Універсальна множина

Універсальна множина (універсум)  — в теорії множин така множина U, для якої перетин цієї множини з будь-якою множиною X збігається з цією множиною X. Універсальна множина єдина.

Формально: U — універсальна множина ⇔ ∀X: X∩U=X.

Таким чином, будь-яка множина X повністю міститься в універсальній множині U. Виходячи з цього можна дати таке визначення універсальної множини: якщо в рамках деякої задачі розглядаються тільки підмножини деякої фіксованої множини U, то сама ця множина U називається універсальною множиною.

Не слід плутати поняття універсальної множини з поняттям множини всіх множин в наївній теорії множин (див. Парадокс Расселла). Існування такої множини всіх множин забороняється аксіоматичною теорією множин.

В алгебрі множин універсальна множина є одиничним елементом.

Також для будь-якої множини X справедливо: X∪U=U.

Властивості універсальної множини[ред. | ред. код]

• Будь-який об'єкт, якою б не була його природа є елементом універсальної множини.

  ${\displaystyle \forall a\colon a\in U}$

• Зокрема, універсальна множина містить як один з елементів сама себе.

  ${\displaystyle U\in U}$

• Будь-яка множина є підмножиною універсальної множини.

  ${\displaystyle \forall A\colon A\subseteq U}$

• Зокрема, універсальна множина є власною підмножиною.

  ${\displaystyle U\subseteq U}$

• Об'єднання універсальної множини з будь-якою іншою множиною дорівнює універсальній множині.

  ${\displaystyle \forall A\colon U\cup A=U}$

• Зокрема, об'єднання універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.

  ${\displaystyle U\cup U=U}$

• Перетин універсальної множини з іншою множиною дорівнює множині, що перетинається з універсальною.

  ${\displaystyle \forall A\colon U\cap A=A}$

• Зокрема, перетин універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.

  ${\displaystyle U\cap U=U}$

• Виключення універсальної множини з будь-якої іншої множини дорівнює порожній множині.

  ${\displaystyle \forall A\colon A\setminus U=\varnothing }$

• Зокрема, виключення універсальної множини із самої себе дорівнює порожній множині.

  ${\displaystyle U\setminus U=\varnothing }$

• Виключення будь-якої множини з універсальної множини дорівнює доповненню цієї множини.

  ${\displaystyle \forall A\colon U\setminus A={\overline {A}}}$

• Доповненням універсальної множини є порожня множина.

  ${\displaystyle {\overline {U}}=\varnothing }$

• Симетрична різниця універсальної множини з будь-якою множиною дорівнює доповненню останної множини.

  ${\displaystyle \forall A\colon U\triangle A={\overline {A}}}$

• Зокрема, симетрична різниця універсальної множини із собою дорівнює порожній множині.

  ${\displaystyle U\triangle U=\varnothing }$

Див. також[ред. | ред. код]

• Аксіоматика теорії множин
• Парадокс Расселла
• Універсум (математика)
• Універсум фон Неймана

Джерела[ред. | ред. код]

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

п о р Теорія множин Аксіоми Приєднання Вибору зліченного залежного Об'ємності Нескінченності Пари Булеана Об'єднання Регулярності Мартіна Аксіомна схема виділення підстановки Операції Булеан Декартів добуток Доповнення Об'єднання Перетин Правила де Моргана Різниця Симетрична різниця Концепції • Методи Взаємно однозначна відповідність Діагональний метод Діаграма Венна Елемент впорядкована пара кортеж Кардинальне число (велике) Клас Конструктивний універсум[en] Континуум-гіпотеза Порядкове число Потужність Сімейство Трансфінітна індукція Форсинг[en] Типи множин Зліченна Надмножина Незліченна Нескінченна Нечітка Підмножина Порожня Розв'язна Скінченна (спадково[en]) Транзитивна Універсальна Теорії Аксіоматична Альтернативна[en] Наївна Теорема Кантора Цермело Загальна Principia Mathematica Нові основи[en] Цермело — Френкеля фон Неймана — Бернайса — Геделя Морзе — Келлі[en] Кріпке — Платека[en] Тарського — Гротендіка[en] Парадокси • Гіпотези Парадокс Расселла Гіпотеза Сусліна[en] Теоретики Абрахам Френкель Бертран Рассел Віллард Квайн Георг Кантор Джон фон Нейман Ернст Цермело Курт Гедель Лотфі Заде Пол Коен Поль Бернайс[en] Ріхард Дедекінд Томаш Жех[en] Інше Універсум фон Неймана