대수적 수체

대수 구조
군 관련 범주  · 마그마  · 반군  · 모노이드  · 준군  · 아벨 군  · 위상군  · 리 군
환 관련 유사환  · 가환환  · 정역  · 데데킨트 정역  · 유일 인수 분해 정역  · 주 아이디얼 정역  · 유클리드 정역  · 위상환
체 관련 나눗셈환  · 체  · 순서체  · 대수적 수체
가군 관련 아벨 군 · 자유 가군 · 사영 가군 · 평탄 가군 · 벡터 공간
대수 관련 등급환 · 교대 대수 · 결합 대수 · 리 대수 · 요르단 대수 · 호프 대수 · 양자군
격자 관련 반격자 · 모듈러 격자 · 분배 격자 · 완비 격자 · 헤이팅 대수 · 불 대수
v t e

대수적 수론에서 대수적 수체(代數的數體, 영어: algebraic number field), 줄여서 수체(數體, 영어: number field)는 유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$의 유한 확대이다. 즉, 유리수체에, 어떤 유리수 계수 다항식의 근으로 적을 수 있는 유한 개의 원소들을 첨가하여 얻는 체이다.

대수적 수체 ${\displaystyle K}$는 유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$의 유한 확대이다. 이는 대역체의 한 종류이다.

오스트롭스키 정리(Островский定理, 영어: Ostrowski’s theorem)에 따르면, 수체 ${\displaystyle K}$ 위의 자명하지 않은 자리들은 다음과 같다.

• 실수로의 매장 ${\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {R} }$에 대하여, ${\displaystyle |\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {R} }\circ \iota }$. 여기서 ${\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {R} }}$는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 실수 무한 자리(實數無限-, 영어: real infinite place)라고 한다.
• 복소수로의 매장 ${\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {R} }$에 대하여 (${\displaystyle \iota (K)\not \subset \mathbb {R} }$), ${\displaystyle |\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {C} }\circ \iota }$. 여기서 ${\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {C} }}$는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, ${\displaystyle \iota }$와 ${\displaystyle {\bar {\iota }}}$는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 복소수 무한 자리(複素數無限-, 영어: complex infinite place)라고 한다.
• 대수적 정수환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$의 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$진 절댓값의 자리. 이를 유한 자리(有限-, 영어: finite place)라고 한다. 무한 자리와 마찬가지로, 이들은 p진수체의 대수적 폐포 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}}$로의 매장과 대응한다. 즉, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mid (p)}$라면, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$진 자리는 매장 ${\displaystyle K\hookrightarrow {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}}$을 정의하며, 절대 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }}_{p}/\mathbb {Q} _{p})}$의 작용에 의하여 관련되는 매장들은 같은 위치를 정의한다.

예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다.

• 자명 자리 ${\displaystyle |\cdot |_{0}}$
• 소수 ${\displaystyle p}$에 대하여, ${\displaystyle p}$진 자리 ${\displaystyle |\cdot |_{p}}$
• 하나의 실 무한 자리 ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$

수체 ${\displaystyle K}$에서, 실수 자리의 수를 ${\displaystyle r_{1}}$, 복소수 자리의 수를 ${\displaystyle r_{2}}$라고 한다. 이 경우, 다음이 성립한다.

${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]=r_{1}+2r_{2}}$

이는 ${\displaystyle K}$에서 복소수체로 가는 체의 확대의 수와 같다. (각 복소수 자리는 복소켤레를 취할 수 있으므로, 두 번 중복해서 센다.)

대수적 수체 ${\displaystyle K}$는 대역체이므로, 다음과 같은 곱 공식(영어: product formula)이 성립한다.^{[1]:185, Proposition III.1.3}

${\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1,\forall a\in K^{\times }}$

여기서 ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}}$는 ${\displaystyle K}$의 모든 자리에 대한 곱이며, ${\displaystyle |-|_{v}}$는 주어진 자리에 대응하는 정규화 절댓값이다. 또한, 위 곱에서 오직 유한 개의 항을 제외한 나머지는 모두 1이어서 곱이 잘 정의된다. 예를 들어, 유리수

${\displaystyle a=s\prod _{p}p^{n_{p}},\;s\in \{\pm 1\}}$

의 경우

${\displaystyle |a|_{\infty }=\prod _{p}p^{n_{p}}}$

${\displaystyle |a|_{p}=p^{-n_{p}}}$

이므로

${\displaystyle |a|_{\infty }|a|_{2}|a|_{3}\cdots =\prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{-n_{p}}=1}$

이다.

가산 무한 체의 유한 확대이므로, 모든 대수적 수체는 가산 무한 집합이다.

모든 대수적 수체는 유리수체의 확대로서 다음 조건을 만족시킨다.

• 정의에 따라 유한 확대이며, 따라서 대수적 확대이다. 그 차수는 ${\displaystyle r_{1}+2r_{2}}$와 같다 (${\displaystyle r_{1}}$은 실수 자리의 수, ${\displaystyle r_{2}}$는 복소수 자리의 수).
• 유리수체의 표수는 0이므로, 분해 가능 확대이다.

그러나 정규 확대(즉, 갈루아 확대)가 아닌 수체가 존재한다.

대수적 수체 ${\displaystyle K}$에 이산 위상을 주면, 그 덧셈군은 위상군을 이룬다. 이 경우, 그 폰트랴긴 쌍대군 ${\displaystyle {\hat {K}}}$는 다음과 같은 아델 환의 몫이다.

${\displaystyle {\hat {K}}\cong \mathbb {A} _{K}/K}$

 대수적 정수 문서를 참고하십시오.

대수적 수체 ${\displaystyle K}$의 대수적 정수환(代數的整數環, 영어: ring of algebraic integers) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$는 ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset K}$의, ${\displaystyle K}$ 속에서의 정수적 원소들의 환이다. 즉, 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\{a\in K\colon \exists p(x)\in \mathbb {Z} [x]\colon p{\mbox{ is monic; }}p(a)=0\}}$

이는 ${\displaystyle K}$의 부분환을 이룬다.

대수적 수체 ${\displaystyle K}$의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환(절댓값이 1 이하인 원소들의 집합)들의 교집합과 같다.^[2]:192

모든 대수적 수체 ${\displaystyle K}$의 대수적 정수환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$은 크룰 차원이 1인 데데킨트 정역이다. 즉, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$는 정수적으로 닫힌 정역이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$는 뇌터 환이다.
• 0 이 아닌 모든 영이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 즉, 이 환의 크룰 차원은 1이다.

대수기하학적 관점에서는 그 스펙트럼을 취해 1차원 아핀 스킴으로 여길 수 있다.

모든 대수적 수체 ${\displaystyle K}$에서, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\cap \mathbb {Q} =\mathbb {Z} }$

${\displaystyle K=\operatorname {Frac} {\mathcal {O}}_{K}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Frac} }$은 분수체를 뜻한다.

대수적 수체의 대수적 정수환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$의 덧셈군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$의 차수와 같다.

${\displaystyle \operatorname {rank} {\mathcal {O}}_{K}=[K:\mathbb {Q} ]=r_{1}(K)+2r_{2}(K)}$

차수 n의 수체 ${\displaystyle K}$의 정수 기저(영어: integral basis)는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$의 (자유 아벨 군으로서의) 기저 ${\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}}$이다. 따라서 ${\displaystyle K}$의 모든 대수적 정수들을

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k_{i}b_{i}}$ (${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$)

로 유일하게 나타낼 수 있고, ${\displaystyle K}$의 모든 원소들을

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}r_{i}b_{i}}$ (${\displaystyle r_{i}\in \mathbb {Q} }$)

의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.

일부 수체의 경우, 정수 기저가

${\displaystyle b_{i}=b_{1}^{i},\forall i=1,\dots ,r_{1}+2r_{2}}$

가 되게 잡을 수 있다. 이러한 정수 기저를 거듭제곱 정수 기저(영어: power integral basis)라고 하고, 거듭제곱 정수 기저를 갖는 수체를 단일생성체(영어: monogenic field)라고 한다. 모든 이차 수체와 원분체는 단일생성체이지만, 3차 수체 가운데는 단일생성체가 아닌 체가 존재한다.

 체 노름 문서를 참고하십시오.

 체 대각합 문서를 참고하십시오.

${\displaystyle n}$차 수체 ${\displaystyle K}$의 정수 기저 ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}\subset {\mathcal {O}}_{K}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K의 임의의 원소 x를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle xv_{i}=\sum a_{ij}v_{j}.}$

따라서 x를 곱하는 연산을 유리수 계수 정사각 행렬

${\displaystyle X=(a_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

로 나타낼 수 있으며, 이를 x의 기저 v₁, ..., v_n에 대한 정칙 표현(正則表現, 영어: regular representation)이라 한다. 행렬의 대각합이나 행렬식 및 고유 다항식 등의 불변량은 ${\displaystyle x}$가 무엇인지에 따라 결정되며, 기저에는 의존하지 않는다.

${\displaystyle X}$의 고유 다항식

${\displaystyle \det(\lambda -X)=\lambda ^{n}+c_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +c_{n}}$

은 ${\displaystyle x}$를 근으로 갖는 일계수 다항식이다. 이 경우, ${\displaystyle X}$의 대각합과 행렬식은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {tr} X=-c_{1}}$

${\displaystyle \det X=(-1)^{n}c_{n}}$

이 경우, ${\displaystyle X}$의 대각합은 ${\displaystyle \operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(x)}$로 쓰고, ${\displaystyle x}$의 대각합이라고 한다. 마찬가지로, ${\displaystyle X}$의 행렬식은 ${\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(x)}$로 쓰고, ${\displaystyle x}$의 노름이라 한다.

대각합과 노름은 다음의 성질들을 따른다.

• (대각합의 선형성) ${\displaystyle \operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(ax+by)=a\operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(x)+b\operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(y)\qquad \forall x,y\in K,\;a,b\in \mathbb {Q} }$
• (노름의 승법성) ${\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(axy)=a^{n}\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(x)\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(y)\qquad \forall x,y\in K,\;a\in \mathbb {Q} }$

수체의 판별식(判別式, 영어: discriminant)은 그 대수적 정수가 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 대수적 정수들을 갖는다. 구체적인 정의는 다음과 같다.

수체 ${\displaystyle K}$의 대수적 정수환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$의 정수 기저 ${\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{r}\}\subset O_{K}}$를 고르자 (${\displaystyle r=r_{1}+2r_{2}}$). ${\displaystyle K}$의 실수 자리와 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.

${\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {R} },\dots ,\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {C} },\dots ,\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {C} }$

그렇다면 다음과 같은 ${\displaystyle r\times r}$ 정사각 행렬을 정의할 수 있다.

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(b_{1})&\cdots \sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(b_{1})&\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(b_{1})&\cdots \sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(b_{1})&{\bar {\sigma }}_{1}(b_{1})&\cdots &{\bar {\sigma }}_{r_{2}}(b_{1})\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(b_{r})&\cdots \sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(b_{r})&\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(b_{r})&\cdots \sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(b_{r})&{\bar {\sigma }}_{1}(b_{r})&\cdots &{\bar {\sigma }}_{r_{2}}(b_{r})\\\end{pmatrix}}}$

이 행렬의 행렬식의 제곱은 정수 기저나 자리들의 순서에 의존하지 않으며, 이를 ${\displaystyle K}$의 판별식 ${\displaystyle \Delta _{K}}$라고 한다.

${\displaystyle \Delta _{K}=(\det M)^{2}}$

수체의 판별식 ${\displaystyle \Delta _{K}}$는 다음과 같은 성질을 가진다.

• 브릴 정리(영어: Brill’s theorem): 수체의 판별식의 부호는 ${\displaystyle \operatorname {sgn} \Delta _{K}=(-1)^{r_{2}(K)}}$이다. (판별식은 항상 0이 아니다.)
• 슈티켈베르거 정리(영어: Stickelberger’s theorem): 수체의 판별식은 4에 대한 나머지가 항상 0이나 1이다.

  ${\displaystyle \Delta _{K}\equiv 0,1{\pmod {4}}}$

• 민코프스키 하한(영어: Minkowski’s bound): 다음과 같은 부등식이 성립한다. 여기서 ${\displaystyle r=r_{1}+2r_{2}=[K:\mathbb {Q} ]}$이다.

  ${\displaystyle {\sqrt {|\Delta _{K}|}}\geq {\frac {r^{r}}{r!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}}$

• 민코프스키 정리(영어: Minkowski’s theorem): 유리수체가 아닌 수체의 판별식의 절댓값은 항상 2 이상이다. (유리수체의 판별식은 1이다.) 이는 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.

  ${\displaystyle |\Delta _{K}|\geq 2\qquad (K\neq \mathbb {Q} )}$

• 에르미트-민코프스키 정리(영어: Hermite–Minkowski theorem): 주어진 판별식을 가진 수체(의 동형류)의 수는 유한하다. 이 역시 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.

${\displaystyle K}$에 속한 1의 거듭제곱근들로 구성된 근은 대수적 정수환의 꼬임 부분군이며, ${\displaystyle \operatorname {Tors} ({\mathcal {O}}_{K}^{\times })}$라고 하자. 이는 항상 유한 순환군이다. 즉, ${\displaystyle K}$에 속한 1의 거듭제곱근들의 수가 ${\displaystyle w_{K}}$라고 하면

${\displaystyle \operatorname {Tors} ({\mathcal {O}}_{K}^{\times })=\operatorname {Cyc} (w_{K})}$이다.

디리클레 가역원 정리(Dirichlet可逆元定理, 영어: Dirichlet unit theorem)에 따르면, ${\displaystyle K}$의 대수적 정수환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$의 가역원군 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }}$은 유한 생성 아벨 군이며, 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }\cong \operatorname {Cyc} (w_{k})\oplus \mathbb {Z} ^{\oplus (r_{1}+r_{2}-1)}}$

즉, 가역원군의 꼬임 부분군에 대한 몫군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 ${\displaystyle r_{1}+r_{2}-1}$이다. 예를 들어, 다음과 같다.

수체	가역원군	실수 자리 수 ${\displaystyle r_{1}}$	복소수 자리 수 ${\displaystyle r_{2}}$	가역원군의 크기	차수
${\displaystyle \mathbb {Q} }$	${\displaystyle \{\pm 1\}}$	1	0	0	1
${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ (${\displaystyle d}$는 양의 무제곱 정수)		2	0	1	2
${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$ (${\displaystyle d}$는 양의 무제곱 정수)		0	1	0	2
${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ (가우스 정수)	${\displaystyle \{\pm 1,\pm i\}}$	0	1	0	2
${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )/(\omega ^{2}+\omega +1)}$ (아이젠슈타인 정수)	${\displaystyle \{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\}}$	0	1	0	2

수체의 가역원 기준(可逆元基準, 영어: regulator 레귤레이터^[*])은 수체의 가역원이 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 가역원들을 가진다. 가역원 기준은 유수 공식에 등장한다. 구체적인 정의는 다음과 같다.

대수적 정수환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$의 가역원군 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle K}$에 속하는 1의 거듭제곱근들의 순환군 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (m)=\{1,\zeta _{m},\zeta _{m}^{2},\dots \}}$에 대한 몫군

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }/\operatorname {Cyc} (r)}$

을 생각하자. 이 군의 생성원

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }/\operatorname {Cyc} (r)=\langle u_{1},\dots ,u_{r}\rangle }$

을 고르자. 디리클레 가역원 정리에 따라서, ${\displaystyle r=r_{1}(K)+r_{2}(K)-1}$이다 (${\displaystyle r_{1}(K)}$은 실수 자리의 수, ${\displaystyle r_{2}(K)}$는 복소수 자리의 수).

${\displaystyle K}$의 실수 자리 및 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.

${\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {R} },\dots ,\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {C} },\dots ,\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {C} }$

그렇다면 다음과 같은 ${\displaystyle r\times (r+1)}$행렬을 생각하자.

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(u_{1})|&\cdots &\ln |\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(u_{1})|&2\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(u_{1})|&\cdots &2\ln |\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(u_{1})|\\\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(u_{r})|&\cdots &\ln |\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(u_{r})|&2\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(u_{r})|&\cdots &2\ln |\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(u_{r})|\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle M}$의 임의의 행의 원소들의 합은 (가역원의 체 노름의 절댓값은 항상 1이므로) 0이다.

${\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}=\ln \left|f_{1}(u_{i})\cdots f_{r_{1}}(u_{i})g_{1}(u_{i})^{2}\cdots g_{r_{2}}(u_{i})^{2}\right|=\ln |\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(u_{i})|=0\quad \forall i=1,\dots ,r}$

${\displaystyle M}$에서 임의의 한 열 ${\displaystyle M_{-,j}}$을 제거한 ${\displaystyle r\times r}$ 정사각 행렬을 ${\displaystyle M_{-,{\hat {j}}}}$라고 하자. 각 행의 합이 0이므로, 행렬식 ${\displaystyle \det M_{-,{\hat {j}}}}$는 ${\displaystyle j}$에 의존하지 않으며, 또한 이는 생성원 ${\displaystyle u_{i}}$의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이를 ${\displaystyle K}$의 가역원 기준 ${\displaystyle \operatorname {Reg} _{K}}$라고 한다.

${\displaystyle \operatorname {Reg} _{K}=\det M_{-,{\hat {j}}}\quad \forall j=1,\dots ,r+1}$

 이 부분의 본문은 유수 공식입니다.

대수적 수체의 정수환은 유일 인수 분해 정역이 아닐 수 있다. 대수적 수체는 데데킨트 정역이므로, 유일 인수 분해 정역인 수체는 항상 주 아이디얼 정역이다.

유일 인수 분해가 실패하는 수체의 경우, 아이디얼 유군 ${\displaystyle H_{K}}$ 및 그 크기인 유수(類數) ${\displaystyle h_{K}=|H_{K}|}$를 정의할 수 있다. 대수적 수체의 아이디얼 유군은 항상 유한군이며, 유수는 데데킨트 제타 함수의 유수(留數)로부터 유수 공식을 통해 계산할 수 있다.

 이 부분의 본문은 분기화입니다.

대수기하학적으로, 포함 관계 ${\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow {\mathcal {O}}_{K}}$는 반대로 스킴 사상 ${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\twoheadrightarrow \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, 분기화(영어: ramification)가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.

수체 ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ 및 소수 ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} ^{+}}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle p}$로 생성되는 주 아이디얼은 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$에서 다음과 같이 소 아이디얼들의 곱으로 인수 분해된다.

${\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}{\mathfrak {p}}_{2}^{e_{2}}\dotsb {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}}$

여기서 ${\displaystyle e_{i}}$를 ${\displaystyle K}$의 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$에서의 분기 지표(영어: ramification index)라고 한다.

이 경우, ${\displaystyle p}$는 다음과 같이 세 가지로 분류된다.

• 만약 ${\displaystyle e_{i}>1}$인 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$가 존재한다면, ${\displaystyle p}$는 분기화된다(영어: ramified).
• 만약 모든 ${\displaystyle e_{i}=1}$이라면, ${\displaystyle p}$는 분기화되지 않는다(영어: unramified)
  • 만약 ${\displaystyle k=1}$이라면, ${\displaystyle p}$는 분해되지 않는다(영어: unsplit).
  • 만약 ${\displaystyle k>1}$이지만 ${\displaystyle e_{1}=e_{2}=\dots =e_{k}=1}$이라면, ${\displaystyle p}$는 (다른 소수들의 곱으로) 분해된다(영어: split).

수체 ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$에서, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 소수 ${\displaystyle p}$는 분기화된다.
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)=\prod _{i}{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}_{i}^{e_{i}}}$는 0이 아닌 멱영원을 갖는다. (중국인의 나머지 정리)
• ${\displaystyle p\mid \Delta _{K}}$. 여기서 ${\displaystyle \Delta _{K}}$는 ${\displaystyle K}$의 판별식이다.

판별식의 소인수의 수는 유한하므로, 따라서 오직 유한 개의 소수만이 분기화된다.

대수기하학적으로, 포함 관계 ${\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow {\mathcal {O}}_{K}}$는 반대로 스킴 사상 ${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\twoheadrightarrow \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, 분기화(영어: ramification)가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.

위에 정의된 불변량 (차수, 실수 및 복소수 자리의 수, 판별식, 가역원 기준, 아이디얼 유군 등) 밖에도, 수체 ${\displaystyle K}$에 대응되는 주요 불변량들은 다음이 있다.

• ${\displaystyle K}$의 종수체(영어: genus field) ${\displaystyle G/K}$. 이는 ${\displaystyle K}$의 아벨 확대이다. 그 갈루아 군은 종수군(영어: genus group)이라고 하며, 종수체의 차수는 종수(영어: genus) ${\displaystyle g(K)=[G:K]}$라고 한다. 이는 양의 정수이며, 대수 곡선의 종수와 유사한 성질을 보인다.
• ${\displaystyle K}$의 힐베르트 유체(영어: Hilbert class field) ${\displaystyle E/K}$. 이 역시 ${\displaystyle K}$의 아벨 확대이다. ${\displaystyle E/K}$의 갈루아 군은 ${\displaystyle K}$의 아이디얼 유군과 같다.
• ${\displaystyle K}$의 데데킨트 제타 함수 ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$. 이는 유리형 함수이며, 다른 불변량들에 대한 다양한 정보를 담고 있다.
• 아델 환 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$. 이는 위상환을 이룬다. 그 가역원군은 이델 군이라고 한다. 이들은 유체론에 자주 등장한다.

다음과 같은 예들이 있다.

• 유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• 이차 수체
• 원분체
• ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$는 정규 확대가 아닌 수체이다. 이는 ${\displaystyle x^{3}-2}$의 3개의 근 가운데 한 개만을 포함하기 때문이다.
• ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8}$의 한 근으로 생성되는 수체는 단일생성체가 아닌 3차 수체이다.

 이 부분의 본문은 유리수입니다.

유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$는 자명한 대수적 수체이다. 이는 차수가 1인 유일한 수체이다.

오스트롭스키 정리(영어: Ostrowski’s theorem)에 따르면, 유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$는 다음과 같은 자리들을 가진다.

• 자명한 자리

  ${\displaystyle |x|={\begin{cases}0&x=0\\1&x\neq 0\end{cases}}}$

• 표준 자리 (통상적인 절댓값)
• 소수 p에 대하여, p진 자리

  ${\displaystyle {\begin{cases}|0|&=0\\|p^{n}a/b|_{p}=p^{-n}\end{cases}}}$

  (${\displaystyle a,b,p}$는 서로소)

특히, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$는 실수 자리 1개와 복소수 자리 0개를 갖는다.

${\displaystyle r_{1}(\mathbb {Q} )=1}$

${\displaystyle r_{2}(\mathbb {Q} )=0}$

유리수체의 대수적 정수환은 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$이며, 이는 주 아이디얼 정역이다. 다시 말해, 유리수체의 대수적 정수환에서는 유일 인수 분해가 성립하며, 그 아이디얼 유군은 자명군이며, 그 유수는 1이다.

유리수체에서 체 대각합과 체 노름은 항등 함수이다.

${\displaystyle \operatorname {T} _{\mathbb {Q} /\mathbb {Q} }(x)=\operatorname {N} _{\mathbb {Q} /\mathbb {Q} }(x)=x}$

유리수체의 대수적 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$의 정수 기저는 ${\displaystyle \{1\}}$을 고를 수 있다. 이는 자명하게 거듭제곱 정수 기저를 이루며, 따라서 유리수체는 자명하게 단일생성체를 이룬다. 유리수체의 판별식은 다음과 같이 자명하게 1이며, 민코프스키 하한에 따라서 판별식이 1인 유일한 수체이다.

${\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} }=\left(\det {\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}\right)^{2}=1}$

유리수체의 대수적 정수환의 가역원군은 ${\displaystyle \{\pm 1\}}$이며, 이는 1의 거듭제곱근으로만 구성된다. 즉, 디리클레 가역원 정리가 자명하게 성립한다. 유리수체의 가역원 기준은 (0×0 행렬의 행렬식이므로) 1이다.

${\displaystyle \operatorname {Reg} _{\mathbb {Q} }=1}$

유리수체의 데데킨트 제타 함수는 리만 제타 함수 ${\displaystyle \zeta (s)}$이다. 리만 제타 함수의 ${\displaystyle s=1}$에서의 유수는 1이며, 이 경우 유수 공식은 다음과 같이 성립한다.

${\displaystyle 1={\frac {2^{r_{1}(\mathbb {Q} )}(2\pi )^{r_{2}(\mathbb {Q} )}h_{\mathbb {Q} }\operatorname {Reg} _{\mathbb {Q} }}{|\operatorname {Tors} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} }^{\times })|{\sqrt {|\Delta _{\mathbb {Q} }|}}}}={\frac {2^{1}\cdot (2\pi )^{0}\cdot 1\cdot 1}{2\cdot {\sqrt {|1|}}}}=1}$

 이 부분의 본문은 이차 수체입니다.

제곱 인수가 없는 정수 ${\displaystyle d}$에 대하여, 이차 수체

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\mathbb {Q} +{\sqrt {d}}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-d)}$

를 정의할 수 있다. 이는 유리수체의 2차 확대이다. 이 경우, ${\displaystyle d}$가 양수일 경우 실수 이차 수체, 음수일 경우 허수 이차 수체라고 한다. 특수한 예로, 가우스 유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)=\mathbb {Q} +i\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-1)}$가 있다. 다른 예로, ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}$는 그 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역이 아닌 이차 수체이다. 예를 들어, ${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-}}5)(1-{\sqrt {-}}5)}$이다.

기저를 ${\displaystyle \{1,{\sqrt {d}}\}}$로 잡으면, 각 원소

${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$

는 다음과 같은 2×2 정사각 행렬로 적을 수 있다.

${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}\mapsto {\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}}$

이 경우 대각합과 노름은 다음과 같다.

${\displaystyle T(a+b{\sqrt {d}})=2a}$

${\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}}$

이차 수체의 판별식은 다음과 같다. 제곱 없는 정수 ${\displaystyle d}$에 대하여,

${\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

이다. 이차 수체의 판별식과 같은 정수를 기본 판별식(영어: fundamental discriminant)이라고 한다. 양의 기본 판별식들은 다음과 같다.

1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, … (OEIS의 수열 A003658)

음의 기본 판별식들은 다음과 같다.

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, … (OEIS의 수열 A003657)

 이 부분의 본문은 원분체입니다.

원분체는 유리수체에 1의 거듭제곱근 ${\displaystyle \zeta _{n}}$을 추가하여 정의한다.

${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})=\mathbb {Q} [x]/(x^{n}-1)}$

특수한 예로, 아이젠슈타인 유리수 ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{3})=\mathbb {Q} +\mathbb {Q} (\zeta _{3})}$가 있다.

${\displaystyle n>2}$일 때, 원분체 ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$의 판별식은 다음과 같다.

${\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} (\zeta _{n})}=(-1)^{\varphi (n)/2}n^{\varphi (n)}\prod _{p|n}p^{-\varphi (n)/(p-1)}}$

여기서

• ${\displaystyle \varphi (n)}$은 오일러 피 함수이다.
• ${\displaystyle \prod _{p|n}}$은 ${\displaystyle n}$의 소인수들에 대한 곱이다.

다음과 같은 체의 확대들은 대수적 수체가 아니다.

• ${\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )/\mathbb {Q} }$는 초월 확대이므로 수체가 아니다.
• ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$나 ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }$ 역시 초월 확대이므로 수체가 아니다.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)/\mathbb {Q} }$ 역시 초월 확대이므로 수체가 아니다.
• 대수적 수의 체를 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$라고 하자. ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} }$는 대수적 확대이지만, 무한 차수의 확대이므로 수체가 아니다.
• ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$는 유리수체의 확대가 아니므로 수체가 아니다.

• 국소체
• 대역체
• 아델 환
• 하세-민코프스키 정리
• 버치-스위너턴다이어 추측

• Lang, Serge (1994). 《Algebraic number theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 110 2판. New York: Springer. ISBN 978-0-387-94225-4. MR 1282723.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Ireland, Kenneth; Michael Rosen (1990). 《A classical introduction to modern number theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 84 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-2103-4. ISSN 0072-5285.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

• “Algebraic number field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
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• “Abelian number field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Non-Abelian number field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Proskuryakov, I.V. (2001). “Discriminant”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Regulator of an algebraic number field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Number field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
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• “Genus of a number field”. 《nLab》 (영어). 
• 이철희. “디리클레 단위 정리와 수체의 regulator”. 《수학노트》. 
• “Do finite places of a number field also correspond to embeddings?”. 《Math Overflow》 (영어).