У этого термина существуют и другие значения, см.
Производная .
Данная статья описывает производные вещественных функций. О производной комплексных функций см. Комплексный анализ . Иллюстрация понятия производной Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления , характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (при условии, что такой предел существует). Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием . Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование .
В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятие предела , однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Исторически производная вводилась кинематически (как скорость) или геометрически (определяясь по сути наклоном касательной, в разных конкретных формулировках). Ньютон называл производную флюксией , обозначая точкой над символом функции, школа Лейбница предпочитала в качестве базового понятия дифференциал [1] .
Русский термин в форме «производная функция» впервые употребил В. И. Висковатов , переведя на русский язык соответствующий французский термин dérivée , используемый французским математиком Лагранжем [2] .
Пусть в некоторой окрестности точки x 0 ∈ R {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} } определена функция f : U ( x 0 ) ⊂ R → R . {\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .} Производной функции называется такое число A {\displaystyle A} , что функцию в окрестности U ( x 0 ) {\displaystyle U(x_{0})} можно представить в виде
f ( x 0 + h ) = f ( x 0 ) + A h + o ( h ) , h → 0 {\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h),h\rightarrow 0} если A {\displaystyle A} существует.
Пусть в некоторой окрестности точки x 0 ∈ R {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} } определена функция f : U ( x 0 ) ⊂ R → R . {\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .} Производной функции f {\displaystyle f} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} называется предел , если он существует,
f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = lim Δ x → 0 Δ f ( x ) Δ x . {\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _{{\Delta x}\to 0}{\frac {\Delta {f(x)}}{\Delta x}}.} Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0 [ править | править код ] f ′ ( x 0 ) = f x ′ ( x 0 ) = D f ( x 0 ) = d f d x ( x 0 ) = d y d x | x = x 0 = y ˙ ( x 0 ) . {\displaystyle f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})=\mathrm {D} \!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{x=x_{0}}={\dot {y}}(x_{0}).} Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике и физике, исторически часто тоже).
Производные степенных функций Производные тригонометрических функций Производные обратных тригонометрических функций Производные гиперболических функций ( c o n s t ) ( n ) = 0 {\displaystyle \left(const\right)^{(n)}=0} ( sin x ) ( n ) = sin ( x + π n 2 ) {\displaystyle \left(\sin x\right)^{(n)}=\sin(x+{\dfrac {\pi n}{2}})} ( arcsin x ) ′ = 1 1 − x 2 {\displaystyle \left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} ( sinh x ) ′ = cosh x {\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x} ( x a ) ( n ) = a ! ( a − n ) ! x a − n {\displaystyle \left(x^{a}\right)^{(n)}={\dfrac {a!}{(a-n)!}}x^{a-n}} ( cos x ) ( n ) = cos ( x + π n 2 ) {\displaystyle \left(\cos x\right)^{(n)}=\cos(x+{\dfrac {\pi n}{2}})} ( arccos x ) ′ = − 1 1 − x 2 {\displaystyle \left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} ( cosh x ) ′ = sinh x {\textstyle (\cosh x)'=\sinh x} ( a x ) ( n ) = a x ln n a {\displaystyle \left(a^{x}\right)^{(n)}=a^{x}\ln ^{n}a} ( tg x ) ′ = sec 2 x {\displaystyle \left(\operatorname {tg} x\right)'=\sec ^{2}x} ( arctg x ) ′ = 1 1 + x 2 {\displaystyle \left(\operatorname {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2}}}} ( tanh x ) ′ = sch 2 x {\displaystyle (\tanh x)'=\operatorname {sch} ^{2}x} ( e x ) ( n ) = e x {\displaystyle \left(e^{x}\right)^{\left(n\right)}=e^{x}} ( ctg x ) ′ = − csc 2 x {\displaystyle \left(\operatorname {ctg} x\right)'=-\csc ^{2}x} ( arcctg x ) ′ = − 1 1 + x 2 {\displaystyle \left(\operatorname {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}} ( coth x ) ′ = − csch 2 x {\displaystyle (\coth x)'=-\operatorname {csch} ^{2}x} ( log a x ) ( n ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! x n ln a {\displaystyle \left(\log _{a}x\right)^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}\ln a}}} ( sec x ) ′ = sec x ⋅ t g x {\displaystyle \left(\operatorname {sec} x\right)'=\sec x\cdot \mathrm {tg} \ x} ( arcsec x ) ′ = 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle \left(\operatorname {arcsec} x\right)'={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} ( s c h x ) ′ = − sinh x cosh 2 x {\displaystyle (\mathrm {sch} \ x)'=-{\frac {\sinh x}{\cosh ^{2}x}}} ( ln x ) ( n ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! x n {\displaystyle (\ln {x})^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}}}} ( cosec x ) ′ = − c o s e c x ⋅ c t g x {\displaystyle \left(\operatorname {cosec} x\right)'=-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x} ( arccosec x ) ′ = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle \left(\operatorname {arccosec} x\right)'=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} ( c s c h x ) ′ = − cosh x sinh 2 x {\displaystyle (\mathrm {csch} \ x)'=-{\frac {\cosh x}{\sinh ^{2}x}}}
Производная f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} функции f {\displaystyle f} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f {\displaystyle f} является дифференцируемой в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
f ∈ D ( x 0 ) ⇔ ∃ f ′ ( x 0 ) ∈ ( − ∞ ; ∞ ) . {\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})\Leftrightarrow \exists f'(x_{0})\in (-\infty ;\infty ).} Для дифференцируемой в x 0 {\displaystyle x_{0}} функции f {\displaystyle f} в окрестности U ( x 0 ) {\displaystyle U(x_{0})} справедливо представление
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + o ( x − x 0 ) {\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})} при x → x 0 . {\displaystyle x\to x_{0}.} Назовём Δ x = x − x 0 {\displaystyle \Delta x=x-x_{0}} приращением аргумента функции, а Δ y = f ( x ) − f ( x 0 ) {\displaystyle \Delta y=f(x)-f(x_{0})} или Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) {\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})} приращением значения функции в точке x 0 . {\displaystyle x_{0}.} Тогда f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 Δ f Δ x . {\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}.} Пусть функция f : ( a , b ) → R {\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} } имеет конечную производную в каждой точке x 0 ∈ ( a , b ) . {\displaystyle x_{0}\in (a,b).} Тогда определена произво́дная фу́нкция f ′ : ( a , b ) → R . {\displaystyle f'\colon (a,b)\to \mathbb {R} .} Функция, имеющая производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно. Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f {\displaystyle f} называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: f ∈ C ( 1 ) ( ( a , b ) ) . {\displaystyle f\in C^{(1)}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.} Геометрический и физический смысл производной [ править | править код ] Тангенс угла наклона касательной прямой [ править | править код ] Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0 ) . В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x . Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5 ). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1 ). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0 . Если функция f : U ( x 0 ) → R {\displaystyle f\colon U(x_{0})\to \mathbb {R} } имеет конечную производную в точке x 0 , {\displaystyle x_{0},} то в окрестности U ( x 0 ) {\displaystyle U(x_{0})} её можно приблизить линейной функцией
f l ( x ) ≡ f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) . {\displaystyle f_{l}(x)\equiv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).} Функция f l {\displaystyle f_{l}} называется касательной к f {\displaystyle f} в точке x 0 . {\displaystyle x_{0}.} Число f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} является угловым коэффициентом (угловым коэффициентом касательной) или тангенсом угла наклона касательной прямой.
Тангенс можно рассматривать как масштабирующий коэффициент или коэффициент сравнения: насколько изменение единицы измерения ординаты больше изменения единицы измерения абсциссы. Если тангенс равен 1, то изменения единиц измерения равны.
Изначально тангенс является безразмерной величиной (длина противолежащего катета ∕ длина прилежащего катета, м ∕ м), но применительно к вычислению производной может иметь размерность, например, скорость тела есть путь ∕ время, т. е. м ∕ с.
Пусть s = s ( t ) {\displaystyle s=s(t)} — закон прямолинейного движения . Тогда v ( t 0 ) = s ′ ( t 0 ) {\displaystyle v(t_{0})=s'(t_{0})} выражает мгновенную скорость движения в момент времени t 0 {\displaystyle t_{0}} . Новая функция s ′ ( t ) {\displaystyle s'(t)} также имеет производную. Эта т. н. вторая производная, обозначается как s ″ ( t ) {\displaystyle s''(t)} , а функция a ( t 0 ) = s ″ ( t 0 ) {\displaystyle a(t_{0})=s''(t_{0})} выражает мгновенное ускорение в момент времени t 0 . {\displaystyle t_{0}.}
Вообще производная функции y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} выражает скорость изменения функции в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} , то есть скорость протекания процесса , описанного зависимостью y = f ( x ) . {\displaystyle y=f(x).}
При описании процессов и в теории управления производную рассматривают как реакцию процесса (функции) на управляющий этим процессом параметр (независимое переменное); насколько интенсивно реагирует процесс на управляющий сигнал (насколько он чувствителен к нему); какое изменение процесса вызывает небольшое изменение управляющего воздействия.
В геометрических задачах производная рассматривается как изменение высоты криволинейной трапеции на малом участке ее основания (криволинейную трапецию можно рассматривать как прямоугольник с переменной высотой); изменение радиуса фигуры вращения на малом участке ее оси вращения (фигура вращения рассматривается как цилиндр с переменным радиусом) и т. п.
Анимация, дающая первоначальное интуитивное представление о производной, как о «размахе» изменения функции при изменении аргумента (нажмите для воспроизведения). Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно . Полагаем
f ( 0 ) ( x 0 ) ≡ f ( x 0 ) . {\displaystyle f^{(0)}(x_{0})\equiv f(x_{0}).} Если функция f {\displaystyle f} дифференцируема в x 0 {\displaystyle x_{0}} , то производная первого порядка определяется соотношением
f ( 1 ) ( x 0 ) ≡ f ′ ( x 0 ) . {\displaystyle f^{(1)}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).} Пусть теперь производная n {\displaystyle n} -го порядка f ( n ) {\displaystyle f^{(n)}} определена в некоторой окрестности точки x 0 {\displaystyle x_{0}} и дифференцируема. Тогда
f ( n + 1 ) ( x 0 ) = ( f ( n ) ) ′ ( x 0 ) . {\displaystyle f^{(n+1)}(x_{0})=\left(f^{(n)}\right)'(x_{0}).} В частности, вторая производная является производной от производной:
f ″ ( x 0 ) = ( f ′ ( x ) ) ′ | x = x 0 {\displaystyle f''(x_{0})=(f'(x))'|_{x=x_{0}}} . Если функция u = f ( x , y , z ) {\displaystyle u=f(x,y,z)} имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от x , y , z , {\displaystyle x,y,z,} может иметь в некоторой точке ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции u = f ( x , y , z ) {\displaystyle u=f(x,y,z)} эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).
u x 2 ″ = f x 2 ″ ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})} или ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ 2 f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x^{2}}}} u x y ″ = f x y ″ ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})} или ∂ 2 u ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x\partial y}}} Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной . Например,
u x y ″ = f x y ″ ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})} Класс функций, у которых производная n {\displaystyle n} -порядка является непрерывной, обозначается как C ( n ) {\displaystyle C^{(n)}} .
В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:
Лагранжа f ( n ) ( x 0 ) {\displaystyle f^{(n)}(x_{0})} , при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры : f ( 1 ) ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) = f I ( x 0 ) , {\displaystyle f^{(1)}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),} f ( 2 ) ( x 0 ) = f ″ ( x 0 ) = f I I ( x 0 ) , {\displaystyle f^{(2)}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{II}(x_{0}),} f ( 3 ) ( x 0 ) = f ‴ ( x 0 ) = f I I I ( x 0 ) , {\displaystyle f^{(3)}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{III}(x_{0}),} f ( 4 ) ( x 0 ) = f I V ( x 0 ) , {\displaystyle f^{(4)}(x_{0})=f^{IV}(x_{0}),} и т. д. Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.
Лейбница , удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если x {\displaystyle x} — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка): d n f d x n ( x 0 ) {\displaystyle {\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})} Ньютона , которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например: x ˙ ( t 0 ) {\displaystyle {\dot {x}}(t_{0})} — производная первого порядка x {\displaystyle x} по t {\displaystyle t} при t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} , или f ¨ ( x 0 ) {\displaystyle {\ddot {f}}(x_{0})} — вторая производная f {\displaystyle f} по x {\displaystyle x} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} и т. д. D n f ( x 0 ) {\displaystyle \mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})} , или иногда ∂ n f ( x 0 ) {\displaystyle \partial ^{n}\!f(x_{0})} . В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение f x {\displaystyle f_{x}} , f x x {\displaystyle f_{xx}} ; для значения производной в точке — f x | x = x 0 {\displaystyle f_{x}\vert _{x=x_{0}}} . Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста. Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:
f ( n ) ( x 0 ) = d n f d x n ( x 0 ) = f ⋅ ⋅ … ⋅ ⏞ n раз ( x 0 ) = D n f ( x 0 ) = f x x … x ⏟ n раз | x = x 0 . {\displaystyle f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})={\overset {\overbrace {\cdot \cdot \ldots \cdot } ^{n\ {\text{раз}}}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})=f{\underbrace {_{xx\ldots x}} _{n\ {\text{раз}}}}\vert _{x=x_{0}}.} Пусть f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} . Тогда f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 x 2 − x 0 2 x − x 0 = lim x → x 0 ( x − x 0 ) ( x + x 0 ) x − x 0 = lim x → x 0 ( x + x 0 ) = 2 x 0 . {\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}(x+x_{0})=2x_{0}.} Пусть f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=|x|} . Тогда если x 0 ≠ 0 , {\displaystyle x_{0}\neq 0,} то f ′ ( x 0 ) = sgn x 0 , {\displaystyle f'(x_{0})=\operatorname {sgn} x_{0},} где sgn {\displaystyle \operatorname {sgn} } обозначает функцию знака . А если x 0 = 0 , {\displaystyle x_{0}=0,} то f + ′ ( x 0 ) = 1 , f − ′ ( x 0 ) = − 1 , {\displaystyle f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,} а следовательно f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} не существует.
Теоремы, связанные с дифференцированием [ править | править код ] Для непрерывных функций f , g {\displaystyle f,g} на отрезке [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , дифференцируемых на интервале ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} справедливы:
Лемма Ферма . Если f {\displaystyle f} принимает максимальное или минимальное значение в точке c {\displaystyle c} и существует f ′ ( c ) {\displaystyle f'(c)} , то f ′ ( c ) = 0 {\displaystyle f'(c)=0} .
Теорема о нуле производной . Если f {\displaystyle f} принимает на концах отрезка [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} одинаковые значения, то на интервале ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
Формула конечных приращений . Для f {\displaystyle f} найдётся точка c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} , такая что f ( b ) − f ( a ) b − a = f ′ ( c ) {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)} .
Теорема Коши о среднем значении . Если g ′ {\displaystyle g'} не равна нулю на интервале ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , то найдётся такая точка c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} , что f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( c ) g ′ ( c ) {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}} .
Правило Лопиталя . Если lim x → c f ( x ) = lim x → c g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0} или ∞ {\displaystyle \infty } , причём g ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g'(x)\neq 0} для всякого x {\displaystyle x} из некоторой проколотой окрестности c {\displaystyle c} и существует lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} , то lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} .
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C {\displaystyle C} — постоянное число и f = f ( x ) , g = g ( x ) {\displaystyle f=f(x),g=g(x)} — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
C ′ = 0 {\displaystyle C'=0} x ′ = 1 {\displaystyle x'=1} ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ {\displaystyle \left(f+g\right)'=f'+g'} [3] y ( x ) = f ( x ) + g ( x ) {\displaystyle y(x)=f(x)+g(x)}
y ′ ( x ) = lim Δ x → 0 y ( x + Δ x ) − y ( x ) Δ x = {\displaystyle y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta {x})-y(x)}{\Delta x}}=}
= lim Δ x → 0 ( f ( x + Δ x ) + g ( x + Δ x ) ) − ( f ( x ) + g ( x ) ) Δ x = {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x+\Delta {x})+g(x+\Delta {x}))-(f(x)+g(x))}{\Delta x}}=}
= lim Δ x → 0 ( f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x + g ( x + Δ x ) − g ( x ) Δ x ) = {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}})}=}
= lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x + lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) − g ( x ) Δ x = {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}=}
= f ′ ( x ) + g ′ ( x ) {\displaystyle =f'(x)+g'(x)} ■
( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle \left(fg\right)'=f'g+fg'} [4] y ( x ) = f ( x ) g ( x ) {\displaystyle y(x)=f(x)g(x)}
Δ f ( x ) = f ( x + Δ x ) − f ( x ) {\displaystyle \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)}
Δ g ( x ) = g ( x + Δ x ) − g ( x ) {\displaystyle \Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)}
y ′ ( x ) = lim Δ x → 0 y ( x + Δ x ) − y ( x ) Δ x = {\displaystyle y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}}=}
= lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x ) Δ x = {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=}
= lim Δ x → 0 ( f ( x ) + Δ f ( x ) ) ( g ( x ) + Δ g ( x ) ) − f ( x ) g ( x ) Δ x = {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x))-f(x)g(x)}{\Delta x}}=}
= lim Δ x → 0 f ( x ) g ( x ) + f ( x ) Δ g ( x ) + Δ f ( x ) g ( x ) + Δ f ( x ) Δ g ( x ) − f ( x ) g ( x ) Δ x = {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+f(x)\Delta g(x)+\Delta f(x)g(x)+\Delta f(x)\Delta g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=}
= lim Δ x → 0 ( f ( x ) Δ g ( x ) Δ x + g ( x ) Δ f ( x ) Δ x + Δ g ( x ) Δ f ( x ) Δ x ) = {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}(f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x}}+g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}+\Delta g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}})=}
= f ( x ) g ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) + 0 f ′ ( x ) = {\displaystyle =f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+0f'(x)=}
= f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)} ■
( C f ) ′ = C f ′ {\displaystyle \left(Cf\right)'=Cf'} ( f g ) ′ = f ′ g − f g ′ g 2 {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}} …(g ≠ 0) y ( x ) = f ( x ) g ( x ) {\displaystyle y(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}}
Δ f ( x ) = f ( x + Δ x ) − f ( x ) {\displaystyle \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)}
Δ g ( x ) = g ( x + Δ x ) − g ( x ) {\displaystyle \Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)}
y ′ ( x ) = lim Δ x → 0 y ( x + Δ x ) − y ( x ) Δ x = {\displaystyle y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}}=}
= lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x ) Δ x = {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{\Delta x}}=}
= lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + Δ x ) g ( x + Δ x ) g ( x ) Δ x = {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)g(x)\Delta x}}=}
= 1 g 2 ( x ) lim Δ x → 0 ( f ( x ) + Δ f ( x ) ) g ( x ) − f ( x ) ( g ( x ) + Δ g ( x ) ) Δ x = {\displaystyle ={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))g(x)-f(x)(g(x)+\Delta g(x))}{\Delta x}}=}
= 1 g 2 ( x ) lim Δ x → 0 f ( x ) g ( x ) + Δ f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x ) − f ( x ) Δ g ( x ) Δ x = {\displaystyle ={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+\Delta f(x)g(x)-f(x)g(x)-f(x)\Delta g(x)}{\Delta x}}=}
= 1 g 2 ( x ) lim Δ x → 0 ( g ( x ) Δ f ( x ) Δ x − f ( x ) Δ g ( x ) Δ x ) = {\displaystyle ={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{(g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}-f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x}})}=}
= 1 g 2 ( x ) ( g ( x ) f ′ ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) ) = {\displaystyle ={\frac {1}{g^{2}(x)}}(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))=}
= f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g 2 ( x ) {\displaystyle ={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}} ■
( C g ) ′ = − C g ′ g 2 {\displaystyle \left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}} (g ≠ 0) Если функция задана параметрически: { x = x ( t ) , y = y ( t ) , t ∈ [ T 1 ; T 2 ] {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2}\right]\right.} , то y x ′ = d y d x = d y d t ⋅ d t d x = y t ′ ⋅ t x ′ = y t ′ x t ′ {\displaystyle y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t'_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}}
d d x f ( g ( x ) ) = d f ( g ) d g ⋅ d g ( x ) d x = f g ′ g x ′ {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_{g}g'_{x}} Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница ): ( f g ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k f ( n − k ) g ( k ) , {\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},} где C n k {\displaystyle C_{n}^{k}} — биномиальные коэффициенты . Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:
если функция дифференцируема на интервале ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , то она непрерывна на интервале ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} . Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция y ( x ) = | x | {\displaystyle y(x)=|x|} на [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ); если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном x {\displaystyle x} , то f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} (это так называемая лемма Ферма ); производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные. ( f ( x ) g ( x ) ) ′ = f ( x ) g ( x ) ( g ′ ( x ) ln f ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) f ( x ) ) ( ∀ x ∈ D f : f ( x ) > 0 ) {\displaystyle (f(x)^{g(x)})'=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)} y = f ( x ) g ( x ) {\displaystyle y=f(x)^{g(x)}}
ln y = g ( x ) ln f ( x ) {\displaystyle \ln y=g(x)\ln f(x)}
y ′ y = g ′ ( x ) ln f ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) f ( x ) {\displaystyle {\frac {y'}{y}}=g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}}
y ′ = y ( g ′ ( x ) ln f ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) f ( x ) ) {\displaystyle y'=y\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right)}
y ′ = f ( x ) g ( x ) ( g ′ ( x ) ln f ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) f ( x ) ) {\displaystyle y'=f(x)^{g(x)}(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}})} ■
Таблица производных некоторых функций [ править | править код ] Функция f ( x ) {\displaystyle f(x)} Производная f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} Примечание x α {\displaystyle x^{\alpha }} α ⋅ x α − 1 {\displaystyle \alpha \cdot x^{\alpha -1}} Фиксируем x ∈ D ( f ) {\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)} , придадим приращение аргументу Δ x {\displaystyle \Delta x} . Вычислим приращение функции: Δ y = ( x + Δ x ) α − x α = x α ( ( 1 + Δ x x ) α − 1 ) {\displaystyle \Delta y=(x+\Delta x)^{\alpha }-x^{\alpha }=x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\alpha }-1)} , т.о ( x α ) ′ = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 x α ( ( 1 + Δ x x ) α − 1 ) Δ x = {\displaystyle (x^{\alpha })'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\alpha }-1)}{\Delta x}}=} См. = lim Δ x → 0 α ⋅ x α ⋅ Δ x x Δ x = α ⋅ x α − 1 {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\alpha \cdot x^{\alpha }\cdot {\frac {\Delta x}{x}}}{\Delta x}}=\alpha \cdot x^{\alpha -1}} a x {\displaystyle a^{x}} a x ⋅ ln a {\displaystyle a^{x}\cdot \ln {a}} Фиксируем x ∈ D ( f ) {\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)} , придадим приращение аргументу Δ x {\displaystyle \Delta x} . Вычислим приращение функции: Δ y = a x + Δ x − a x = a x ( a Δ x − 1 ) {\displaystyle \Delta y=a^{x+\Delta x}-a^{x}=a^{x}(a^{\Delta x}-1)} , т.о ( a x ) ′ = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 a x ( a Δ x − 1 ) Δ x = {\displaystyle (a^{x})'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x}(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}=} См. = lim Δ x → 0 a x ⋅ Δ x ⋅ ln a Δ x = a x ⋅ ln a {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x}\cdot \Delta x\cdot \ln {a}}{\Delta x}}=a^{x}\cdot \ln {a}} log a x {\displaystyle \log _{a}{x}} 1 x ⋅ ln a {\displaystyle {\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}} ( log a x ) ′ = 1 ln a ⋅ ( ln x ) ′ {\displaystyle (\log _{a}x)'={\frac {1}{\ln {a}}}\cdot (\ln {x})'}
Узнаем производную ln x {\displaystyle \ln {x}} через производную обратной функции :
y x = ln x ⇒ x y = e y , {\displaystyle y_{x}=\ln {x}\Rightarrow x_{y}=e^{y},}
y x ′ = ( ln x ) ′ = 1 ( e y ) ′ = 1 e y = 1 x {\displaystyle y_{x}'=(\ln {x})'={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}}
Получаем:
( log a x ) ′ = 1 x ⋅ ln a {\displaystyle (\log _{a}{x})'={\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}}
sin x {\displaystyle \sin x} cos x {\displaystyle \cos x} Фиксируем x ∈ D ( f ) {\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)} , придадим приращение аргументу Δ x {\displaystyle \Delta x} . Вычислим приращение функции: Δ y = s i n ( x + Δ x ) − s i n ( x ) = 2 s i n ( x + Δ x − x 2 ) ⋅ c o s ( x + Δ + x 2 ) = 2 s i n ( Δ x 2 ) ⋅ c o s ( x + Δ x 2 ) {\displaystyle \Delta y=sin(x+\Delta x)-sin(x)=2sin({\frac {x+\Delta x-x}{2}})\cdot cos({\frac {x+\Delta +x}{2}})=2sin({\frac {\Delta x}{2}})\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})} , т.о lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 2 s i n ( Δ x 2 ) ⋅ c o s ( x + Δ x 2 ) Δ x = lim Δ x → 0 s i n ( Δ x 2 ) ⋅ c o s ( x + Δ x 2 ) Δ x 2 = lim Δ x → 0 s i n ( Δ x 2 ) Δ x 2 {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2sin({\frac {\Delta x}{2}})\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2}})\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}} ( См. ) ⋅ lim Δ x → 0 c o s ( x + Δ x 2 ) = c o s ( x ) {\displaystyle \cdot \lim _{\Delta x\to 0}{cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}=cos(x)} cos x {\displaystyle \cos x} − sin x {\displaystyle -\sin x} Фиксируем x ∈ D ( f ) {\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)} , придадим приращение аргументу Δ x {\displaystyle \Delta x} . Вычислим приращение функции: Δ y = c o s ( x + Δ x ) − c o s ( x ) = − 2 s i n ( x + Δ x + x 2 ) ⋅ s i n ( x + Δ − x 2 ) = − 2 s i n ( x + Δ x 2 ) ⋅ s i n ( Δ x 2 ) {\displaystyle \Delta y=cos(x+\Delta x)-cos(x)=-2sin({\frac {x+\Delta x+x}{2}})\cdot sin({\frac {x+\Delta -x}{2}})=-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})\cdot sin({\frac {\Delta x}{2}})} , т.о lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ → 0 − 2 s i n ( x + Δ x 2 ) ⋅ s i n ( Δ x 2 ) Δ x = lim Δ → 0 − s i n ( x + Δ x 2 ) ⋅ s i n ( Δ x 2 ) Δ x 2 = lim Δ x → 0 s i n ( Δ x 2 ) Δ x 2 {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})\cdot sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {-sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})\cdot sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}} ( См. ) ⋅ lim Δ x → 0 − s i n ( x + Δ x 2 ) = − s i n ( x ) {\displaystyle \cdot \lim _{\Delta x\to 0}{-sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})}=-sin(x)} t g x {\displaystyle \mathrm {tg} \ x} 1 cos 2 x {\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}} Фиксируем x ∈ D ( f ) {\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)} , придадим приращение аргументу Δ x {\displaystyle \Delta x} . Вычислим приращение функции: Δ y = t g ( x + Δ x ) − t g ( x ) = s i n ( x + Δ x − x ) c o s ( x + Δ x ) ⋅ c o s ( x ) = s i n ( Δ x ) c o s ( x + Δ x ) ⋅ c o s ( x ) {\displaystyle \Delta y=tg(x+\Delta x)-tg(x)={\frac {sin(x+\Delta x-x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}={\frac {sin(\Delta x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}} , т.о. lim x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 s i n ( Δ x ) c o s ( x + Δ x ) ⋅ c o s ( x ) Δ x = lim Δ x → 0 s i n ( Δ x ) Δ x ⋅ {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\frac {sin(\Delta x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin(\Delta x)}{\Delta x}}\cdot } ( См. ) lim Δ x → 0 1 c o s ( x + Δ x ) ⋅ c o s ( x ) = 1 c o s 2 ( x ) {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}={\frac {1}{cos^{2}(x)}}} ( t g x ) ′ = ( s i n ( x ) c o s ( x ) ) ′ = ( s i n ( x ) ) ′ ⋅ c o s ( x ) − s i n ( x ) ⋅ ( c o s ( x ) ) ′ c o s 2 ( x ) = c o s ( x ) ⋅ c o s ( x ) − s i n ( x ) ⋅ ( − s i n ( x ) ) c o s 2 ( x ) = c o s 2 ( x ) + s i n 2 ( x ) c o s 2 ( x ) = 1 c o s 2 ( x ) {\displaystyle (tgx)'=({\frac {sin(x)}{cos(x)}})'={\frac {(sin(x))'\cdot cos(x)-sin(x)\cdot (cos(x))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {cos(x)\cdot cos(x)-sin(x)\cdot (-sin(x))}{cos^{2}(x)}}={\frac {cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}}={\frac {1}{cos^{2}(x)}}}
c t g x {\displaystyle \mathrm {ctg} \ x} − 1 sin 2 x {\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}} ( c t g x ) ′ = ( c o s ( x ) s i n ( x ) ) ′ = ( c o s ( x ) ) ′ ⋅ s i n ( x ) − c o s ( x ) ⋅ ( s i n ( x ) ) ′ s i n 2 ( x ) = − s i n ( x ) ⋅ s i n ( x ) + c o s ( x ) ⋅ c o s ( x ) s i n 2 ( x ) = − s i n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) s i n 2 ( x ) = − 1 s i n 2 ( x ) {\displaystyle (ctgx)'=({\frac {cos(x)}{sin(x)}})'={\frac {(cos(x))'\cdot sin(x)-cos(x)\cdot (sin(x))'}{sin^{2}(x)}}={\frac {-sin(x)\cdot sin(x)+cos(x)\cdot cos(x)}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {sin^{2}(x)+cos^{2}(x)}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {1}{sin^{2}(x)}}}
s e c x {\displaystyle \mathrm {sec} \ x} s e c x ⋅ t g x {\displaystyle \mathrm {sec} \ x\cdot \mathrm {tg} \ x} ( s e c ( x ) ) ′ = ( 1 c o s ( x ) ) ′ = ( 1 ) ′ ⋅ c o s ( x ) − 1 ⋅ ( c o s ( x ) ) ′ c o s 2 ( x ) = s i n ( x ) c o s 2 ( x ) = s e c ( x ) ⋅ t g ( x ) {\displaystyle (sec(x))'=({\frac {1}{cos(x)}})'={\frac {(1)'\cdot cos(x)-1\cdot (cos(x))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {sin(x)}{cos^{2}(x)}}=sec(x)\cdot tg(x)}
c o s e c x {\displaystyle \mathrm {cosec} \ x} − c o s e c x ⋅ c t g x {\displaystyle -\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x} ( c o s e c ( x ) ) ′ = ( 1 s i n ( x ) ) ′ = ( 1 ) ′ ⋅ s i n ( x ) − 1 ⋅ ( s i n ( x ) ) ′ s i n 2 ( x ) = − c o s ( x ) s i n 2 ( x ) = − c o s e s ( x ) ⋅ c t g ( x ) {\displaystyle (cosec(x))'=({\frac {1}{sin(x)}})'={\frac {(1)'\cdot sin(x)-1\cdot (sin(x))'}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {cos(x)}{sin^{2}(x)}}=-coses(x)\cdot ctg(x)}
arcsin x {\displaystyle \arcsin {x}} 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} arccos x {\displaystyle \arccos {x}} − 1 1 − x 2 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} a r c t g x {\displaystyle \mathrm {arctg} \ x} 1 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}} a r c c t g x {\displaystyle \mathrm {arcctg} \ x} − 1 1 + x 2 {\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}} a r c s e c x {\displaystyle \mathrm {arcsec} \ x} 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} Найти производную арксеканса можно при помощи тождества:
a r c s e c ( x ) = a r c c o s ( 1 x ) {\displaystyle arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x}})}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
( a r c s e c ( x ) ) ′ = ( a r c c o s ( 1 x ) ) ′ {\displaystyle (arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x}}))'}
( a r c s e c ( x ) ) ′ = − 1 1 − 1 x 2 ⋅ ( − 1 x 2 ) {\displaystyle (arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}\cdot (-{\frac {1}{x^{2}}})}
( a r c s e c ( x ) ) ′ = 1 x 2 x 2 − 1 x 2 {\displaystyle (arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}}
( a r c s e c ( x ) ) ′ = 1 x 2 x 2 − 1 | x | {\displaystyle (arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}}}
Получается.
( a r c s e c ( x ) ) ′ = 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle (arcsec(x))'={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
a r c c o s e c x {\displaystyle \mathrm {arccosec} \ x} − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle -{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} s h x {\displaystyle \mathrm {sh} \ x} c h x {\displaystyle \mathrm {ch} \ x} ( sh x ) ′ = ( e x − e − x 2 ) ′ = 1 2 ⋅ ( e x − e − x ) ′ = 1 2 ⋅ ( e x − ( − 1 ) ⋅ e − x ) = e x + e − x 2 = ch x {\displaystyle (\operatorname {sh} {x})'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-(-1)\cdot e^{-x})={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\operatorname {ch} {x}}
c h x {\displaystyle \mathrm {ch} \ x} s h x {\displaystyle \mathrm {sh} \ x} ( ch x ) ′ = ( e x + e − x 2 ) ′ = 1 2 ⋅ ( e x + e − x ) ′ = 1 2 ⋅ ( e x + ( − 1 ) ⋅ e − x ) = ( e x − e − x 2 ) = sh x {\displaystyle (\operatorname {ch} {x})'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+(-1)\cdot e^{-x})=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)=\operatorname {sh} {x}}
t h x {\displaystyle \mathrm {th} \ x} 1 c h 2 x {\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x}}} ( t h ( x ) ) ′ = ( s h ( x ) c h ( x ) ) ′ = ( s h ( x ) ) ′ ⋅ c h ( x ) − s h ( x ) ⋅ ( c h ( x ) ) ′ c h 2 ( x ) = c h ( x ) ⋅ c h ( x ) − s h ( x ) ⋅ s h ( x ) c h 2 ( x ) = c h 2 ( x ) − s h 2 ( x ) c h 2 ( x )