Теорема Кантора

Теорема Кантора — твердження у теорії множин, що потужність довільної множини є меншою, ніж потужність її булеану (множини всіх її підмножин). Названа на честь німецького математика Георга Кантора.

Доведення[ред. | ред. код]

Припустимо, що існує множина ${\displaystyle ~A}$, потужність якої є рівною потужності множини ${\displaystyle ~2^{A}}$, тобто існує бієкція ${\displaystyle ~f(x):A\to 2^{A}.}$

Розглянемо множину ${\displaystyle B=\left\{x\in A:\;x\not \in f(x)\right\}.}$ Оскільки ${\displaystyle ~f}$ бієкція та ${\displaystyle B\subseteq A}$ (тобто ${\displaystyle B\in 2^{A}}$), тому ${\displaystyle \exists y\in A:\;f(y)=B}$.

Подивимось, чи може ${\displaystyle ~y}$ належати ${\displaystyle B}$. Якщо ${\displaystyle y\in B}$, то ${\displaystyle y\in f(y)}$, а тоді, за визначенням ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle y\not \in B}$. І навпаки, якщо ${\displaystyle y\not \in B}$, то ${\displaystyle y\not \in f(y)}$, а отже ${\displaystyle y\in B}$.

У будь-якому випадку, одержуємо суперечність. Отже, початкове припущення помилкове і потужність ${\displaystyle ~A}$ менша потужності ${\displaystyle ~2^{A}}$.

Див. також[ред. | ред. код]

• Парадокс Кантора

Література[ред. | ред. код]

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

п о р Теорія множин Аксіоми Приєднання Вибору зліченного залежного Об'ємності Нескінченності Пари Булеана Об'єднання Регулярності Мартіна Аксіомна схема виділення підстановки Операції Булеан Декартів добуток Доповнення Об'єднання Перетин Правила де Моргана Різниця Симетрична різниця Концепції • Методи Взаємно однозначна відповідність Діагональний метод Діаграма Венна Елемент впорядкована пара кортеж Кардинальне число (велике) Клас Конструктивний універсум[en] Континуум-гіпотеза Порядкове число Потужність Сімейство Трансфінітна індукція Форсинг[en] Типи множин Зліченна Надмножина Незліченна Нескінченна Нечітка Підмножина Порожня Розв'язна Скінченна (спадково[en]) Транзитивна Універсальна Теорії Аксіоматична Альтернативна[en] Наївна Теорема Кантора Цермело Загальна Principia Mathematica Нові основи[en] Цермело — Френкеля фон Неймана — Бернайса — Геделя Морзе — Келлі[en] Кріпке — Платека[en] Тарського — Гротендіка[en] Парадокси • Гіпотези Парадокс Расселла Гіпотеза Сусліна[en] Теоретики Абрахам Френкель Бертран Рассел Віллард Квайн Георг Кантор Джон фон Нейман Ернст Цермело Курт Гедель Лотфі Заде Пол Коен Поль Бернайс[en] Ріхард Дедекінд Томаш Жех[en] Інше Універсум фон Неймана