체론 에서 단순 확대 (單純擴大, 영어 : simple extension )는 하나의 원소로 생성되는 체의 확대 이다.
체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} L = K ( α ) {\displaystyle L=K(\alpha )} α ∈ L {\displaystyle \alpha \in L} L / K {\displaystyle L/K} 단순 확대 라고 하고, α {\displaystyle \alpha } 원시 원소 (原始元素, 영어 : primitive element )라고 한다.
만약 α {\displaystyle \alpha } K {\displaystyle K} 초월 원소 라면, K ( α ) ≅ K ( x ) {\displaystyle K(\alpha )\cong K(x)} K {\displaystyle K} 유리 함수체 와 동형 이다. 만약 α {\displaystyle \alpha } K {\displaystyle K} 대수적 원소 라면, K {\displaystyle K} 다항식환 의 어떤 몫환
K ( α ) ≅ K [ x ] / ( p ( x ) ) {\displaystyle K(\alpha )\cong K[x]/(p(x))} [ K ( α ) : K ] = deg p {\displaystyle [K(\alpha ):K]=\deg p} 과 동형 이다. 여기서 p {\displaystyle p} α {\displaystyle \alpha } K {\displaystyle K} 최소 다항식 이다. 이는 기약 다항식 이므로, ( p ( x ) ) {\displaystyle (p(x))} 극대 아이디얼 이며, K [ x ] / ( p ( x ) ) {\displaystyle K[x]/(p(x))} 체 를 이룬다.
유한 확대 의 경우, 단순 확대가 될 필요충분조건은 원시 원소 정리 (原始元素定理, 영어 : primitive element theorem )에 의하여 주어진다. 원시 원소 정리에 따르면, 임의의 유한 확대 L / K {\displaystyle L/K} 동치 이다.
L / K {\displaystyle L/K} L / K {\displaystyle L/K} K ⊆ M ⊆ L {\displaystyle K\subseteq M\subseteq L} M {\displaystyle M} L / K {\displaystyle L/K} K {\displaystyle K} 유한체 라면, L {\displaystyle L} L × = L ∖ { 0 } {\displaystyle L^{\times }=L\setminus \{0\}} 순환군 이다. 임의의 생성원 α {\displaystyle \alpha } L = K ( α ) {\displaystyle L=K(\alpha )} K {\displaystyle K} α , β ∈ L {\displaystyle \alpha ,\beta \in L}
K ( α + c β ) = K ( α + c ′ β ) {\displaystyle K(\alpha +c\beta )=K(\alpha +c'\beta )} c ≠ c ′ {\displaystyle c\neq c'} 인 c , c ′ ∈ K {\displaystyle c,c'\in K}
β = ( ( α + c β ) − ( α + c ′ β ) ) / ( c − c ′ ) ∈ K ( α + c β ) {\displaystyle \beta =((\alpha +c\beta )-(\alpha +c'\beta ))/(c-c')\in K(\alpha +c\beta )} α = ( α + c β ) − c β ∈ K ( α + c β ) {\displaystyle \alpha =(\alpha +c\beta )-c\beta \in K(\alpha +c\beta )} 이므로, K ( α , β ) = K ( α + c β ) {\displaystyle K(\alpha ,\beta )=K(\alpha +c\beta )} 수학적 귀납법 에 따라, L = K ( α 1 , … , α n ) {\displaystyle L=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}
L = K ( α 1 + c 2 α 2 + ⋯ + c n α n ) {\displaystyle L=K(\alpha _{1}+c_{2}\alpha _{2}+\cdots +c_{n}\alpha _{n})} 인 c 2 , … , c n ∈ K {\displaystyle c_{2},\dots ,c_{n}\in K} L / K {\displaystyle L/K}
반대로, L = K ( α ) {\displaystyle L=K(\alpha )} K {\displaystyle K} L / K {\displaystyle L/K} K ⊆ M ⊆ L {\displaystyle K\subseteq M\subseteq L} p M ∈ M [ x ] {\displaystyle p_{M}\in M[x]} α {\displaystyle \alpha } M {\displaystyle M} 최소 다항식 이라고 하자. 그렇다면, p M ( x ) {\displaystyle p_{M}(x)} p K ( x ) {\displaystyle p_{K}(x)} 약수 이므로, 유한 개밖에 없다. 따라서 M ↦ p M {\displaystyle M\mapsto p_{M}} 단사 함수 임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식 p ∈ K [ x ] {\displaystyle p\in K[x]} S p {\displaystyle S_{p}} p ( x ) {\displaystyle p(x)} p ∈ K ( S p ) [ x ] {\displaystyle p\in K(S_{p})[x]} K ⊆ M ⊆ L {\displaystyle K\subseteq M\subseteq L} p M ( x ) {\displaystyle p_{M}(x)} M {\displaystyle M} 기약 다항식 이며, K ( S ) ⊆ M {\displaystyle K(S)\subseteq M} p M ( x ) {\displaystyle p_{M}(x)} K ( S p M ) {\displaystyle K(S_{p_{M}})} p M {\displaystyle p_{M}} α {\displaystyle \alpha } K ( S p M ) {\displaystyle K(S_{p_{M}})} 최소 다항식 이기도 하다. 따라서,
[ L : K ( S p M ) ] = [ K ( S p M ) ( α ) : K ( S p M ) ] = deg p M = [ M ( α ) : M ] = [ L : M ] {\displaystyle [L:K(S_{p_{M}})]=[K(S_{p_{M}})(\alpha ):K(S_{p_{M}})]=\deg p_{M}=[M(\alpha ):M]=[L:M]} [ K ( S p M ) : K ] = [ L : K ] / [ L : K ( S p M ) ] = [ L : K ] / [ L : M ] = [ M : K ] {\displaystyle [K(S_{p_{M}}):K]=[L:K]/[L:K(S_{p_{M}})]=[L:K]/[L:M]=[M:K]} 이다. M / K {\displaystyle M/K} 유한 확대 이며, K ( S p M ) ⊆ M {\displaystyle K(S_{p_{M}})\subseteq M} M = K ( S p M ) {\displaystyle M=K(S_{p_{M}})} K ⊆ M , M ′ ⊆ L {\displaystyle K\subseteq M,M'\subseteq L} p M = p M ′ {\displaystyle p_{M}=p_{M'}} M = K ( S p M ) = K ( S p M ′ ) = M ′ {\displaystyle M=K(S_{p_{M}})=K(S_{p_{M'}})=M'} M ↦ p M {\displaystyle M\mapsto p_{M}}
또한, 만약 L / K {\displaystyle L/K} 분해 가능 확대 라면, L / K {\displaystyle L/K} L / K {\displaystyle L/K} 분해 가능 확대 이며, M / L {\displaystyle M/L} M / K {\displaystyle M/K}
유한 분해 가능 확대의 대수적 단순 확대가 단순 확대라는 사실은 다음과 같이 증명할 수 있다. 만약 K {\displaystyle K} 유한체 라면, M {\displaystyle M} M × {\displaystyle M^{\times }} 순환군 이다. 순환군 M × {\displaystyle M^{\times }}
이제, K {\displaystyle K} 수학적 귀납법 에 따라, 임의의 체 K {\displaystyle K} K ( α ) / K {\displaystyle K(\alpha )/K} K ( α , β ) / K ( α ) {\displaystyle K(\alpha ,\beta )/K(\alpha )} K ( α , β ) / K {\displaystyle K(\alpha ,\beta )/K} γ = c α + β {\displaystyle \gamma =c\alpha +\beta } c ∈ K {\displaystyle c\in K}
c ∈ K {\displaystyle c\in K} γ = c α + β {\displaystyle \gamma =c\alpha +\beta } K ( γ ) ⊊ K ( α , β ) {\displaystyle K(\gamma )\subsetneq K(\alpha ,\beta )} 라고 하자. 그렇다면 α ∉ K ( γ ) {\displaystyle \alpha \not \in K(\gamma )} α ∈ K ( γ ) {\displaystyle \alpha \in K(\gamma )} β = γ − c α ∈ K ( γ ) {\displaystyle \beta =\gamma -c\alpha \in K(\gamma )} K ( γ ) = K ( α , β ) {\displaystyle K(\gamma )=K(\alpha ,\beta )} p , q ∈ K [ x ] {\displaystyle p,q\in K[x]} α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 최소 다항식 이라고 하자. 그렇다면, K ( α ) / K {\displaystyle K(\alpha )/K} p ( x ) {\displaystyle p(x)} α {\displaystyle \alpha }
p ( x ) , q ( γ − c x ) ∈ K ( γ ) [ x ] {\displaystyle p(x),q(\gamma -cx)\in K(\gamma )[x]} 의 공통의 근이다. 만약 α {\displaystyle \alpha } 최대 공약수 는 x − α {\displaystyle x-\alpha } 유클리드 호제법 에 따라,
x − α = u ( x ) p ( x ) + v ( x ) q ( γ − c x ) {\displaystyle x-\alpha =u(x)p(x)+v(x)q(\gamma -cx)} 인 u , v ∈ K ( γ ) [ x ] {\displaystyle u,v\in K(\gamma )[x]} α ∈ K ( γ ) {\displaystyle \alpha \in K(\gamma )}
p ( α ′ ) = 0 {\displaystyle p(\alpha ')=0} q ( γ − c α ′ ) = 0 {\displaystyle q(\gamma -c\alpha ')=0} 인 α ′ ≠ α {\displaystyle \alpha '\neq \alpha } 대수적 폐포 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}}
γ − c α ′ = β ′ {\displaystyle \gamma -c\alpha '=\beta '} 라고 하자. 그렇다면
c = ( β ′ − β ) / ( α − α ′ ) {\displaystyle c=(\beta '-\beta )/(\alpha -\alpha ')} 이며, α ′ {\displaystyle \alpha '} p {\displaystyle p} β ′ {\displaystyle \beta '} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} c {\displaystyle c}
C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} 이차 수체 Q ( d ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbb {Q} } d {\displaystyle {\sqrt {d}}}
Q ( 2 , 3 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} } 유한 확대 이며, 또한 표수 가 0이므로 분해 가능 확대 이다. 따라서, 원시 원소 정리에 따라서 이는 단순 확대이다.
구체적으로, α = 2 + 3 {\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}} { 1 , α , α 2 , α 3 } {\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3}\}} Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 선형 독립 이며, 이를 { 1 , 2 , 3 , 6 } {\displaystyle \{1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}\}} α {\displaystyle \alpha }
체 K {\displaystyle K} 유리 함수체 K ( x ) {\displaystyle K(x)}
F p ( x , y ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p}(x,y)}
F p ( x , y ) [ X , Y ] / ( X p − x , Y p − y ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)} 를 생각하자. 이는 차수 p 2 {\displaystyle p^{2}}
임의의 a ∈ F p ( x , y ) [ X , Y ] / ( X p − x , Y p − y ) {\displaystyle a\in \mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)} a p ∈ F p ( x , y ) {\displaystyle a^{p}\in \mathbb {F} _{p}(x,y)} p {\displaystyle p}
![{\displaystyle K(\alpha )\cong K[x]/(p(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3558c45d1582fe2f0057650bda9f0877458d808e)
![{\displaystyle [K(\alpha ):K]=\deg p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41274ebed27000961033905fecf4902a139ad44)
![{\displaystyle K[x]/(p(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df19a920fadf5995ff4b48dae4ba2f8e3333155)
![{\displaystyle p_{M}\in M[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c5e9c16555f27b01f1c9462d950ed8d58d2ad3)
![{\displaystyle p\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f209a0138930b769ca3c23906c6c4a33f547e78d)
![{\displaystyle p\in K(S_{p})[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d697790cc8df02e6819f7fb76f61390117b383c)
![{\displaystyle [L:K(S_{p_{M}})]=[K(S_{p_{M}})(\alpha ):K(S_{p_{M}})]=\deg p_{M}=[M(\alpha ):M]=[L:M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d4e931b52d82994adcd4f98e1c5ff75e96b601)
![{\displaystyle [K(S_{p_{M}}):K]=[L:K]/[L:K(S_{p_{M}})]=[L:K]/[L:M]=[M:K]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b870e4a90d0abac56e065d510bb5adbc58c36e15)
![{\displaystyle |{\operatorname {Gal} (M/K)}|=[M:K]<\aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcff4449ddbefde87ff37b68cb7e0a5d76c7826)
![{\displaystyle p,q\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c4182b10c1560098a6ca1a98ee5cdb47890e9f)
![{\displaystyle p(x),q(\gamma -cx)\in K(\gamma )[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9741d7ae37d9febbf6a671c172250c790fea297c)
![{\displaystyle u,v\in K(\gamma )[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77512762e9b4635ce236fa8580e69391b6e8163d)
![{\displaystyle \mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dacfaee89fc7d9ac03d69c7c9fb1780f198362bc)
![{\displaystyle a\in \mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf919cd6a745b3a30a84f4e8c69871a3726ad3d)
