ) u = 1 n + ( ln ( n + 1 ) ln n ) u = 1 n + ln u ( n + 1 ) ln u n = ln u ( n + 1 ) + n ln u ( n + 1 ) n ln u n = ( n + 1 ) ln u ( n + 1 ) n ln u n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}&>1+{\frac {1}{n}}+{\frac {t}{n\ln n}}\\&\geq {\frac {1}{n}}+\left(1+{\frac {1}{n\ln n}}\right)^{u}\\&={\frac {1}{n}}+\left({\frac {n\ln n+1}{n\ln n}}\right)^{u}\\&={\frac {1}{n}}+\left({\frac {\ln n+1/n}{\ln n}}\right)^{u}\\&\geq {\frac {1}{n}}+\left({\frac {\ln n+\ln(1+1/n)}{\ln n}}\right)^{u}\\&={\frac {1}{n}}+\left({\frac {\ln(n+1)}{\ln n}}\right)^{u}\\&={\frac {1}{n}}+{\frac {\ln ^{u}(n+1)}{\ln ^{u}n}}\\&={\frac {\ln ^{u}(n+1)+n\ln ^{u}(n+1)}{n\ln ^{u}n}}\\&={\frac {(n+1)\ln ^{u}(n+1)}{n\ln ^{u}n}}\end{aligned}}} 이다. 급수 ∑ n = 2 ∞ 1 n ln u n {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln ^{u}n}}} 비교 판정법 에 따라 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
만약 b ′ < 1 {\displaystyle b'<1} N ≥ 0 {\displaystyle N\geq 0} n ≥ N {\displaystyle n\geq N}
a n a n + 1 < 1 + 1 n + 1 n ln n = ( n + 1 ) ln n + 1 n ln n ≤ ( n + 1 ) ln n + n ln ( 1 + 1 / n ) n ln n < ( n + 1 ) ln n + ( n + 1 ) ln ( 1 + 1 / n ) n ln n = ( n + 1 ) ln ( n + 1 ) n ln n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}&<1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n\ln n}}\\&={\frac {(n+1)\ln n+1}{n\ln n}}\\&\leq {\frac {(n+1)\ln n+n\ln(1+1/n)}{n\ln n}}\\&<{\frac {(n+1)\ln n+(n+1)\ln(1+1/n)}{n\ln n}}\\&={\frac {(n+1)\ln(n+1)}{n\ln n}}\end{aligned}}} 이다. 급수 ∑ n = 2 ∞ 1 n ln n {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln n}}} 비교 판정법 에 따라 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
급수 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}} 절대 수렴 여부를 판단할 수 있다. a n = ( − 1 ) n − 1 1 n {\displaystyle a_{n}=(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}}
b ′ = lim n → ∞ ln n ( n ( | a n | | a n + 1 | − 1 ) − 1 ) = lim n → ∞ ln n ( n ( n + 1 n − 1 ) − 1 ) = lim n → ∞ ln n ( n ⋅ 1 n − 1 ) = 0 < 1 {\displaystyle b'=\lim _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {|a_{n}|}{|a_{n+1}|}}-1\right)-1\right)=\lim _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {n+1}{n}}-1\right)-1\right)=\lim _{n\to \infty }\ln n\left(n\cdot {\frac {1}{n}}-1\right)=0<1} 이다. 베르트랑 판정법에 따라, 이 급수는 절대 수렴 하지 않는다. (이 사실은 베르트랑 판정법의 증명에서 사용된다.) 이 급수는 양의 항의 급수가 아니므로, 수렴 여부를 판단하려면 다른 방법을 사용해야 한다. 교대급수 판정법 에 따라, 이 급수는 수렴한다. 즉, 이 급수는 조건 수렴 한다. 비 판정법이나 근 판정법 또는 라베 판정법으로는 이 급수의 절대 수렴 여부를 알 수 없다.
급수 ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}} a n = ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 {\displaystyle a_{n}=\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}}
b ′ = lim n → ∞ ln n ( n ( a n a n + 1 − 1 ) − 1 ) = lim n → ∞ ln n ( n ( ( 2 n − 1 ) ! ! 2 ( 2 n ) ! ! 2 ⋅ ( 2 n + 2 ) ! ! 2 ( 2 n + 1 ) ! ! 2 − 1 ) − 1 ) = lim n → ∞ ln n ( n ( ( 2 n + 2 ) 2 ( 2 n + 1 ) 2 − 1 ) − 1 ) = lim n → ∞ ln n ( n ( 4 n 2 + 8 n + 4 4 n 2 + 4 n + 1 − 1 ) − 1 ) = lim n → ∞ ln n ( 4 n 2 + 3 n 4 n 2 + 4 n + 1 − 1 ) = lim n → ∞ − ( n + 1 ) ln n 4 n 2 + 4 n + 1 = 0 < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}b'&=\lim _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {(2n-1)!!^{2}}{(2n)!!^{2}}}\cdot {\frac {(2n+2)!!^{2}}{(2n+1)!!^{2}}}-1\right)-1\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {(2n+2)^{2}}{(2n+1)^{2}}}-1\right)-1\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\ln n\left(n\left({\frac {4n^{2}+8n+4}{4n^{2}+4n+1}}-1\right)-1\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\ln n\left({\frac {4n^{2}+3n}{4n^{2}+4n+1}}-1\right)\\&=\lim _{n\to \infty }-{\frac {(n+1)\ln n}{4n^{2}+4n+1}}\\&=0\\&<1\end{aligned}}} 이다. 베르트랑 판정법에 따라, 이 급수는 발산한다. 사실, s = s ′ = 1 {\displaystyle s=s'=1} n {\displaystyle n} n ( a n a n + 1 − 1 ) ≤ 1 {\displaystyle n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)\leq 1}
양의 실수 항 급수 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} a n > 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle a_{n}>0\forall n\geq 0} 쿠머 판정법 (영어 : Kummer’s test )에 따르면, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건 이다.[ 1] :Theorem, (1)
∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 어떤 양의 실수의 수열 ( b n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }} b n > 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle b_{n}>0\forall n\geq 0} lim inf n → ∞ ( b n a n a n + 1 − b n + 1 ) > 0 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left(b_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-b_{n+1}\right)>0} 마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건 이다.[ 1] :Theorem, (2)
∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 어떤 양의 실수의 수열 ( b n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }} b n > 0 ∀ n ≥ 0 {\displaystyle b_{n}>0\forall n\geq 0} ∑ n = 0 ∞ 1 b n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{b_{n}}}} n {\displaystyle n} lim sup n → ∞ ( b n a n a n + 1 − b n + 1 ) < 0 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(b_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-b_{n+1}\right)<0} 쿠머 판정법의 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다.
b n {\displaystyle b_{n}} 수렴 판정법 b n = 1 {\displaystyle b_{n}=1} 비 판정법 b n = n {\displaystyle b_{n}=n} 라베 판정법 b n = n ln n {\displaystyle b_{n}=n\ln n} 베르트랑 판정법
다른 판정법과 달리, 쿠머 판정법은 양의 항의 급수가 수렴·발산할 필요충분조건 을 제시하며,[ 1] ( b n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }} ( b n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }} ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} lim n → ∞ y n x n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}=\infty } ∑ n = 0 ∞ y n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }y_{n}} ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}} lim n → ∞ y n x n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}=0} ∑ n = 0 ∞ y n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }y_{n}}
비 판정법은 장 르 롱 달랑베르 가 처음 발표하였다. 쿠머 판정법(의 충분성 부분)은 1835년에 에른스트 쿠머 가 제시하였다.[ 2] [ 1]
d'Alembert, J. (1768), 《Opuscules》 (영어) V , 171–183쪽 Apostol, Tom M. (1974), 《Mathematical analysis》 (영어) 2판, Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-00288-1 Knopp, Konrad (1956), 《Infinite Sequences and Series》 (영어), New York: Dover publications, Inc., ISBN 0-486-60153-6 Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》 . International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8 MR 0385023 . Zbl 0346.26002 . 2014년 10월 6일에 원본 문서 에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함 . Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 37 3판. Singapore: Springer. doi :10.1007/978-981-10-1789-6 . ISBN 978-981-10-1789-6 ISSN 2366-8725 . LCCN 2016940817 . Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1963), 《A Course in Modern Analysis》 (영어) 4판, Cambridge University Press, ISBN 0-521-58807-3 
![{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\in [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b6d5fc352b36e5b99ecbb4d0e8697ffc48d92a)
![{\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\in [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c456b5e8d38be0dc0373139774f4bcc31a483d9)
![{\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\in [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62e53da205adcbd5a63e805f2992892dc8f9e0f)
