Перетин множин

В математиці, зокрема в теорії множин, пере́тином двох множин A і B називається множина, яка складається з усіх елементів множини A, які водночас належать і множині B та навпаки (всі елементи множини B, які належать A) і тільки них. Вона і позначається як "A∩B та є підмножиною обох.

Формально:

${\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}.}$; ${\displaystyle A\cap B\subseteq A\land A\cap B\subseteq B}$

Якщо одна множина є підмножиною другої, то їхній перетин дорівнює першій множині: ${\displaystyle A\subseteq B\to A\cap B=A}$

Якщо перетин двох множин A і B є порожнім, тобто не містить спільних елементів, то кажуть, що такі множини не перетинаються.

Цей факт позначається як A∩B = Ø.

Приклади:

• {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}.
• {1, 2} ∩ {3, 4} = Ø.

Алгебраїчні властивості[ред. | ред. код]

• Перетин множин є бінарною операцією на довільному булеані ${\displaystyle 2^{X}}$;
• Операція перетину множин комутативна:

${\displaystyle A\cap B=B\cap A;\!}$

• Операція перетину множин асоціативна:

${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C);\!}$

• Універсальна множина ${\displaystyle X}$ є нейтральним елементом операції перетину множин:

${\displaystyle A\cap X=A;\!}$

• З вищеперечислених властивостей випливає, що булеан з операцією перетину множин є абелевою групою;
• Операція перетину множин ідемпотентна:

${\displaystyle A\cap A=A;\!}$

• Якщо ${\displaystyle \emptyset }$ — порожня множина, то

${\displaystyle A\cap \emptyset =\emptyset .}$

Перетин довільної кількості множин[ред. | ред. код]

В загальному випадку, якщо множина M є непорожньою множиною, елементами якої в свою чергу є множини. Тоді елемент x є елементом перетину M тоді й тільки тоді, коли для кожного елемента A з M, x є елементом A.

В символьній формі:

${\displaystyle x\in \bigcap \mathbf {M} \iff \forall A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

Наприклад, множина A∩B∩C є перетином такої колекції множин {A,B,C}.

Позначення перетину довільної кількості множин такі:

${\displaystyle \bigcap \mathbf {M} ,}$ або ${\displaystyle \bigcap _{A\in \mathbf {M} }A.}$

Остання нотація може бути узагальнена до

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i},}$

що позначає перетин колекції множин {A_i : i ∈ I}. Тут I - непорожня множина, і A_i - множина для кожного i в I.

В цьому випадку I є індексна множина (тобто множина індексів, натуральних чисел), і можна застосувати нотацію, аналогічну нотації для сум:

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

Також можна писати "A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ ...

Див. також[ред. | ред. код]

• Кон'юнкція
• Переріз множини дійсних чисел

Джерела[ред. | ред. код]

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

п о р Теорія множин Аксіоми Приєднання Вибору зліченного залежного Об'ємності Нескінченності Пари Булеана Об'єднання Регулярності Мартіна Аксіомна схема виділення підстановки Операції Булеан Декартів добуток Доповнення Об'єднання Перетин Правила де Моргана Різниця Симетрична різниця Концепції • Методи Взаємно однозначна відповідність Діагональний метод Діаграма Венна Елемент впорядкована пара кортеж Кардинальне число (велике) Клас Конструктивний універсум[en] Континуум-гіпотеза Порядкове число Потужність Сімейство Трансфінітна індукція Форсинг[en] Типи множин Зліченна Надмножина Незліченна Нескінченна Нечітка Підмножина Порожня Розв'язна Скінченна (спадково[en]) Транзитивна Універсальна Теорії Аксіоматична Альтернативна[en] Наївна Теорема Кантора Цермело Загальна Principia Mathematica Нові основи[en] Цермело — Френкеля фон Неймана — Бернайса — Геделя Морзе — Келлі[en] Кріпке — Платека[en] Тарського — Гротендіка[en] Парадокси • Гіпотези Парадокс Расселла Гіпотеза Сусліна[en] Теоретики Абрахам Френкель Бертран Рассел Віллард Квайн Георг Кантор Джон фон Нейман Ернст Цермело Курт Гедель Лотфі Заде Пол Коен Поль Бернайс[en] Ріхард Дедекінд Томаш Жех[en] Інше Універсум фон Неймана