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해석학 및 위상수학 에서 극한 (極限, 영어 : limit ) 또는 극한값 (極限-)은 수열 이나 함수 따위가 한없이 가까워지는 값이다. 수렴 (收斂, 영어 : convergence )은 수열이나 함수가 극한을 갖는 성질이다. 발산 (發散, 영어 : divergence )은 수렴에 반대되는 성질이다. 수열의 극한 은 그물 의 극한으로 자연스럽게 일반화되며, 함수의 극한 은 필터 의 극한의 특수한 경우다. 필터와 그물 사이의 대응 관계에 따라, 필터와 그물의 수렴 이론은 사실상 동치다.
일반적으로 x 가 c 로 갈 때 함수 f(x) 의 극한이 L 임을 아래처럼 표현한다.
lim x → c f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L} 이는 x 가 c 와 충분히 가까워질수록 f(x) 도 L 에 원하는 만큼 가까워질 수 있음을 의미한다. " x → c {\displaystyle x\to c} 일 때 f ( x ) → L {\displaystyle f(x)\to L} 이다"라고 쓰기도 한다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} 의 부분 집합 들의 필터 기저 B ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)} x ∈ X {\displaystyle x\in X} 만약 다음 조건이 성립한다면 필터 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가 점 x {\displaystyle x} 로 수렴한다 (영어 : the filter base F {\displaystyle {\mathcal {F}}} converges to the point x {\displaystyle x} )고 하며, x {\displaystyle x} 를 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 극한 이라고 한다. 이를 B → x {\displaystyle {\mathcal {B}}\to x} 라고 쓴다.
N x ⊂ ↑ B {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\subset \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}} . 즉, 임의의 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 에 대하여, B ⊂ U {\displaystyle B\subset U} 인 B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 가 존재한다. (여기서 N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} 는 x {\displaystyle x} 의 근방 필터 이며, ↑ B {\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}} 는 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 상폐포 다.) 다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이 조건이 성립한다면 x {\displaystyle x} 가 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 집적점 (集積點, 영어 : cluster point )이라고 한다.
x ∈ ⋂ B ∈ B cl B {\displaystyle \textstyle x\in \bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\operatorname {cl} B} . (여기서 cl B {\displaystyle \operatorname {cl} B} 는 B {\displaystyle B} 의 폐포 다.) B ′ → x {\displaystyle {\mathcal {B}}'\to x} 이며 ↑ B ⊂ ↑ B ′ {\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}\subset \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}'} 인 필터 기저 B ′ ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}'\subset {\mathcal {P}}(X)} 가 존재한다. 모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
필터 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 의 극한·집적점은 이로부터 유도되는 그물
{ ( b , B ) : b ∈ B ∈ B } → X {\displaystyle \{(b,B)\colon b\in B\in {\mathcal {B}}\}\to X} ( b , B ) ↦ b {\displaystyle (b,B)\mapsto b} 의 극한·집적점과 일치한다. 이 그물의 정의역 위에 주어지는 상향 부분 순서 는 다음과 같다.
( b , B ) ≲ ( b ′ , B ′ ) ⟺ B ⊃ B ′ {\displaystyle (b,B)\lesssim (b',B')\iff B\supset B'} 그물과 점렬 [ 편집 ] 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간 X {\displaystyle X} 그물 ( x i ) i ∈ ( I , ≲ I ) ⊂ X {\displaystyle (x_{i})_{i\in (I,\lesssim _{I})}\subset X} x ∈ X {\displaystyle x\in X} 만약 다음 조건이 성립한다면, 그물 ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 가 점 x {\displaystyle x} 로 수렴한다 (영어 : the net ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} converges to the point x {\displaystyle x} )고 하며, x {\displaystyle x} 를 ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 의 극한 이라고 한다. 이를 x i → x {\displaystyle x_{i}\to x} 라고 쓴다.
임의의 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 에 대하여, ∀ i ≳ I i 0 : x i ∈ U {\displaystyle \forall i\gtrsim _{I}i_{0}\colon x_{i}\in U} 인 i 0 ∈ I {\displaystyle i_{0}\in I} 가 존재한다. 다음 세 조건이 서로 동치 이며, 이 조건이 성립한다면 x {\displaystyle x} 가 ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 의 집적점 이라고 한다.
임의의 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 및 i 0 ∈ I {\displaystyle i_{0}\in I} 에 대하여, x i ∈ U {\displaystyle x_{i}\in U} 인 i ≳ I i 0 {\displaystyle i\gtrsim _{I}i_{0}} 이 존재한다. x i ( j ) → x {\displaystyle x_{i(j)}\to x} 인 상향 원순서 집합 ( J , ≲ J ) {\displaystyle (J,\lesssim _{J})} 및 단조 공종 함수 i : J → I {\displaystyle i\colon J\to I} 가 존재한다. x i ( j ) → x {\displaystyle x_{i(j)}\to x} 이며 ∀ i 0 ∈ I ∃ j 0 ∈ J ∀ j ∈ j 0 : i ( j ) ≳ i 0 {\displaystyle \forall i_{0}\in I\exists j_{0}\in J\forall j\in j_{0}\colon i(j)\gtrsim i_{0}} 인 상향 원순서 집합 ( J , ≲ J ) {\displaystyle (J,\lesssim _{J})} 및 함수 i : J → I {\displaystyle i\colon J\to I} 가 존재한다. 모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
그물 ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 의 극한·집적점은 그물로부터 유도되는 필터 기저
{ { x i : i ≳ i 0 } : i 0 ∈ I } {\displaystyle \{\{x_{i}\colon i\gtrsim i_{0}\}\colon i_{0}\in I\}} 의 극한·집적점과 일치한다.
그물의 극한은 함수의 극한 의 특수한 경우다. 구체적으로, 그물 ( x i ) i ∈ ( I , ≲ I ) {\displaystyle (x_{i})_{i\in (I,\lesssim _{I})}} 은 I → X {\displaystyle I\to X} 꼴의 함수다. I {\displaystyle I} 에 한 점을 추가한 집합 I ∪ { ∞ } {\displaystyle I\cup \{\infty \}} 위에 다음과 같은 위상을 부여하자. 모든 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 는 고립점 이며, ∞ {\displaystyle \infty } 의 열린 근방 은 ( ∞ {\displaystyle \infty } 와) { i ∈ I : i ≳ I i 0 } {\displaystyle \{i\in I\colon i\gtrsim _{I}i_{0}\}} 꼴의 집합을 포함하는 집합들이다. 이 경우,
D ∞ = ↑ { { i ∈ I : i ≳ I i 0 } : i 0 ∈ I } {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\infty }=\mathop {\uparrow } \{\{i\in I\colon i\gtrsim _{I}i_{0}\}\colon i_{0}\in I\}} 이며, 그 그물에 대한 상
{ { x i : i ∈ D } : D ∈ D ∞ } {\displaystyle \{\{x_{i}\colon i\in D\}\colon D\in {\mathcal {D}}_{\infty }\}} 은 그물로 유도되는 필터 기저 와 같은 필터 를 생성한다. 따라서, ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 의 ∞ {\displaystyle \infty } 에서의 함수 극한은 그물 극한과 일치한다.
N {\displaystyle \mathbb {N} } 위의 전순서 에 의하여, 점렬 은 그물의 특수한 경우다. 위상 공간 속 점렬의 극한 ·집적점 은 그물로서의 극한·집적점이다. 점렬의 집적점은 부분 점렬 의 극한과 동치 다.
실수열 [ 편집 ] 특히, 실수 로 구성된 수열 ( x n ) n ∈ N ⊂ R {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} } 의 극한을 생각할 수 있다. R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 위상의 정의에 따라, x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 가 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 의 극한이라는 것은 다음 조건이 성립함을 의미한다.
임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 이 주어졌을 때, 자연수 N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } 이 존재하여 모든 n > N {\displaystyle n>N} 에 대하여 | x n − x | < ϵ {\displaystyle |x_{n}-x|<\epsilon } 을 만족한다. 이를 아래와 같이 나타낸다.
lim n → ∞ x n = x {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x} 수열이 극한을 가질 때, 수열이 수렴 한다고 말한다. 수열이 수렴하지 않으면 발산 한다고 한다. R {\displaystyle \mathbb {R} } 는 하우스도르프 공간 이므로, 수렴하는 실수열은 오직 하나의 극한값만을 가진다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 함수 f : X ∖ { x 0 } → Y {\displaystyle f\colon X\setminus \{x_{0}\}\to Y} y 0 ∈ Y {\displaystyle y_{0}\in Y} 그렇다면, x 0 {\displaystyle x_{0}} 의 빠진 근방 들의 집합족
D x 0 = { U ∖ { x 0 } : U ∈ N x 0 } {\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}=\{U\setminus \{x_{0}\}\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}} 은 X ∖ { x 0 } {\displaystyle X\setminus \{x_{0}\}} 의 부분 집합 들의 필터 를 이루며, 따라서 그 상 f ( D x 0 ) {\displaystyle f({\mathcal {D}}_{x_{0}})} 은 Y {\displaystyle Y} 의 부분 집합 들의 필터 기저 를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, 함수 f {\displaystyle f} 가 점 x 0 {\displaystyle x_{0}} 에서 점 y 0 {\displaystyle y_{0}} 로 수렴한다 (영어 : the map f {\displaystyle f} converges to the point y 0 {\displaystyle y_{0}} at the point x 0 {\displaystyle x_{0}} )고 하며, y 0 {\displaystyle y_{0}} 을 f {\displaystyle f} 의 x 0 {\displaystyle x_{0}} 에서의 극한 이라고 한다. 이는
f ( x ) → y 0 ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)\to y_{0}\qquad (x\to x_{0})} 라고 쓴다.
f ( D x 0 ) {\displaystyle f({\mathcal {D}}_{x_{0}})} 는 y 0 {\displaystyle y_{0}} 으로 수렴한다. 즉, 임의의 근방 V ∋ y 0 {\displaystyle V\ni y_{0}} 에 대하여, f ( U ∖ { x 0 } ) ⊂ V {\displaystyle f(U\setminus \{x_{0}\})\subset V} 인 근방 U ∋ x 0 {\displaystyle U\ni x_{0}} 이 존재한다. X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } 가 실수선 일 때, D x 0 {\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}} 대신
D x 0 − = { U ∩ ( − ∞ , x 0 ) : U ∈ N x 0 } {\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{-}=\{U\cap (-\infty ,x_{0})\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}} D x 0 + = { U ∩ ( x 0 , ∞ ) : U ∈ N x 0 } {\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{+}=\{U\cap (x_{0},\infty )\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}} 을 사용하면 f {\displaystyle f} 의 x 0 {\displaystyle x_{0}} 에서의 좌극한 (左極限, 영어 : left limit )·우극한 (右極限, 영어 : right limit )의 개념을 얻는다.
실함수 [ 편집 ] 특히, 열린구간 I ⊂ R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } 및 x 0 ∈ I {\displaystyle x_{0}\in I} 에 대하여, 함수 f : I ∖ { x 0 } → R {\displaystyle f\colon I\setminus \{x_{0}\}\to \mathbb {R} } 의 극한을 정의할 수 있다. 실수의 위상에 따라, y 0 ∈ R {\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} } 가 f {\displaystyle f} 의 x 0 {\displaystyle x_{0}} 에서의 극한인 것의 정의는 다음과 같다.
임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 가 존재하여, 만약 x ∈ I {\displaystyle x\in I} 가 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } 을 만족하면 | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } 을 만족한다. 즉, x {\displaystyle x} 를 c {\displaystyle c} 와 충분히 가깝게 함으로써 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 가 L {\displaystyle L} 과와 원하는 만큼 가까워지게 할 수 있음을 의미한다. 함수의 극한을 이렇게 엄밀하게 정의하는 방법은 역사적으로 엡실론-델타 논법 으로 불린다. 정의에 따라, a {\displaystyle a} 에서 f {\displaystyle f} 의 극한은 a {\displaystyle a} 부근에서의 함숫값에만 영향을 받을 뿐 f ( a ) {\displaystyle f(a)} 가 어떤 값을 가지는지와는 무관하다. 심지어 a {\displaystyle a} 에서 함숫값이 정의되어 있지 않더라도 극한은 존재할 수 있다. 함수의 공역 R {\displaystyle \mathbb {R} } 가 하우스도르프 공간 이므로, 함수의 극한은 유일하다. 이를
lim x → x 0 f ( x ) = y 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=y_{0}} 와 같이 나타낸다.
존재와 유일성 [ 편집 ] 필터는 극한을 가지지 않을 수 있으며, 여러 개의 극한을 가질 수도 있다. 예를 들어, 무한 이산 공간 속 쌍대 유한 집합 들의 필터는 집적점을 가지지 않는다. 비이산 공간 의 모든 필터는 모든 점으로 수렴한다. 주어진 위상 공간 의 모든 부분 집합 들은 자명하게 필터를 이루며, 이는 위상 공간 속 모든 점으로 수렴한다.
위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치 다.
특히, 콤팩트 공간 의 모든 그물은 수렴 부분 그물을 갖는다. 하지만 콤팩트 공간 의 모든 점렬이 수렴 부분 점렬을 가질 필요는 없다. 이 조건은 점렬 콤팩트 공간 이라고 불리며, 어느 한 조건도 다른 한 조건을 함의하지 않는다.
위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치 다.
특히, 하우스도르프 공간 속 수렴 점렬의 극한은 유일하며, 이는 하우스도르프 조건보다 약한 조건이다. 이에 따라, 하우스도르프 공간 속 극한은 연산자의 꼴로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
lim F = x {\displaystyle \lim {\mathcal {F}}=x} lim x ∈ I x i = x {\displaystyle \lim _{x\in I}x_{i}=x} lim n → ∞ x n = x {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x} lim x → x 0 f ( x ) = y 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=y_{0}} (일부 저자는 극한이 유일하지 않은 경우에도 위와 같은 표기를 사용한다.)
시작 위상 [ 편집 ] 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
집합 X {\displaystyle X} 위상 공간 들의 족 ( Y i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}} 함수 족 ( f i : X → Y i ) i ∈ I {\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}} X {\displaystyle X} 의 부분 집합 들의 필터 기저 B ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)} x ∈ X {\displaystyle x\in X} 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치 다.
X {\displaystyle X} 위에 모든 f i {\displaystyle f_{i}} 들을 연속 함수 로 만드는 가장 엉성한 시작 위상 을 부여하였을 때, B → x {\displaystyle {\mathcal {B}}\to x} 임의의 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, f i ( B ) → f i ( x ) {\displaystyle f_{i}({\mathcal {B}})\to f_{i}(x)} 특수한 경우들은 다음과 같다.
부분 공간 [ 편집 ] 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간 X {\displaystyle X} 부분 집합 Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset X} Y {\displaystyle Y} 의 부분 집합 들의 필터 기저 B ⊂ P ( Y ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(Y)} y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치 다.
B → y {\displaystyle {\mathcal {B}}\to y} X {\displaystyle X} 에서 B → y {\displaystyle {\mathcal {B}}\to y} 즉, 부분 집합에서의 수렴은 모공간에서의 수렴과 일치한다.
곱공간 [ 편집 ] 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간 들의 집합 ( X i ) i ∈ I {\displaystyle (X_{i})_{i\in I}} . X = ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \textstyle X=\prod _{i\in I}X_{i}} 가 그 곱공간 , π i : X → X i {\displaystyle \pi _{i}\colon X\to X_{i}} 가 사영 함수들이라고 하자. X {\displaystyle X} 의 부분 집합 들의 필터 기저 B ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)} x ∈ X {\displaystyle x\in X} 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치 다.
B → x {\displaystyle {\mathcal {B}}\to x} 임의의 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대하여, π i ( B ) → x i {\displaystyle \pi _{i}({\mathcal {B}})\to x_{i}} 즉, 곱공간에서의 수렴은 성분별 수렴이다.
이중 극한 [ 편집 ] 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간 X 1 {\displaystyle X_{1}} , X 2 {\displaystyle X_{2}} 정칙 하우스도르프 공간 Y {\displaystyle Y} 함수 f : X 1 × X 2 → Y {\displaystyle f\colon X_{1}\times X_{2}\to Y} a i ∈ X i {\displaystyle a_{i}\in X_{i}} ( i = 1 , 2 {\displaystyle i=1,2} ) 이들이 다음 두 조건 만족시킨다고 하자.
극한 lim ( x 1 , x 2 ) → ( a 1 , a 2 ) f ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle \lim _{(x_{1},x_{2})\to (a_{1},a_{2})}f(x_{1},x_{2})} 이 존재한다. 임의의 x 1 ∈ X 1 {\displaystyle x_{1}\in X_{1}} 에 대하여, 극한 lim x 2 → a 2 f ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle \lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})} 이 존재한다. 그렇다면, 이중 극한
lim x 1 → a 1 lim x 2 → a 2 f ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}\lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})} 이 존재하며,
lim x 1 → a 1 lim x 2 → a 2 f ( x 1 , x 2 ) = lim ( x 1 , x 2 ) → ( a 1 , a 2 ) f ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}\lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})=\lim _{(x_{1},x_{2})\to (a_{1},a_{2})}f(x_{1},x_{2})} 이다.
b = lim ( x 1 , x 2 ) → ( a 1 , a 2 ) f ( x 1 , x 2 ) ∈ Y {\displaystyle b=\lim _{(x_{1},x_{2})\to (a_{1},a_{2})}f(x_{1},x_{2})\in Y} ∀ x 1 ∈ X : g ( x 1 ) = lim x 2 → a 2 f ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle \forall x_{1}\in X\colon g(x_{1})=\lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})} 이라고 하자. 임의의 근방 V ∋ b {\displaystyle V\ni b} 에 대하여, 근방 U 1 ∋ a 1 {\displaystyle U_{1}\ni a_{1}} 및 U 2 ∋ a 2 {\displaystyle U_{2}\ni a_{2}} 이 존재하며,
∀ x 1 ∈ U 1 ∀ x 2 ∈ U 2 : f ( x 1 , x 2 ) ∈ V {\displaystyle \forall x_{1}\in U_{1}\forall x_{2}\in U_{2}\colon f(x_{1},x_{2})\in V} 가 성립한다. 여기에 x 2 → a 2 {\displaystyle x_{2}\to a_{2}} 를 취하면
∀ x 1 ∈ U 1 : g ( x 1 ) ∈ cl V {\displaystyle \forall x_{1}\in U_{1}\colon g(x_{1})\in \operatorname {cl} V} 를 얻는다. 정칙성에 따라, b {\displaystyle b} 의 닫힌 근방 들은 국소 기저 를 이룬다. 따라서,
lim x 1 → a 1 g ( x 1 ) = b {\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}g(x_{1})=b} 이다.
같이 보기 [ 편집 ] 참고 문헌 [ 편집 ] 외부 링크 [ 편집 ]