실수축 위에서 감마 함수의 그래프 수학 에서 감마 함수 (Γ函數, 영어 : gamma function )는 계승 (수학) 함수의 해석적 연속 이다.
감마 함수의 기호는 감마 (Γ)라는 그리스 대문자를 사용한다.
양의 정수 n에 대하여 Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}
복소평면 에서의 감마 함수감마 함수는 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 동치 임을 보일 수 있다.
감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 오일러 적분
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t ( Re z > 0 ) {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad (\operatorname {Re} z>0)} 오일러 적분은 상반평면 { z ∈ C : Re z > 0 } {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} z>0\}} 절대수렴 한다. 여기에 해석적 연속 을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극 을 제외한 전 복소평면 으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 감마 함수 라 부른다.
Γ ( z ) = lim n → ∞ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋯ n z ( z + 1 ) ( z + 2 ) ⋯ ( z + n ) n z ( z ≠ 0 , − 1 , − 2 , … ) {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{1\cdot 2\cdot 3\cdots n \over z(z+1)(z+2)\cdots (z+n)}n^{z}\qquad (z\neq 0,-1,-2,\dots )} 이 정의는 오일러의 이름을 따 오일러 극한 형태 라고도 불리기도 한다.
Γ ( z ) = 1 z exp ( γ z ) ∏ n = 1 ∞ exp ( z / n ) 1 + z / n {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z\exp(\gamma z)}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(z/n)}{1+z/n}}} 여기서 γ {\displaystyle \gamma } 오일러-마스케로니 상수 이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스 의 이름을 따 바이어슈트라스 무한곱 형태 라고도 불리기도 한다.
만약 감마함수를 자연수 n {\displaystyle n}
Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma \left(n\right)=(n-1)!} 을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어
f ( x ) = Γ ( x ) cos 2 π x {\displaystyle f(x)=\Gamma (x)\cos ^{2}\pi x\;} 또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 ln Γ ( z ) {\displaystyle \ln \Gamma (z)} 볼록함수 이다.
감마 함수는 정의역에서 정칙 함수 이다. 즉, 다음이 성립한다.
Γ ( z ) ¯ = Γ ( z ¯ ) {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\bar {z}})} 감마 함수의 절댓값 을 나타낸 그림. 양이 아닌 정수에서 극점 을 갖는 것을 볼 수 있다. 감마 함수는 복소평면 에서 유리형 함수 이며, 양이 아닌 정수 z = 0 , − 1 , − 2 , … {\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots } 단순극 을 가진다. 단순극 − n {\displaystyle -n} 유수 의 값은 ( − 1 ) n n ! {\displaystyle \textstyle {(-1)^{n} \over n!}} [ 1] 1 / Γ ( z ) {\displaystyle 1/\Gamma (z)} 전해석 함수 이다.
감마 함수는 다음과 같은 함수 방정식 을 만족시킨다.
Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)} Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π sin ( π z ) {\displaystyle \Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}}} 두 번째 공식은 오일러 반사 공식 (영어 : Euler’s reflection formula )이라고 불린다.
곱의 정리 Γ ( z ) Γ ( z + 1 m ) Γ ( z + 2 m ) ⋯ Γ ( z + m − 1 m ) = ( 2 π ) ( m − 1 ) / 2 m 1 / 2 − m z Γ ( m z ) . {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).\,\!} 특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다.
Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)} 감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수 ψ 0 ( z ) {\displaystyle \psi _{0}(z)}
Γ ′ ( z ) = Γ ( z ) ψ 0 ( z ) {\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z)} 특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다.
Γ ′ ( m + 1 ) = m ! ⋅ ( − γ + ∑ k = 1 m 1 k ) {\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\cdot \left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)} 일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다.
d n ( d x ) n Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t ln n t d t {\displaystyle {d^{n} \over (dx)^{n}}\,\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln ^{n}t\,dt} 감마 함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수 의 값은 다음과 같다.
Res ( Γ , − n ) = ( − 1 ) n n ! {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}} 반정수 에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 n 에 대하여,
Γ ( 1 / 2 + n ) = ( 2 n ) ! 4 n n ! π {\displaystyle \Gamma (1/2+n)={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}} Γ ( 1 / 2 − n ) = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π {\displaystyle \Gamma (1/2-n)={\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}} 이 공식들은 Γ ( 1 / 2 ) = π {\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}} 수학적 귀납법 으로 유도할 수 있다.
몇몇 경우의 감마 함수의 값은 다음과 같다.
Γ ( − 3 / 2 ) = 4 π 3 ≈ 2.363 Γ ( − 1 / 2 ) = − 2 π ≈ − 3.545 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = π 2 ≈ 0.886 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 π 4 ≈ 1.329 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 π 8 ≈ 3.323 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}} Γ ( 1 4 ) = 2 G 2 π 3 , G {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}\quad ,\;\;G} 가우스 상수 감마 함수는 확률 분포 를 비롯한 여러 확률 과 통계 , 조합론 , 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.
이 부분의 본문은
초구 입니다.
반지름이 R {\displaystyle R} n {\displaystyle n} 초구 의 부피는 다음과 같이 주어진다.
V n = π n 2 n 2 Γ ( n 2 ) R n = C n R n {\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}} \over {\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}R^{n}={C_{n}R^{n}}} 감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포 를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포 라 하고, 그 확률 밀도 함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)}
f ( x ) = { 1 β α Γ ( α ) x α − 1 e − x β , if x ≥ 0 0 , otherwise {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{1 \over \beta ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}x^{\alpha -1}e^{-{x \over \beta }},&{\mbox{if }}x\geq 0\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} 여기서 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta }
[ 편집 ] 큐-감마 함수는 감마 함수가 큐-아날로그 화 된것이다.
f ( x + 1 ) = 1 − q z 1 − q f ( x ) {\displaystyle f(x+1)={{1-q^{z}} \over {1-q}}f(x)} q ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle q\in \left(0,1\right)} 구간 예약 f ( 1 ) = 1 {\displaystyle f(1)=1} {\displaystyle } log f ( x ) , x > 0 {\displaystyle \log f(x),x>0} f ( x ) = Γ q ( x ) {\displaystyle f(x)=\Gamma _{q}(x)} ∴ Γ q ( z ) = ( q ; q ) ∞ ( q z ; q ) ∞ ( 1 − q ) 1 − z {\displaystyle \therefore \Gamma _{q}(z)={{(q;q)\infty } \over {(q^{z};q)\infty }}(1-q)^{1-z}\;\;\;} 큐-포흐하머 기호 ( q ; q ) ∞ {\displaystyle \;(q;q)\infty } ↑ George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics . United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Foreword by James R. Newman )
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