Экспонента

Экспоне́нта — показательная функция ${\displaystyle f(x)=\exp(x)=e^{x}}$, где ${\displaystyle e\approx 2{,}718}$ — число Эйлера.

Определение[править | править код]

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:

${\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$

или через предел:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$.

Здесь ${\displaystyle x}$ — любое комплексное число.

Происхождение понятия[править | править код]

Слово экспонента происходит от лат. "exponere", что переводится как "выставить вперёд; показать", которое в свою очередь произошло от лат. приставки "ex-" ("впереди") и лат. слова "ponere" ("ставить, расположить");^[1] Смысл использования такого слова для показателя степени заключается в том, что знак экспоненты "ставят вне" привычной линии письма ${\displaystyle a^{x}}$(немного выше и правее места, где обычно должна быть поставлена цифра).

Свойства[править | править код]

• ${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}$, а в частности, экспонента — единственное решение дифференциального уравнения ${\displaystyle y'=y}$ с начальными данными ${\displaystyle y(0)=1}$. Кроме того, через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
• Экспонента определена на всей вещественной оси. На ней экспонента всюду возрастает и строго больше нуля.
• Экспонента — выпуклая функция.
• Обратная функция к ней — натуральный логарифм ${\displaystyle (\ln x)}$.
• Преобразование Фурье экспоненты — обобщённая функция, а именно дельта-функция Дирака.
• Преобразование Лапласа экспоненты ${\displaystyle e^{ax}}$ определено в области ${\displaystyle \operatorname {Re} (x)<a}$.
• Производная в нуле равна ${\displaystyle 1}$, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом ${\displaystyle 45^{\circ }}$ или ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$.
• Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:

  ${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$.

  • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна ${\displaystyle 0}$, либо имеет вид ${\displaystyle \exp(cx)}$, где ${\displaystyle c}$ — некоторая константа.

• ${\displaystyle e^{x}=\operatorname {sh} x+\operatorname {ch} x}$, где ${\displaystyle \operatorname {sh} }$ и ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ — гиперболические синус и косинус.
• В приложениях экспонента участвует в математическом описании таких процессов, в которых скорость изменения некоторого количества в каждый момент пропорциональна самому количеству. Например, при размножении микроорганизмов делением их число возрастает по экспоненте. Чем больше микроорганизмов становится, тем быстрее нарастает их биомасса (при отсутствии смертности).

Комплексная экспонента[править | править код]

Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$, где ${\displaystyle z}$ есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ вещественного переменного ${\displaystyle x}$:

Определим формальное выражение

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}}$.

Определённое таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции ${\displaystyle e^{z}}$, то есть показать, что ${\displaystyle e^{z}}$ разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

${\displaystyle f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$.

Сходимость данного ряда легко доказывается:

${\displaystyle \left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}}$.

Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$. Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция ${\displaystyle e^{z}}$ всюду определена и аналитична.

Свойства[править | править код]

• Комплексная экспонента — целая голоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в ноль.
• ${\displaystyle e^{z}}$ — периодическая функция с основным периодом 2πi: ${\displaystyle e^{i\varphi }=e^{i(\varphi +2\pi )}}$. В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой ${\displaystyle 2\pi }$.
• ${\displaystyle e^{z}}$ — единственная с точностью до постоянного множителя функция, производная (а соответственно, и первообразная) которой совпадает с исходной функцией.
• Алгебраически экспонента от комплексного аргумента ${\displaystyle z=x+iy}$ может быть определена следующим образом:

  ${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)}$ (формула Эйлера).

  • В частности, имеет место тождество Эйлера:

    ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

Вариации и обобщения[править | править код]

Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента[править | править код]

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

${\displaystyle \exp A=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}.}$

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора ${\displaystyle A}$ с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы ${\displaystyle A\colon }$ ${\displaystyle \exp \|A\|.}$ Следовательно, экспонента от матрицы ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax,~~~x\in \mathbb {R} ^{n}}$ с начальным условием ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ имеет своим решением ${\displaystyle x(t)=\exp(At)x_{0}.}$

h-экспонента[править | править код]

Введение ${\displaystyle h}$-экспоненты основано на втором замечательном пределе:

${\displaystyle e_{h}(x)=(1+h)^{\frac {x}{h}}.}$

При ${\displaystyle h\to 0}$ получается обычная экспонента^[2].

Обратная функция[править | править код]

Обратная функция к экспоненциальной функции — натуральный логарифм. Обозначается ${\displaystyle \ln x}$:

${\displaystyle \ln x=\log _{e}x.}$

См. также[править | править код]

• Показательная функция
• Список интегралов от экспоненциальных функций
• Экспоненциальный рост
• Двойная экспоненциальная функция

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Ссылки[править | править код]

• An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained (англ.)