체론 에서 체의 확대 (體의 擴大, 영어 : field extension )는 주어진 체 에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다.
두 체 K {\displaystyle K} L {\displaystyle L} K {\displaystyle K} L {\displaystyle L} 확대 는 K {\displaystyle K} L {\displaystyle L} 환 준동형 이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, 유사환 의 준동형보다 더 강한 조건이다.)
체의 확대는 항상 단사 함수 이며, 따라서 K {\displaystyle K} L {\displaystyle L} K {\displaystyle K} L {\displaystyle L} 부분체 (部分體, 영어 : subfield ), 반대로 L {\displaystyle L} K {\displaystyle K} 확대체 (擴大體, 영어 : extension field )라고 한다. L {\displaystyle L} K {\displaystyle K} L / K {\displaystyle L/K}
일련의 체 K 0 , K 1 , … , K n {\displaystyle K_{0},K_{1},\dots ,K_{n}}
K 0 ⊆ K 1 ⊆ ⋯ ⊆ K n {\displaystyle K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}} 를 이룰 때, { K i } i = 0 , 1 , … , n {\displaystyle \{K_{i}\}_{i=0,1,\dots ,n}} 체의 탑 (體의 塔, 영어 : tower of fields )이라고 한다.
체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} L {\displaystyle L} K {\displaystyle K} 단위 결합 대수 를 이루며, 특히 벡터 공간 을 이룬다. 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 차수 (次數, 영어 : degree )는 L {\displaystyle L} K {\displaystyle K} [ L : K ] {\displaystyle [L:K]}
차수가 유한한 확대를 유한 확대 (無限擴大, 영어 : finite extension )라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수 이며, 이는 체의 자기 동형 에 해당한다. 차수가 2인 확대는 이차 확대 (二次擴大, 영어 : quadratic extension ), 차수가 3인 확대는 삼차 확대 (三次擴大, 영어 : cubic extension )라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.
체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} L {\displaystyle L} S ⊂ L {\displaystyle S\subset L} p ∈ K [ | S | ] {\displaystyle p\in K[|S|]} p ( S ) = 0 {\displaystyle p(S)=0} p = 0 {\displaystyle p=0} S {\displaystyle S} 대수적 독립 집합 (영어 : algebraically independent set )이라고 한다. L / K {\displaystyle L/K} 초월 차수 (영어 : transcendence degree )는 L {\displaystyle L} 크기 이며, trdeg K L {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}L} 대수적 확대 (代數的擴大, 영어 : algebraic extension )라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 초월 확대 (超越擴大, 영어 : transcendental extension )라고 한다.
L / K {\displaystyle L/K} 초월 기저 (超越基底, 영어 : transcendence basis ) S {\displaystyle S} L / K ( S ) {\displaystyle L/K(S)} S ⊂ L {\displaystyle S\subset L} L = K ( S ) {\displaystyle L=K(S)} L / K {\displaystyle L/K} 순수 초월 확대 (純粹超越擴大, 영어 : purely transcendental extension )라고 한다.
체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} L {\displaystyle L} a ∈ L {\displaystyle a\in L} { a } {\displaystyle \{a\}} a {\displaystyle a} L / K {\displaystyle L/K} 초월 원소 (超越元素, 영어 : transcendental element )라고 한다. 초월 원소가 아닌 원소를 대수적 원소 (代數的元素, 영어 : algebraic element )라고 한다.
체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} L {\displaystyle L} 부분 집합 S ⊂ L {\displaystyle S\subset L} L {\displaystyle L} S {\displaystyle S} K {\displaystyle K} K ( S ) {\displaystyle K(S)} S ∪ K {\displaystyle S\cup K} L {\displaystyle L} K [ S ] ⊆ L {\displaystyle K[S]\subseteq L} S {\displaystyle S} K {\displaystyle K} K ( S ) {\displaystyle K(S)} K [ S ] {\displaystyle K[S]} 분수체 와 동형이다.
K ( S ) = Frac K [ S ] = { p / q : p ∈ K [ S ] , q ∈ K [ S ] , q ≠ 0 } ⊆ L {\displaystyle K(S)=\operatorname {Frac} K[S]=\{p/q\colon p\in K[S],q\in K[S],\;q\neq 0\}\subseteq L} 또한, 만약 S {\displaystyle S} L {\displaystyle L} K ( S ) / K {\displaystyle K(S)/K}
체의 확대 M / K {\displaystyle M/K}
K ⊆ L 1 ⊆ M {\displaystyle K\subseteq L_{1}\subseteq M} K ⊆ L 2 ⊆ M {\displaystyle K\subseteq L_{2}\subseteq M} 가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 합성체 (合成體, 영어 : compositum )는 K ( L 1 ∪ L 2 ) ⊆ M {\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})\subseteq M}
유한 확대 L / K {\displaystyle L/K} L {\displaystyle L} K {\displaystyle K} 벡터 공간 이며, 임의의 원소 a ∈ L {\displaystyle a\in L} a ⋅ : L → L {\displaystyle a\cdot \colon L\to L} K {\displaystyle K} 벡터 공간 의 선형 변환 이다. 따라서 그 행렬식 과 대각합 을 취할 수 있으며, 이를 각각 체 노름 (體norm, 영어 : field norm ) N L / K {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}} 체 대각합 (體對角合, 영어 : field trace ) T L / K {\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}}
N L / K : L → K {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}\colon L\to K} N L / K : a ↦ det ( a ⋅ ) {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}\colon a\mapsto \det(a\cdot )} T L / K : L → K {\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}\colon L\to K} T L / K : a ↦ tr ( ⋅ a ) {\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}\colon a\mapsto \operatorname {tr} (\cdot a)} 보다 일반적으로, a ⋅ {\displaystyle a\cdot } 고유 다항식 을 취할 수 있으며, 이는 K {\displaystyle K} 일계수 다항식 이다.
χ L / K ( x ; a ) = det ( x − a ⋅ ) ∈ K [ x ] {\displaystyle \chi _{L/K}(x;a)=\det(x-a\cdot )\in K[x]} 이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다.
χ L / K ( x ; a ) = x [ L : K ] − T L / K ( a ) x [ L : K ] − 1 + ⋯ + ( − 1 ) [ L : K ] N L / K ( a ) {\displaystyle \chi _{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-\operatorname {T} _{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots +(-1)^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(a)} 체 노름과 체 대각합은 최소 다항식 으로도 정의할 수 있다. 임의의 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 최소 다항식 이 p a ∈ K [ x ] {\displaystyle p_{a}\in K[x]} 중복집합 이 { σ 1 ( a ) , … , σ n ( a ) } ∈ K ¯ {\displaystyle \{\sigma _{1}(a),\dots ,\sigma _{n}(a)\}\in {\bar {K}}}
N L / K ( a ) = ( ∏ i = 1 n σ i ( a ) ) [ L : K ( a ) ] {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=\left(\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)\right)^{[L:K(a)]}} T L / K ( a ) = [ L : K ( a ) ] ∑ i = 1 n σ i ( a ) {\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)} 만약 L / K {\displaystyle L/K} 분해 가능 확대 라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다.
만약 L / K {\displaystyle L/K} 갈루아 확대 라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다.
N L / K ( a ) = ∏ g ∈ Gal ( L / K ) g ( a ) {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=\prod _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)} T L / K ( a ) = ∑ g ∈ Gal ( L / K ) g ( a ) {\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}(a)=\sum _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)} 여기서 Gal ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)} 갈루아 군 이다.
체의 확대는 항상 단사 함수 이다. (전단사 함수 인 체의 확대는 체의 자기 동형 (영어 : automorphism )이라고 한다.) 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} K {\displaystyle K} L {\displaystyle L} 표수 는 서로 일치한다.
∃ L / K ⟹ char K = char L {\displaystyle \exists L/K\implies \operatorname {char} K=\operatorname {char} L} 확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} M / L {\displaystyle M/L} M / K {\displaystyle M/K}
[ M : K ] = [ L : K ] [ M : L ] {\displaystyle [M:K]=[L:K][M:L]} trdeg K M = trdeg K L + trdeg L M {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}M=\operatorname {trdeg} _{K}L+\operatorname {trdeg} _{L}M} 여기서 좌변은 일반적으로 기수 의 곱 또는 합이다.
초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수 이며, 확대체의 집합의 크기 와 같다.
trdeg K L ≥ 1 ⟹ [ L : K ] = | L | = max { | K | , trdeg K L , ℵ 0 } ≥ ℵ 0 {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}L\geq 1\implies [L:K]=|L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\geq \aleph _{0}} 이다.
자명하게
max { trdeg K L , ℵ 0 } ≤ [ L : K ] ≤ | L | = max { | K | , trdeg K L , ℵ 0 } {\displaystyle \max\{\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\leq [L:K]\leq |L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}} 이므로, [ L : K ] ≥ | K | {\displaystyle [L:K]\geq |K|} x ∈ L {\displaystyle x\in L}
{ 1 1 + a x : a ∈ K } ⊆ L {\displaystyle \left\{{\frac {1}{1+ax}}\colon a\in K\right\}\subseteq L} 는 K {\displaystyle K} 선형 독립 집합 임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 c 0 , … , c n − 1 ∈ K {\displaystyle c_{0},\dots ,c_{n-1}\in K} a 0 , … , a n − 1 ∈ K {\displaystyle a_{0},\dotsc ,a_{n-1}\in K}
c 0 1 + a 0 x + ⋯ c n − 1 1 + a n − 1 x = 0 {\displaystyle {\frac {c_{0}}{1+a_{0}x}}+\cdots {\frac {c_{n-1}}{1+a_{n-1}x}}=0} 라고 가정하였을 때
c 0 = ⋯ = c n − 1 = 0 {\displaystyle c_{0}=\dotsb =c_{n-1}=0} 임을 보여야 한다.
r n − 1 , i , j = e n − 1 , j ( a 0 , … , a i − 1 , a i + 1 , … , a n − 1 ) ( i , j = 0 , … , n − 1 ) {\displaystyle r_{n-1,i,j}=e_{n-1,j}(a_{0},\dotsc ,a_{i-1},a_{i+1},\dotsc ,a_{n-1})\qquad (i,j=0,\dotsc ,n-1)} 라고 하자 ( e n − 1 , j {\displaystyle e_{n-1,j}} ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} j {\displaystyle j} 기본 대칭 다항식 ). 그렇다면 가정은
0 = ∑ i = 0 n − 1 c i ( 1 + a 0 x ) ⋯ ( 1 + a i − 1 x ) ( 1 + a i + 1 x ) ⋯ ( 1 + a n − 1 x ) = ∑ i = 0 n − 1 c i ∑ j = 0 n − 1 r n − 1 , i , j x j = ∑ j = 0 n − 1 x j ∑ i = 0 n − 1 c i r n − 1 , i , j {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}(1+a_{0}x)\dotsm (1+a_{i-1}x)(1+a_{i+1}x)\dotsm (1+a_{n-1}x)\\&=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}\sum _{j=0}^{n-1}r_{n-1,i,j}x^{j}\\&=\sum _{j=0}^{n-1}x^{j}\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}r_{n-1,i,j}\end{aligned}}} 와 동치 이다 . x {\displaystyle x}
∑ i = 0 n − 1 c i r n − 1 , i , j = 0 ( j = 0 , … , n − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}c_{i}r_{n-1,i,j}=0\qquad (j=0,\dotsc ,n-1)} 와 동치 이다. 이는 c 0 , … , c n − 1 {\displaystyle c_{0},\dots ,c_{n-1}} 연립 일차 방정식 이다. 따라서, 계수들의 행렬식 이 0이 아님을 보이면 족하다. 사실,
| r n − 1 , 0 , 0 ⋯ r n − 1 , 0 , n − 1 ⋮ ⋮ r n − 1 , n − 1 , 0 ⋯ r n − 1 , n − 1 , n − 1 | = ∏ 0 ≤ i < j ≤ n − 1 ( a i − a j ) ≠ 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}r_{n-1,0,0}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-1,n-1,0}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{0\leq i<j\leq n-1}(a_{i}-a_{j})\neq 0} 이며, 이는 n {\displaystyle n} 수학적 귀납법 을 통하여 다음과 같이 보일 수 있다. n = 1 {\displaystyle n=1} n − 1 {\displaystyle n-1} n {\displaystyle n}
| r n − 1 , 0 , 0 ⋯ r n − 1 , 0 , n − 1 ⋮ ⋮ r n − 1 , n − 1 , 0 ⋯ r n − 1 , n − 1 , n − 1 | = | 0 r n − 1 , 0 , 1 − r n − 1 , n − 1 , 1 ⋯ r n − 1 , 0 , n − 1 − r n − 1 , n − 1 , n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ 0 r n − 1 , n − 2 , 1 − r n − 1 , n − 1 , 1 ⋯ r n − 1 , n − 2 , n − 1 − r n − 1 , n − 1 , n − 1 1 r n − 1 , n − 1 , 1 ⋯ r n − 1 , n − 1 , n − 1 | = ( − 1 ) n | ( a n − 1 − a 0 ) r n − 2 , 0 , 0 ⋯ ( a n − 1 − a 0 ) r n − 2 , 0 , n − 2 ⋮ ⋮ ( a n − 1 − a n − 2 ) r n − 2 , n − 2 , 0 ⋯ ( a n − 1 − a n − 2 ) r n − 2 , n − 2 , n − 2 | = ( − 1 ) n ( a n − 1 − a 0 ) ⋯ ( a n − 1 − a n − 2 ) | r n − 2 , 0 , 0 ⋯ r n − 2 , 0 , n − 2 ⋮ ⋮ r n − 2 , n − 2 , 0 ⋯ r n − 2 , n − 2 , n − 2 | = ( a 0 − a n − 1 ) ⋯ ( a n − 2 − a n − 1 ) ∏ 0 ≤ i < j ≤ n − 2 ( a i − a j ) = ∏ 0 ≤ i < j ≤ n − 1 ( a i − a j ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}r_{n-1,0,0}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-1,n-1,0}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}0&r_{n-1,0,1}-r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&r_{n-1,n-2,1}-r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,n-2,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1}\\1&r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}\\&=(-1)^{n}{\begin{vmatrix}(a_{n-1}-a_{0})r_{n-2,0,0}&\cdots &(a_{n-1}-a_{0})r_{n-2,0,n-2}\\\vdots &&\vdots \\(a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,0}&\cdots &(a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,n-2}\end{vmatrix}}\\&=(-1)^{n}(a_{n-1}-a_{0})\dotsm (a_{n-1}-a_{n-2}){\begin{vmatrix}r_{n-2,0,0}&\cdots &r_{n-2,0,n-2}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-2,n-2,0}&\cdots &r_{n-2,n-2,n-2}\end{vmatrix}}\\&=(a_{0}-a_{n-1})\dotsm (a_{n-2}-a_{n-1})\prod _{0\leq i<j\leq n-2}(a_{i}-a_{j})\\&=\prod _{0\leq i<j\leq n-1}(a_{i}-a_{j})\end{aligned}}} 즉, n {\displaystyle n}
대수적 확대 M / K {\displaystyle M/K} K ⊆ L 1 , L 2 ⊆ M {\displaystyle K\subseteq L_{1},L_{2}\subseteq M} :529, Proposition 21
[ K ( L 1 ∪ L 2 ) : K ] ≤ [ L 1 : K ] [ L 2 : K ] {\displaystyle [K(L_{1}\cup L_{2}):K]\leq [L_{1}:K][L_{2}:K]} 우선, L 1 / K {\displaystyle L_{1}/K} L 2 / K {\displaystyle L_{2}/K} L 1 {\displaystyle L_{1}} L 2 {\displaystyle L_{2}} K {\displaystyle K} 기저 ( a i ) i ∈ I {\displaystyle (a_{i})_{i\in I}} ( b i ) i ∈ I {\displaystyle (b_{i})_{i\in I}} ( a i b j ) i ∈ I , j ∈ J {\displaystyle (a_{i}b_{j})_{i\in I,\;j\in J}} K ( L 1 ∪ L 2 ) {\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})} K {\displaystyle K} 선형 생성 함을 보이는 것으로 족하다. 이는 다음과 같은 단계들을 거쳐 보일 수 있다. 자명하게
K ( L 1 ∪ L 2 ) = K ( { a i } i ∈ I ∪ { b j } j ∈ J ) {\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})=K(\{a_{i}\}_{i\in I}\cup \{b_{j}\}_{j\in J})} 이다. 또한, 이는 자명하게
K ( a i 1 , … , a i m , b j 1 , … , b j n ) {\displaystyle K(a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}})} 꼴의 체들의 합집합이다. 모든 a i r {\displaystyle a_{i_{r}}} b j s {\displaystyle b_{j_{s}}}
K ( a i 1 , … , a i m , b j 1 , … , b j n ) = K ( a i 1 ) ⋯ ( a i m ) ( b j 1 ) ⋯ ( b j n ) = K [ a i 1 ] ⋯ [ a i m ] [ b j 1 ] ⋯ ( b j n ) = K [ a i 1 , … , a i m , b j 1 , … , b j n ] {\displaystyle {\begin{aligned}K(a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}})&=K(a_{i_{1}})\cdots (a_{i_{m}})(b_{j_{1}})\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}}]\cdots [a_{i_{m}}][b_{j_{1}}]\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]\end{aligned}}} 이다. 마지막으로, 유한 개의 a i r {\displaystyle a_{i_{r}}} L 1 {\displaystyle L_{1}} a i {\displaystyle a_{i}} K {\displaystyle K} b j s {\displaystyle b_{j_{s}}} b j {\displaystyle b_{j}} K {\displaystyle K} K [ a i 1 , … , a i m , b j 1 , … , b j n ] {\displaystyle K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]} a i b j {\displaystyle a_{i}b_{j}} K {\displaystyle K} ( a i b j ) i ∈ I , j ∈ J {\displaystyle (a_{i}b_{j})_{i\in I,\;j\in J}} K ( L 1 ∪ L 2 ) {\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})} K {\displaystyle K} 선형 생성 집합 이다.
이제 초월 확대가 하나 이상인 경우를 생각하자. 이 경우, K ( L 1 ∪ L 2 ) / K {\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})/K} L 1 {\displaystyle L_{1}} L 2 {\displaystyle L_{2}} 무한 집합 이므로
[ K ( L 1 ∪ L 2 ) : K ] = | K ( L 1 ∪ L 2 ) | = max { | K | , | L 1 ∪ L 2 | , ℵ 0 } = max { | L 1 | , | L 2 | } {\displaystyle [K(L_{1}\cup L_{2}):K]=|K(L_{1}\cup L_{2})|=\max\{|K|,|L_{1}\cup L_{2}|,\aleph _{0}\}=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}} 이다. 만약 L 1 / K {\displaystyle L_{1}/K} L 2 / K {\displaystyle L_{2}/K}
[ L 1 : K ] [ L 2 : K ] = | L 1 | | L 2 | = max { | L 1 | , | L 2 | } {\displaystyle [L_{1}:K][L_{2}:K]=|L_{1}||L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}} 이다. 만약 L 1 / K {\displaystyle L_{1}/K} L 2 / K {\displaystyle L_{2}/K}
[ L 1 : K ] ≤ | L 1 | = max { | K | , ℵ 0 } ≤ max { | K | , trdeg K L 2 , ℵ 0 } = | L 2 | {\displaystyle [L_{1}:K]\leq |L_{1}|=\max\{|K|,\aleph _{0}\}\leq \max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L_{2},\aleph _{0}\}=|L_{2}|} 이므로
[ L 1 : K ] [ L 2 : K ] = [ L 1 : K ] | L 2 | = max { [ L 1 : K ] , | L 2 | } = | L 2 | = max { | L 1 | , | L 2 | } {\displaystyle [L_{1}:K][L_{2}:K]=[L_{1}:K]|L_{2}|=\max\{[L_{1}:K],|L_{2}|\}=|L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}} 이다. 즉, 등식이 성립하며, 특히 부등식도 참이다.
노름은 체의 가역원군 의 군 준동형 을 이룬다. 즉, 임의의 a , b ∈ L {\displaystyle a,b\in L}
N L / K ( a b ) = N L / K ( a ) N L / K ( b ) {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(ab)=\operatorname {N} _{L/K}(a)\operatorname {N} _{L/K}(b)} 이며, 만약 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}
N L / K ( a − 1 ) = N L / K ( a ) − 1 {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a^{-1})=\operatorname {N} _{L/K}(a)^{-1}} 이다. 또한, 만약 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} M / L {\displaystyle M/L}
N M / K = N L / K ∘ N M / L {\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}} 대수적 수체 K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } 대수적 정수 a ∈ O K {\displaystyle a\in {\mathcal {O}}_{K}}
∀ a ∈ O K : N K / Q ( a ) ∈ Z {\displaystyle \forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)\in \mathbb {Z} } 또한, 다음이 성립한다.
∀ a ∈ O K : | N K / Q ( a ) | = | O K / ( a ) | {\displaystyle \forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon |\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)|=|{\mathcal {O}}_{K}/(a)|} 여기서 좌변은 체 노름의 절댓값 이고, 우변은 주 아이디얼 에 대한 몫환 의 크기 이다. 이를 일반화하여, O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} a {\displaystyle {\mathfrak {a}}}
N K / Q ( a ) = | O K / a | {\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {a}})=|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {a}}|} 로 정의한다.
체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} S ⊂ L ∖ K {\displaystyle S\subset L\setminus K} K ( S ) / K {\displaystyle K(S)/K} L / K ( S ) {\displaystyle L/K(S)}
체 K {\displaystyle K} 유리 함수체 K ( S ) {\displaystyle K(S)} S {\displaystyle S} 집합의 크기 | S | {\displaystyle |S|}
체 K ( S ) {\displaystyle K(S)} K {\displaystyle K} | S | {\displaystyle |S|} 대수다양체 의 쌍유리 동치 에 대한 분류와 같으며, 따라서 일반적으로 불가능하다고 여겨진다. 다만 일부 특수한 경우는 대수기하학 적 기법으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 만약 K {\displaystyle K} 대수적으로 닫힌 체 이며 | S | = 1 {\displaystyle |S|=1} K {\displaystyle K} 대수 곡선 들의 쌍유리 분류에 해당한다.
위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다.
임의의 체 K {\displaystyle K} 대수적 폐포 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 분해 가능 폐포 K sep {\displaystyle K^{\operatorname {sep} }} K {\displaystyle K} K 0 {\displaystyle K_{0}}
K 0 = { F p p = char K > 0 Q char K = 0 {\displaystyle K_{0}={\begin{cases}\mathbb {F} _{p}&p=\operatorname {char} K>0\\\mathbb {Q} &\operatorname {char} K=0\end{cases}}} 여기서 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} p {\displaystyle p} 유한체 이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.
K 0 ⊆ K ⊆ K sep ⊆ K ¯ {\displaystyle K_{0}\subseteq K\subseteq K^{\operatorname {sep} }\subseteq {\bar {K}}} K ¯ / K {\displaystyle {\bar {K}}/K}
임의의 체 K {\displaystyle K} 유리 함수체 K ( x ) = Frac K [ x ] {\displaystyle K(x)=\operatorname {Frac} K[x]} 형식적 로랑 급수체 K ( ( x ) ) = Frac K [ [ x ] ] {\displaystyle K((x))=\operatorname {Frac} K[[x]]}
K ⊊ K ( x ) ⊊ K ( ( x ) ) {\displaystyle K\subsetneq K(x)\subsetneq K((x))} 이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
[ K ( x ) : K ] = ℵ 0 {\displaystyle [K(x):K]=\aleph _{0}} trdeg K K ( x ) = 1 {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}K(x)=1} [ K ( ( x ) ) : K ] = 2 ℵ 0 {\displaystyle [K((x)):K]=2^{\aleph _{0}}} 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} }
Q ⊊ R ⊊ C {\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} \subsetneq \mathbb {C} } 이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
[ R : Q ] = 2 ℵ 0 {\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}} trdeg Q R = 2 ℵ 0 {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} =2^{\aleph _{0}}} [ C : R ] = 2 {\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2} trdeg R C = 0 {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =0} 체의 확대 C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }
N C / R : x + i y ↦ x 2 + y 2 = | x + i y | 2 {\displaystyle \operatorname {N} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\colon x+iy\mapsto x^{2}+y^{2}=|x+iy|^{2}} 이다.
유리수체 의 유한 확대는 수체 Q ( 2 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} } Q ( − 1 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})/\mathbb {Q} }
원주율 π {\displaystyle \pi } 자연로그의 밑 e {\displaystyle e} 초월수 이므로, Q [ π ] / Q {\displaystyle \mathbb {Q} [\pi ]/\mathbb {Q} } Q ( e ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} (e)/\mathbb {Q} } { π , e } {\displaystyle \{\pi ,e\}} Q ( π , e ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} (\pi ,e)/\mathbb {Q} }
[ Q ( π ) : Q ) ] = [ Q ( e ) : Q ] = [ Q ( π , e ) : Q ] = ℵ 0 {\displaystyle [\mathbb {Q} (\pi ):\mathbb {Q} )]=[\mathbb {Q} (e):\mathbb {Q} ]=[\mathbb {Q} (\pi ,e):\mathbb {Q} ]=\aleph _{0}} trdeg Q Q ( π ) = trdeg Q Q ( e ) = 1 {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi )=\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (e)=1} trdeg Q Q ( π , e ) ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi ,e)\in \{1,2\}} 이차 수체 Q [ n ] / Q {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} }
N Q [ n ] / Q : a + n b ↦ ( a + n b ) ( a − n b ) = a 2 − n b 2 {\displaystyle \operatorname {N} _{\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} }\colon a+{\sqrt {n}}b\mapsto (a+{\sqrt {n}}b)(a-{\sqrt {n}}b)=a^{2}-nb^{2}} 이다.
이 부분의 본문은
p진수 입니다.
소수 p {\displaystyle p} p진수체 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
Q ⊊ Q p ⊊ Q ¯ p ⊊ C p {\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {Q} _{p}\subsetneq {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}\subsetneq \mathbb {C} _{p}} 여기서 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} p진수체 이며, Q ¯ p {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}} 대수적 폐포 이며, C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} 완비화 이다. C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 체 로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다.
[ Q p : Q ] = 2 ℵ 0 {\displaystyle [\mathbb {Q} _{p}:\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}} 이 부분의 본문은
유한체 입니다.
소수 p {\displaystyle p} p {\displaystyle p}
F p ⊊ F p 2 ⊊ ⋯ ⊊ F p n ⊊ ⋯ F ¯ p = lim → n → ∞ F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p}\subsetneq \mathbb {F} _{p^{2}}\subsetneq \cdots \subsetneq \mathbb {F} _{p^{n}}\subsetneq \cdots {\bar {\mathbb {F} }}_{p}=\varinjlim ^{n\to \infty }\mathbb {F} _{p^{n}}} 여기서 F ¯ p {\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}} 대수적 폐포 이며, 이는 유한체들의 귀납적 극한 을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다.
[ F p n + 1 : F p ] = p {\displaystyle [\mathbb {F} _{p^{n+1}}:\mathbb {F} ^{p}]=p} [ F ¯ p : F p n ] = ℵ 0 {\displaystyle [{\bar {\mathbb {F} }}_{p}:\mathbb {F} _{p^{n}}]=\aleph _{0}} 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} 유리 함수체
L = Γ ( X , K X ) {\displaystyle L=\Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X})} 는 K {\displaystyle K} X {\displaystyle X} 쌍유리 동치류 는 확대 L / K {\displaystyle L/K} X {\displaystyle X} 크룰 차원 은 L / K {\displaystyle L/K}
dim X = trdeg K L {\displaystyle \dim X=\operatorname {trdeg} _{K}L} 이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다.
n {\displaystyle n} 유리 다양체 의 유리 함수체는 순수 초월 확대 K ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})} 사영 평면 속의 초타원 곡선 을 생각하자.
y 2 = p ( x ) {\displaystyle y^{2}=p(x)} 여기서 p ( x ) ∈ K [ x ] {\displaystyle p(x)\in K[x]} x {\displaystyle x} 분기 피복 을 이루며, x {\displaystyle x} 올 은 ± p ( x ) {\displaystyle \pm {\sqrt {p(x)}}} 2 ⌈ ( deg p ) / 2 ⌉ {\displaystyle 2\lceil (\deg p)/2\rceil } p {\displaystyle p} 2 ∤ deg p {\displaystyle 2\nmid \deg p} ∞ ^ {\displaystyle {\widehat {\infty }}}
K ( x , p ( x ) ) / K {\displaystyle K(x,{\sqrt {p(x)}})/K} 로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대 K ( x , p ( x ) ) / K ( x ) {\displaystyle K(x,{\sqrt {p(x)}})/K(x)} 타원 곡선 의 경우 이 함수체 (타원 함수 체)는 바이어슈트라스 타원 함수 로 다음과 같이 주어진다.
C ( ρ , 4 ℘ 3 + g 2 ℘ + g 3 ρ ′ ) {\displaystyle \mathbb {C} (\rho ,{\sqrt {4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}}}\rho ')} 이는 바이어슈트라스 타원 함수가 ℘ ′ 2 = 4 ℘ 3 + g 2 ℘ + g 3 {\displaystyle \wp '^{2}=4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}}
![{\displaystyle [L:K]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aece5b0ecef53af76d4af496d68ed1c41532bb79)
![{\displaystyle p\in K[|S|]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d47c0288e19171ee15f0896a652bcb8f0270a2e)
![{\displaystyle K[S]\subseteq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd989138d26b208c85ace54dcf26c9988df38a21)
![{\displaystyle K[S]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527739d0f75b19403512deb18bff6df9c66c14c6)
![{\displaystyle K(S)=\operatorname {Frac} K[S]=\{p/q\colon p\in K[S],q\in K[S],\;q\neq 0\}\subseteq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea7477713c08e6d6a3f893ae5951951915e06e2)
![{\displaystyle \chi _{L/K}(x;a)=\det(x-a\cdot )\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6086667075b5309b83db71697a31211e5efc242f)
![{\displaystyle \chi _{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-\operatorname {T} _{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots +(-1)^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d605bd7365f6ab03b803f28b22b8ba1cf7285e)
![{\displaystyle p_{a}\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06fa926a790bf4c8741be049da51beb5bd4eced)
![{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=\left(\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)\right)^{[L:K(a)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f115a94b462e652ab07996715c900c2dd031fb6)
![{\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e472c193ae22ea5dc635b68da95b558ec3248355)
![{\displaystyle [M:K]=[L:K][M:L]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd1da20c2901909c1ded472071958e81a794701)
![{\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}L\geq 1\implies [L:K]=|L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\geq \aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86006072a7f0e4c78a9527062c3b7b433860ef9c)
![{\displaystyle \max\{\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\leq [L:K]\leq |L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794907424b40a3b3c7c03935ac9cf8c9cac0622e)
![{\displaystyle [L:K]\geq |K|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96a34e04814c9f96bbbf9b445eed448d0deb8ff)
![{\displaystyle [K(L_{1}\cup L_{2}):K]\leq [L_{1}:K][L_{2}:K]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8e3f566bfa383d72b4dfb43a04a04b213bf00c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K(a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}})&=K(a_{i_{1}})\cdots (a_{i_{m}})(b_{j_{1}})\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}}]\cdots [a_{i_{m}}][b_{j_{1}}]\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d123cc923d9e03e65038b9cf3ef2e03976d6db1)
![{\displaystyle K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2aceb23776d47ecf108da0354f1eb5e84629269)
![{\displaystyle [K(L_{1}\cup L_{2}):K]=|K(L_{1}\cup L_{2})|=\max\{|K|,|L_{1}\cup L_{2}|,\aleph _{0}\}=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502d6f4ace30fe1268a3a23a7a6405a54532925e)
![{\displaystyle [L_{1}:K][L_{2}:K]=|L_{1}||L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9bd2dce86a1ca6530881d5eb73443c37e6ebd4)
![{\displaystyle [L_{1}:K]\leq |L_{1}|=\max\{|K|,\aleph _{0}\}\leq \max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L_{2},\aleph _{0}\}=|L_{2}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ff7ef8e4feaed8f7c72ac5ab05e6c447493231)
![{\displaystyle [L_{1}:K][L_{2}:K]=[L_{1}:K]|L_{2}|=\max\{[L_{1}:K],|L_{2}|\}=|L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459dac87f2c888c08f8c6c5740f2d8790f87a446)
![{\displaystyle K(x)=\operatorname {Frac} K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b4b32e80190d3d4ff9224e4dada7d45588a0de)
![{\displaystyle K((x))=\operatorname {Frac} K[[x]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/529309eb7bbe359ca85d45926ed3405fed1a8745)
![{\displaystyle [K(x):K]=\aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344d25224550308a14e75e99e9ec8645da21bc5a)
![{\displaystyle [K((x)):K]=2^{\aleph _{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12b95c22099d799c2a7b1c85d3cdfcf06bff014)
![{\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc8bacc8a6f7c1a79bfc01ca09055a254217deb)
![{\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0d230d77b8b6b954c39a9bd67d9ccb31e5547f)
![{\displaystyle \mathbb {Q} [\pi ]/\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5b46f067f31738a66d34b329a08442375c0da8)
![{\displaystyle [\mathbb {Q} (\pi ):\mathbb {Q} )]=[\mathbb {Q} (e):\mathbb {Q} ]=[\mathbb {Q} (\pi ,e):\mathbb {Q} ]=\aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e00f0b0f49bb032b997e0875ad1ef1c6d367c2d)
![{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d499bed5b0cbd52c0df1337e91a6ce63365a1a)
![{\displaystyle \operatorname {N} _{\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} }\colon a+{\sqrt {n}}b\mapsto (a+{\sqrt {n}}b)(a-{\sqrt {n}}b)=a^{2}-nb^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30444752bf2e138538657b63242da06c9e337861)
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![{\displaystyle [\mathbb {Q} _{p}:\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eade29153e296c81ed2bfbd7163ccc2d8afb0c89)
![{\displaystyle [\mathbb {F} _{p^{n+1}}:\mathbb {F} ^{p}]=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e9179d93e44d14460bbdb08ef53731388dcec7)
![{\displaystyle [{\bar {\mathbb {F} }}_{p}:\mathbb {F} _{p^{n}}]=\aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feab0de64a960ffbd0c5a94c9964c33b48af6320)
![{\displaystyle p(x)\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a1593b7363ee2924833e9f3f3d40afdc877bf4)
