Узагальнений розподіл Парето
Функція розподілу УРП для
μ = 0 {\displaystyle \mu =0} і різних значень
σ {\displaystyle \sigma } та
ξ {\displaystyle \xi } Функція розподілу ймовірностей
Параметри μ ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )\,} зсув (дійсний ) σ ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \sigma \in (0,\infty )\,} масштаб (дійсний)
ξ ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle \xi \in (-\infty ,\infty )\,} форми (дійсний) Носій функції x ⩾ μ ( ξ ⩾ 0 ) {\displaystyle x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)}
μ ⩽ x ⩽ μ − σ / ξ ( ξ < 0 ) {\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)} Розподіл імовірностей 1 σ ( 1 + ξ z ) − ( 1 / ξ + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}}
where z = x − μ σ {\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}} Функція розподілу ймовірностей (cdf) 1 − ( 1 + ξ z ) − 1 / ξ {\displaystyle 1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,} Середнє μ + σ 1 − ξ ( ξ < 1 ) {\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1)} Медіана μ + σ ( 2 ξ − 1 ) ξ {\displaystyle \mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}} Мода {\displaystyle } Дисперсія σ 2 ( 1 − ξ ) 2 ( 1 − 2 ξ ) ( ξ < 1 / 2 ) {\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1/2)} Коефіцієнт асиметрії 2 ( 1 + ξ ) 1 − 2 ξ ( 1 − 3 ξ ) ( ξ < 1 / 3 ) {\displaystyle {\frac {2(1+\xi ){\sqrt {1-2\xi }}}{(1-3\xi )}}\,\;(\xi <1/3)} Коефіцієнт ексцесу 3 ( 1 − 2 ξ ) ( 2 ξ 2 + ξ + 3 ) ( 1 − 3 ξ ) ( 1 − 4 ξ ) − 3 ( ξ < 1 / 4 ) {\displaystyle {\frac {3(1-2\xi )(2\xi ^{2}+\xi +3)}{(1-3\xi )(1-4\xi )}}-3\,\;(\xi <1/4)} Ентропія log ( σ ) + ξ + 1 {\displaystyle \log(\sigma )+\xi +1} Твірна функція моментів (mgf) e θ μ ∑ j = 0 ∞ [ ( θ σ ) j ∏ k = 0 j ( 1 − k ξ ) ] , ( k ξ < 1 ) {\displaystyle e^{\theta \mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(\theta \sigma )^{j}}{\prod _{k=0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)} Характеристична функція {{{char}}}
У статистиці , в узагальнений розподіл Парето (УРП, англ. Generalized Pareto distribution ) — це сімейство неперервних імовірнісних розподілів . Він часто використовується для моделювання хвостів інших розподілів. Він визначається трьома параметрами: параметром розташування μ {\displaystyle \mu } , масштабу σ {\displaystyle \sigma } і форми ξ {\displaystyle \xi } [1] [2] . Іноді він визначається тільки параметром масштабу і форми[3] , а іноді тільки параметром форми. Деякі джерела подають параметр форми у вигляді κ = − ξ {\displaystyle \kappa =-\xi \,} .[4]
Стандартна функція розподілу УРП записується[5]
F ξ ( z ) = { 1 − ( 1 + ξ z ) − 1 / ξ for ξ ≠ 0 , 1 − e − z for ξ = 0. {\displaystyle F_{\xi }(z)={\begin{cases}1-\left(1+\xi z\right)^{-1/\xi }&{\text{for }}\xi \neq 0,\\1-e^{-z}&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}} де носій z ≥ 0 {\displaystyle z\geq 0} при ξ ≥ 0 {\displaystyle \xi \geq 0} і 0 ≤ z ≤ − 1 / ξ {\displaystyle 0\leq z\leq -1/\xi } при ξ < 0 {\displaystyle \xi <0} .
f ξ ( z ) = { ( ξ z + 1 ) − ξ + 1 ξ for ξ ≠ 0 , e − z for ξ = 0. {\displaystyle f_{\xi }(z)={\begin{cases}(\xi z+1)^{-{\frac {\xi +1}{\xi }}}&{\text{for }}\xi \neq 0,\\e^{-z}&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}} Пов'язані місцевості-масштаб сімейство розподілів, отриманих шляхом заміни аргументу Z з допомогою x − μ σ {\displaystyle {\frac {x-\mu }{\sigma }}} і регулювання підтримки відповідно: кумулятивна функція розподілу це
F ( ξ , μ , σ ) ( x ) = { 1 − ( 1 + ξ ( x − μ ) σ ) − 1 / ξ for ξ ≠ 0 , 1 − exp ( − x − μ σ ) for ξ = 0. {\displaystyle F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{for }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}} для x ⩾ μ {\displaystyle x\geqslant \mu } коли ξ ⩾ 0 {\displaystyle \xi \geqslant 0\,} та μ ⩽ x ⩽ μ − σ / ξ {\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi } при ξ < 0 {\displaystyle \xi <0} , де μ ∈ R {\displaystyle \mu \in \mathbb {R} } , σ > 0 {\displaystyle \sigma >0} і ξ ∈ R {\displaystyle \xi \in \mathbb {R} } .
Функції щільності :
f ( ξ , μ , σ ) ( x ) = 1 σ ( 1 + ξ ( x − μ ) σ ) ( − 1 ξ − 1 ) {\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}} , або еквівалентно
f ( ξ , μ , σ ) ( x ) = σ 1 ξ ( σ + ξ ( x − μ ) ) 1 ξ + 1 {\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {\sigma ^{\frac {1}{\xi }}}{\left(\sigma +\xi (x-\mu )\right)^{{\frac {1}{\xi }}+1}}}} , знову, для x ⩾ μ {\displaystyle x\geqslant \mu } при ξ ⩾ 0 {\displaystyle \xi \geqslant 0} , і μ ⩽ x ⩽ μ − σ / ξ {\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi } при ξ < 0 {\displaystyle \xi <0} .
Функція щільності є розв'язком диференційного рівняння :
{ f ′ ( x ) ( − μ ξ + σ + ξ x ) + ( ξ + 1 ) f ( x ) = 0 , f ( 0 ) = ( 1 − μ ξ σ ) − 1 ξ − 1 σ } {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f'(x)(-\mu \xi +\sigma +\xi x)+(\xi +1)f(x)=0,\\f(0)={\frac {\left(1-{\frac {\mu \xi }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}}{\sigma }}\end{array}}\right\}} Якщо параметри форми ξ {\displaystyle \xi } і локалізації μ {\displaystyle \mu } обидва рівні нулю, УРП є експоненційним розподілом . Якщо параметр форми ξ > 0 {\displaystyle \xi >0} , а параметр розташування μ = σ / ξ {\displaystyle \mu =\sigma /\xi } , тоді УРП еквівалентний розподілу Парето з параметрами масштабу x m = σ / ξ {\displaystyle x_{m}=\sigma /\xi } і форми α = 1 / ξ {\displaystyle \alpha =1/\xi } . Якщо X {\displaystyle X} ∼ {\displaystyle \sim } G P D {\displaystyle GPD} ( {\displaystyle (} μ = 0 {\displaystyle \mu =0} , σ {\displaystyle \sigma } , ξ {\displaystyle \xi } ) {\displaystyle )} тоді Y = log ( X ) {\displaystyle Y=\log(X)} ∼ {\displaystyle \sim } e x G P D {\displaystyle exGPD} ( {\displaystyle (} μ = 0 {\displaystyle \mu =0} , σ {\displaystyle \sigma } , ξ {\displaystyle \xi } ) {\displaystyle )} , де exGPD є експоненційний узагальнений розподіл Парето . На відміну від УРП, exGPD має моменти всіх порядків, незалежно від його параметрів та інтерпретацій параметрів масштабу і форми, що робить оцінки параметрів більш ефективними. УРП дуже схожий на Картавий розподілу. Генерація узагальнено Парето розподілених випадкових величин [ ред. | ред. код ] Якщо U є рівномірно розподіленою на (0, 1], тоді
X = μ + σ ( U − ξ − 1 ) ξ ∼ GPD ( μ , σ , ξ ≠ 0 ) {\displaystyle X=\mu +{\frac {\sigma (U^{-\xi }-1)}{\xi }}\sim {\mbox{GPD}}(\mu ,\sigma ,\xi \neq 0)} і
X = μ − σ ln ( U ) ∼ GPD ( μ , σ , ξ = 0 ) . {\displaystyle X=\mu -\sigma \ln(U)\sim {\mbox{GPD}}(\mu ,\sigma ,\xi =0).} Обидві формули отримані шляхом інверсії СГО.
У статистичних пакеті MATLAB, легко можна згенерувати вибірку узагальнено Парето розподілених випадкових чисел використовуючи команду "gprnd".
УРП як експоненційно-гамма суміш розподілів [ ред. | ред. код ] В УРП випадкова величина може бути виражена у вигляді експоненційної випадкової величини з гамма-розподіленим параметром інтенсивности.
X | Λ ∼ E x p ( Λ ) {\displaystyle X|\Lambda \sim Exp(\Lambda )} і
Λ ∼ G a m m a ( α , β ) {\displaystyle \Lambda \sim Gamma(\alpha ,\beta )} тоді
X ∼ G P D ( ξ = 1 / α , σ = β / α ) {\displaystyle X\sim GPD(\xi =1/\alpha ,\ \sigma =\beta /\alpha )} Однак зауважимо, що оскільки параметри гамма розподілу має бути більшим нуля, ми отримаємо додаткові обмеження: ξ {\displaystyle \xi } має бути позитивним.
Розподіл задирок Розподіл Парето GAV розподіл Пикандса–Балкемы–теорема де Хаан ↑ Coles, Stuart (12 грудня 2001). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values . Springer. с. 75. ISBN 9781852334598 . (англ.) ↑ Dargahi-Noubary, G. R. (1989). On tail estimation: An improved method. Mathematical Geology . 21 (8): 829—842. doi :10.1007/BF00894450 . (англ.) ↑ Hosking, J. R. M.; Wallis, J. R. (1987). Parameter and Quantile Estimation for the Generalized Pareto Distribution . Technometrics . 29 (3): 339—349. doi :10.2307/1269343 . (англ.) ↑ Davison, A. C. (30 вересня 1984). Modelling Excesses over High Thresholds, with an Application. У de Oliveira, J. Tiago (ред.). Statistical Extremes and Applications . Kluwer. с. 462. ISBN 9789027718044 . ↑ Embrechts, Paul; Klüppelberg, Claudia; Mikosch, Thomas (1 січня 1997). Modelling extremal events for insurance and finance . с. 162. ISBN 9783540609315 . Додаткова література [ ред. | ред. код ] Pickands, James (1975). Statistical inference using extreme order statistics . Annals of Statistics . 3 : 119—131. doi :10.1214/aos/1176343003 . (англ.) Balkema, A.; De Haan, Laurens (1974). Residual life time at great age . Annals of Probability . 2 (5): 792—804. doi :10.1214/aop/1176996548 . (англ.) Lee, Se Yoon; Kim, J.H.K. (2018). Exponentiated generalized Pareto distribution:Properties and applications towards extreme value theory . Communications in Statistics - Theory and Methods . 0 : 1—25. doi :10.1080/03610926.2018.1441418 . (англ.) N. L. Johnson; S. Kotz; N. Balakrishnan (1994). Continuous Univariate Distributions Volume 1, second edition . New York: Wiley. ISBN 0-471-58495-9 . Chapter 20, Section 12: Generalized Pareto Distributions. (англ.) Barry C. Arnold (2011). Chapter 7: Pareto and Generalized Pareto Distributions. У Duangkamon Chotikapanich (ред.). Modeling Distributions and Lorenz Curves . New York: Springer. ISBN 9780387727967 . (англ.) Arnold, B. C.; Laguna, L. (1977). On generalized Pareto distributions with applications to income data . Ames, Iowa: Iowa State University, Department of Economics. (англ.) Дискретні одновимірні зі скінченним носієм Дискретні одновимірні з нескінченним носієм Неперервні одновимірні з носієм на обмеженому проміжку Неперервні одновимірні з носієм на напів-нескінченному проміжку Неперервні одновимірні з носієм на всій дійсній прямій Неперервні одновимірні з носієм змінного типу Змішані неперервно-дискретні одновимірні Багатовимірні (спільні) Напрямкові [en] Вироджені та сингулярні [en] Сімейства