Нечітка множина — поняття, введене Лотфі Заде в 1965 році в статті «Fuzzy Sets» в журналі Information and Control [en] , в якому він розширив класичне поняття множини , допустивши, що характеристична функція множини (названа Заде функцією належності для нечіткої множини) може набувати будь-яких значень в інтервалі [0,1], а не тільки значень 0 або 1. Є базовим поняттям нечіткої логіки .
Нехай ℧ {\displaystyle \mho } — множина (класична). Нечітка множина A {\displaystyle \mathbf {A} } задається своєю функцією належності :
μ A : ℧ → [ 0 ; 1 ] {\displaystyle \mu _{\mathbf {A} }:\quad \mho \to [0;1]} Порожня множина μ ∅ ( x ) = 0 {\displaystyle \mu _{\varnothing }(x)=0} , універсальна множина μ ℧ ( x ) = 1 {\displaystyle \mu _{\mho }(x)=1} .
Якщо μ A {\displaystyle \mu _{\mathbf {A} }} набуває значень { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} , то множина A {\displaystyle \mathbf {A} } — це класична підмножина, A ⊆ ℧ {\displaystyle \mathbf {A} \subseteq \mho } , в іншому випадку множина A {\displaystyle \mathbf {A} } є нечіткою. Можна казати, що μ A ( x ) {\displaystyle \mu _{\mathbf {A} }(x)} — це ступінь належності елемента x {\displaystyle x} до множини A {\displaystyle \mathbf {A} } .
Носій нечіткої множини A {\displaystyle \mathbf {A} } — це
s u p p A = { x ∈ ℧ ∣ μ A > 0 } {\displaystyle \mathrm {supp} \ \mathbf {A} =\left\{x\in \mho \mid \mu _{\mathbf {A} }>0\right\}} Множина рівня α {\displaystyle \alpha } , де α ∈ [ 0 ; 1 ] {\displaystyle \alpha \in [0;1]} — це
A α = { x ∈ ℧ ∣ μ A ≥ α } {\displaystyle \mathbf {A} _{\alpha }=\left\{x\in \mho \mid \mu _{\mathbf {A} }\geq \alpha \right\}} Тоді
s u p p A = ⋃ α > 0 A α {\displaystyle \mathrm {supp} \ \mathbf {A} =\bigcup _{\alpha >0}\mathbf {A} _{\alpha }} Якщо ℧ ⊆ R {\displaystyle \mho \subseteq \mathbb {R} } , то зв'язні нечіткі множини називають нечіткими числами [en] .
Оскільки інтервали можна розглядати як нечіткі числа, то арифметика нечітких чисел є узагальненням інтервальної арифметики .
Операції над нечіткими множинами [ ред. | ред. код ] Домінування (Вміщення) [ ред. | ред. код ] Нехай A {\displaystyle \mathbf {A} } і B {\displaystyle \mathbf {B} } — нечіткі множини на універсальній множині E {\displaystyle \mathbf {E} } .
Говорять, що A {\displaystyle \mathbf {A} } міститься в B {\displaystyle \mathbf {B} } , якщо ∀ x ∈ E : μ A ( x ) < μ B ( x ) {\displaystyle \forall x\in \mathbf {E} :\mu _{\mathbf {A} }(x)<\mu _{\mathbf {B} }(x)} .
Позначення: A ⊂ B {\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbf {B} } .
Інколи використовують термін «домінування», тобто у випадку, якщо A ⊂ B {\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbf {B} } , говорять, що B {\displaystyle \mathbf {B} } домінує A {\displaystyle \mathbf {A} } .
A {\displaystyle \mathbf {A} } і B {\displaystyle \mathbf {B} } рівні, якщо ∀ x ∈ E : μ A ( x ) = μ B ( x ) {\displaystyle \forall x\in \mathbf {E} :\mu _{\mathbf {A} }(x)=\mu _{\mathbf {B} }(x)} .
Позначення: A = B {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} } .
Нехай µ = [0, 1], A {\displaystyle \mathbf {A} } і B {\displaystyle \mathbf {B} } — нечіткі множини, задані на E {\displaystyle \mathbf {E} } . A {\displaystyle \mathbf {A} } і B {\displaystyle \mathbf {B} } доповнюють один одного, якщо
∀ x ∈ E : μ A ( x ) = 1 − μ B ( x ) {\displaystyle \forall x\in \mathbf {E} :\mu _{\mathbf {A} }(x)=1-\mu _{\mathbf {B} }(x)} . Доповнення нечіткої множини А позначається символом A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} .
Операція доповнення відповідає логічному запереченню.
Перетин A {\displaystyle \mathbf {A} } і B {\displaystyle \mathbf {B} } позначається A ∩ B {\displaystyle \mathbf {A} \cap \mathbf {B} } і визначається
μ A ∩ B ( x ) = min ( μ A ( x ) , μ B ( x ) ) {\displaystyle \mu _{\mathbf {A} \cap \mathbf {B} }(x)=\min(\mu _{\mathbf {A} }(x),\ \mu _{\mathbf {B} }(x))} . Перетин відповідає логічній зв'язці «і». A ∩ B {\displaystyle \mathbf {A} \cap \mathbf {B} } — найменша нечітка підмножина, яка міститься одночасно в A {\displaystyle \mathbf {A} } і B . {\displaystyle \mathbf {B} .}
Об'єднання нечітких множин А і В (А + В)
A + B = ∫ U ( μ _ A ( u ) I ^ μ _ B ( u ) ) u {\displaystyle A+B=\int _{U}^{}{\frac {\left(\mu \_A(u){\widehat {I}}\mu \_B(u)\ \right)}{u}}}
Об'єднання відповідає логічній зв'язці «або».
А ∪ В — найбільша нечітка підмножина, яка включає як А, так і В, з функцією приналежності:
µA ∪ B(x)= max(µA(x), µ B(x)).
A ⊕ B = ( A − B ) ∪ ( B − A ) = ( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) . {\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {(A-B)} \cup \mathbf {(B-A)} =(\mathbf {A} \cup \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cap \mathbf {B} ).}
А⊕B = (А — B) ∪ (B — А) = (А ∩) ∪ ∩ B) з функцією приналежності:
µA — B(x) = max {[min {µA(x), 1 — µB(x)}];
[min {1 — µA(x), µB(x)}] }
Добуток А і В позначається АВ і визначається [ ред. | ред. код ] A B = ∫ U ( μ _ A ( u ) μ _ B ( u ) ) u {\displaystyle AB=\int _{U}^{}{\frac {\left(\mu \_A(u)\mu \_B(u)\ \right)}{u}}}
Піднесення до степеня [ ред. | ред. код ] a > 0 , A e = ∫ U ( μ _ A ( u ) ) e u {\displaystyle a>0,A^{e}=\int _{U}^{}{\frac {\left(\mu \_A(u)\ \right)^{e}}{u}}}
Концентрація (частковий випадок піднесення до степеня): [ ред. | ред. код ] C O N ( A ) = A 2 {\displaystyle CON(A)=A^{2}}
Розтягування (розмивання): [ ред. | ред. код ] D I L ( A ) = A {\displaystyle DIL(A)={\sqrt {A}}}
Нехай X і Y — дві заданих універсальних множини. Говорять, що наявна функція , визначена на X зі значенням у Y, якщо, у силу деякого закону f, кожному елементу X ∈ X {\displaystyle X\in \mathbb {X} } відповідає елемент y ∈ Y {\displaystyle y\in \mathbb {Y} } .
Коли функцію f : X → Y {\displaystyle X\to \mathbb {Y} } називають відображенням , значення f ( x ) ∈ Y {\displaystyle f(x)\in \mathbb {Y} } , якого вона набуває на елементі x ∈ X {\displaystyle x\in \mathbb {X} } , звичайно називають образом елемента x.
Образом множини A ∈ X {\displaystyle A\in \mathbb {X} } при відображенні c ∈ Y {\displaystyle c\in \mathbb {Y} } називають множину f ( A ) ∈ Y {\displaystyle f(A)\in \mathbb {Y} } тих елементів Y, що є образами елементів множини А.
Дане класичне визначення відображення, яке у теорії нечітких множин називають чітким відображенням .
Нечітке відображення [ ред. | ред. код ] Нечітке відображення — це відображення [en] виду:
φ : X 1 × X 2 × ⋯ × X n → Y {\displaystyle \varphi :\quad \mathbf {X} _{1}\times \mathbf {X} _{2}\times \cdots \times \mathbf {X} _{n}\to \mathbf {Y} } Нечіткі відображення задаються функціями належності образів нечітких множин.
Тобто, якщо μ k ( x k ) {\displaystyle ~\mu _{k}(x_{k})} — функція належності множини A k {\displaystyle \mathbf {A} _{k}} та нехай
B ⊂ Y , A 1 ⊂ X 1 , A 2 ⊂ X 2 , … , A n ⊂ X n {\displaystyle \mathbf {B} \subset \mathbf {Y} ,\quad \mathbf {A} _{1}\subset \mathbf {X} _{1},\quad \mathbf {A} _{2}\subset \mathbf {X} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathbf {A} _{n}\subset \mathbf {X} _{n}} Тоді функція належності множини B задається у вигляді:
μ B = s u p p x 1 , x 2 , … , x n ∈ X min ( μ 1 ( x 1 ) μ 2 ( x 2 ) … μ n ( x n ) μ φ ( x 1 … x n y ) ) {\displaystyle \mu _{\mathbf {B} }=\mathrm {supp} _{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbf {X} }\min {\Big (}\mu _{1}(x_{1})\mu _{2}(x_{2})\ldots \mu _{n}(x_{n})\mu _{\varphi }(x_{1}\ldots x_{n}y){\Big )}} Або:
μ φ ( x 1 … x n ) = s u p p x 1 , … , x n φ ( x 1 … x n ) min ( μ a 1 ( x 1 ) , … , μ a n ( x n ) ) {\displaystyle \mu _{\varphi (x_{1}\ldots x_{n})}=\mathrm {supp} _{x_{1},\ldots ,x_{n} \atop \varphi (x_{1}\ldots x_{n})}\min {\Big (}\mu _{a_{1}}(x_{1}),\ldots ,\mu _{a_{n}}(x_{n}){\Big )}} О. Ф. Волошин, С. О. Мащенко (2011). Моделі та методи прийняття рішень . Київ. В. Я. Півкін, Є. П. Бакулін, Д. І. Кореньков; (2001). Нечіткі множини в системах управління: навч. посібник [Електронний ресурс] .