Преобразование Фурье

Преобразование Фурье
Краткое имя/название	FT
Названо в честь	Жан-Батист Жозеф Фурье
Определяющая формула	${\displaystyle \left({\mathcal {F}}f\right)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}f(t)\mathrm {d} t}$[1]
Обозначение в формуле	${\displaystyle {\mathcal {F}}f}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle \mathrm {e} }$
Обратно к	обратное преобразование Фурье[d]
Медиафайлы на Викискладе

Преобразование Фурье́ (символ ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую (вообще говоря, комплекснозначную) функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Определение[править | править код]

Преобразование Фурье функции ${\displaystyle f}$ вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\omega }\,dx.}$

Разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведённого выше выбором множителя перед интегралом (так называемого нормировочного множителя, который относится к вопросу о нормировке преобразования Фурье), а также знака «−» в показателе экспоненты. Но вне зависимости от таких вариаций все свойства будут сохранять свою силу, хотя вид некоторых формул может измениться.

Общая формула всех вариантов определения преобразования Фурье с параметрами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ выглядит как

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1-a}}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ibx\omega }\,dx.}$

Обратное преобразование определяется так

${\displaystyle f(x)={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1+a}}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{ib\omega x}\,d\omega .}$

При выборе ${\displaystyle a=0}$ и ${\displaystyle b=2\pi }$ или ${\displaystyle b=-2\pi }$ формулы становятся особенно просты, в них исчезают нормировочные множители и формулы различаются только знаком степени, вследствие чего большинство нижеприведённых формул упрощается на постоянные константы.

Кроме того, существуют разнообразные обобщения данного понятия (см. ниже).

Свойства[править | править код]

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса ${\displaystyle L_{1}(\mathbb {R} )}$, преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

• Преобразование Фурье является линейным оператором:

${\displaystyle {\widehat {(\alpha f+\beta g)}}=\alpha {\hat {f}}+\beta {\hat {g}}.}$

• Справедливо равенство Парсеваля: если ${\displaystyle f\in L_{1}(\mathbb {R} )\cap L_{2}(\mathbb {R} )}$, то преобразование Фурье сохраняет ${\displaystyle L_{2}}$-норму:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{{\hat {f}}(w)}|^{2}\,d\omega .}$

Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} )}$. Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех ${\displaystyle f\in L_{2}(\mathbb {R} )}$.

• Формула обращения:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{ix\omega }\,d\omega }$

справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция ${\displaystyle f}$ является достаточно гладкой. Если ${\displaystyle f\in L_{2}(\mathbb {R} )}$, то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний ${\displaystyle e^{i\omega x}}$ с частотами ${\displaystyle \omega }$, амплитудами ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}|{\hat {f}}(\omega )|}$ и фазовыми сдвигами ${\displaystyle \arg {\hat {f}}(\omega )}$ соответственно.

• Теорема о свёртке: если ${\displaystyle f,\;g\in L_{1}(\mathbb {R} )}$, тогда

${\displaystyle {\widehat {(f\ast g)}}={\sqrt {2\pi }}{\widehat {f}}{\widehat {g}}}$, где

${\displaystyle (f\ast g)(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t-s)g(s)\,ds.}$

Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и дифференцирование. Если ${\displaystyle f,\;f'\in L_{1}(\mathbb {R} )}$, то

${\displaystyle {\widehat {(f')}}=i\omega {\widehat {f}}.}$

Из этой формулы легко выводится формула для ${\displaystyle n}$-й производной:

${\displaystyle {\widehat {(f^{(n)})}}=(i\omega )^{n}{\widehat {f}}.}$

Формулы верны и в случае обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и сдвиг.

${\displaystyle {\widehat {f(x-x_{0})}}=e^{-i\omega x_{0}}{\hat {f}}(\omega ).}$

Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функцией ${\displaystyle \delta (x-x_{0})}$, а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.

• Преобразование Фурье и растяжение.

${\displaystyle {\widehat {f(ax)}}=|a|^{-1}{\hat {f}}(\omega /a).}$

• Формула суммирования Пуассона:

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(n)}$

• Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):

${\displaystyle S(\mathbb {R} ):=\left\{\varphi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ):\forall n,\;m\in \mathbb {N} \;x^{n}\varphi ^{(m)}(x){\xrightarrow {x\to \infty }}0\right\}.}$

Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство ${\displaystyle S^{*}(\mathbb {R} )}$. Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции ${\displaystyle f\in S^{*}(\mathbb {R} )}$ её преобразованием Фурье называется обобщённая функция ${\displaystyle {\hat {f}}\in S^{*}(\mathbb {R} )}$, действующая на основные функции по правилу

${\displaystyle \langle {\hat {f}},\;\varphi \rangle =\langle f,\;{\hat {\varphi }}\rangle .}$

Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции:

${\displaystyle \langle {\hat {\delta }},\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hat {\varphi }}\rangle =\left\langle \delta ,\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\cdot 1\,dx=\left\langle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\;\varphi \right\rangle .}$

Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$.

Принцип неопределённости[править | править код]

Вообще говоря, чем больше концентрация f(x), тем более размазанным должно быть её преобразование Фурье f̂(ω). В частности, свойство масштабирования преобразования Фурье можно представить так: если сжать функцию в x раз, то её преобразование Фурье растягивается в ω раз. Невозможно произвольно сконцентрировать как функцию, так и её преобразование Фурье.

Компромисс между уплотнением функции и её преобразованием Фурье можно формализовать в виде принципа неопределённости, рассматривая функцию и её преобразование Фурье как сопряжённые переменные относительно симплектической формы на время-частоту: c точки зрения линейного канонического преобразования, преобразование Фурье является поворотом на 90° во временно-частотной области и сохраняет симплектическую форму.

Предположим, что f(x) — интегрируемая и квадратично-интегрируемая функция. Тогда норма выражается как

${\displaystyle \|f\|_{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.}$

Из теоремы Планшереля следует, что f̂(ω) также нормировано.

Разброс вокруг математического ожидания ${\displaystyle x_{0}={\frac {1}{\|f\|_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x|f(x)|^{2}\,dx}$ может быть измерен дисперсией, определяемой как

${\displaystyle (\Delta f)^{2}={\frac {1}{\|f\|_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx.}$.

В терминах вероятности это центральный второй момент функции ${\displaystyle |f(x)|^{2}}$.

Принцип неопределённости гласит, что если f(x) абсолютно непрерывна, а функции x f(x) и f′(x) квадратично-интегрируемы, то

${\displaystyle (\Delta f)^{2}(\Delta {\hat {f}})^{2}\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$,

где нормировочный множитель перед преобразованием Фурье равен ${\displaystyle 1}$, при нормировочном множителе, равном ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}$, правое выражение переходит в ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$. Извлекая корни из обоих выражений, правое выражение становится ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ соответственно, ${\displaystyle \Delta }$ определяет половину ширины окна (стандартное отклонение).

Равенство достигается только в случае

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}\\\therefore {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\omega ^{2}}\end{aligned}}}$

где σ > 0 произвольно и ${\displaystyle C_{1}={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\sigma }}}}$ так, что f является L²-нормированным. Другими словами, где f — (нормированная) функция Гаусса с дисперсией σ², центрированная на нуле, а её преобразование Фурье — гауссовская функция с дисперсией σ^-2.

Фактически, из этого неравенства следует, что:

${\displaystyle \left({\frac {1}{\|f\|_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left({\frac {1}{\|{\hat {f}}\|_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\omega )\right|^{2}\,d\omega \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$ 

для любого x₀, ω₀ ∈ R.

В квантовой механике импульс и положение волновой функции являются парами преобразований Фурье с точностью до постоянной Планка. При правильном учёте этой постоянной, неравенство выше становится утверждением принципа неопределённости Гейзенберга.

Более сильным принципом неопределённости является принцип неопределённости Хиршмана, который выражается как:

${\displaystyle H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\hat {f}}\right|^{2}\right)\geq \ln \left({\frac {e}{2}}\right)}$

где H(p) — дифференциальная энтропия функции плотности вероятности p(x):

${\displaystyle H(p)=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x)\ln {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx}$,

где логарифмы могут быть в любой последовательной базе. Равенство достигается для функции Гаусса, как и в предыдущем случае.

Применения[править | править код]

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства в частотное пространство. Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

• Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля, или, в наиболее общем, как дуализм Понтрягина).
• Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
• Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо).
• По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
• Дискретная версия преобразования Фурье может быть быстро рассчитана на компьютерах с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Разновидности[править | править код]

Многомерное преобразование[править | править код]

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, определяется формулой

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-ix\cdot \omega }\,dx.}$

Здесь ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle x}$ — векторы пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle x\cdot \omega }$ — их скалярное произведение. Обратное преобразование в этом случае задаётся формулой

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\omega )e^{ix\cdot \omega }\,d\omega .}$

Эта формула может быть интерпретирована как разложение функции ${\displaystyle f}$ в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида ${\displaystyle e^{ix\cdot \omega }}$ с амплитудами ${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}|{\hat {f}}(\omega )|}$, частотами ${\displaystyle \omega }$ и фазовыми сдвигами ${\displaystyle \arg {\hat {f}}(\omega )}$ соответственно. Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.

Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:

• Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:

${\displaystyle {\widehat {\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}}=i\omega _{k}{\hat {f}}(\omega ).}$

• Изменяется константа в теореме о свёртке:

${\displaystyle {\widehat {(f\ast g)}}=(2\pi )^{n/2}{\hat {f}}{\hat {g}}.}$

• Преобразование Фурье и сжатие координат:

${\displaystyle {\widehat {\left(f\left({\frac {x}{|a|}}\right)\right)}}=|a|^{n}{\hat {f}}(\omega |a|).}$

• Более общо, если ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ — обратимое линейное отображение, то

${\displaystyle {\widehat {\left(f(Ax)\right)}}=|\det(A)|^{-1}{\hat {f}}((A^{T})^{-1}\omega ).}$

Ряды Фурье[править | править код]

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для ${\displaystyle 2\pi }$-периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{n}\,e^{inx}.}$

Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.

Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой ${\displaystyle 2\pi }$-периодической функции имеем

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\sqrt {2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{n}\delta (\omega -n).}$

Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках и равно нулю вне их.

Дискретное преобразование[править | править код]

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1}}$ — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен ${\displaystyle f(t)=x_{0}+x_{1}t+x_{2}t^{2}+\ldots +x_{n-1}t^{n-1}}$. Выберем какие-нибудь ${\displaystyle n}$ точек на комплексной плоскости ${\displaystyle z_{0},\;z_{1},\;\ldots ,\;z_{n-1}}$. Теперь многочлену ${\displaystyle f(t)}$ мы можем сопоставить новый набор из ${\displaystyle n}$ чисел: ${\displaystyle f_{0}:=f(z_{0}),\;f_{1}:=f(z_{1}),\;\ldots ,\;f_{n-1}:=f(z_{n-1})}$. Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел ${\displaystyle f_{0},\;f_{1},\;\ldots ,\;f_{n-1}}$ существует единственный многочлен ${\displaystyle f(t)}$ степени не выше ${\displaystyle n-1}$ с такими значениями в ${\displaystyle z_{0},\;\ldots ,\;z_{n-1}}$ соответственно (см. Интерполяция).

Набор ${\displaystyle \{f_{k}\}}$ и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора ${\displaystyle \{x_{k}\}}$. В качестве точек ${\displaystyle z_{k}}$ обычно выбирают корни ${\displaystyle n}$-й степени из единицы:

${\displaystyle z_{k}=e^{\frac {2\pi ik}{n}}}$.

Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины ${\displaystyle n}$ напрямую требует порядка ${\displaystyle n^{2}}$ операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за ${\displaystyle O(n\log n)}$ операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка ${\displaystyle n}$ операций.

Оконное преобразование[править | править код]

${\displaystyle F(t,\;\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )W(\tau -t)e^{-i\omega \tau }\,d\tau ,}$

где ${\displaystyle F(t,\;\omega )}$ даёт распределение частот (вообще говоря, несколько искажённое) части оригинального сигнала ${\displaystyle f(t)}$ в окрестности момента времени ${\displaystyle t}$.

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всём диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье — так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию ${\displaystyle W}$, причём эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

На практике дискретный спектральный анализ реализован в современных цифровых осциллографах и анализаторах спектра. Используется, как правило, выбор окна из 3—10 типов. Применение окон принципиально необходимо, поскольку в реальных приборах исследуется всегда некоторая вырезка из исследуемого сигнала. При этом разрывы сигнала вследствие вырезки резко искажают спектр из-за наложения спектров скачков на спектр сигнала.

Некоторые анализаторы спектра используют быстрое (или кратковременное) оконное преобразование. При нём сигнал заданной длительности разбивается на ряд интервалов с помощью скользящего окна того или иного типа. Это позволяет получать, исследовать и строить в виде спектрограмм динамические спектры и анализировать их поведение во времени. Спектрограмма строится в трёх координатах — частота, время и амплитуда. При этом амплитуда задаётся цветом или оттенком цвета каждого прямоугольника спектрограммы. Подобные анализаторы спектра называют анализаторами спектра реального времени. Основным их производителем является корпорация Keysight Technologies (США), Rohde & Schwarz (Германия), Tektronix (США). Такие анализаторы появились в конце прошлого века и ныне бурно развиваются. Частотный диапазон исследуемых ими сигналов достигает сотен гигагерц.

Указанные методы спектрального анализа реализуются и в системах компьютерной математики, например, Mathcad, Mathematica, Maple и MATLAB.

Другие варианты[править | править код]

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором ${\displaystyle x_{k}}$ определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему о свёртке, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина.

Интерпретация в терминах времени и частоты[править | править код]

В терминах обработки сигналов преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где ${\displaystyle \omega }$ — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция ${\displaystyle f}$ является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции ${\displaystyle F}$ представляет амплитуды соответствующих частот (${\displaystyle \omega }$), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Важные формулы[править | править код]

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье. ${\displaystyle F(\omega )}$ и ${\displaystyle G(\omega )}$ обозначают Фурье компоненты функций ${\displaystyle f(t)}$ и ${\displaystyle g(t)}$, соответственно. ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

Соотношения в этой таблице и в особенности множители, такие как ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$, зависят от соглашения, какая форма определения для преобразования Фурье использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).

	Функция	Образ	Примечания
1	${\displaystyle af(t)+bg(t)}$	${\displaystyle aF(\omega )+bG(\omega )}$	Линейность
2	${\displaystyle f(t-a)}$	${\displaystyle e^{-i\omega a}F(\omega )}$	Запаздывание
3	${\displaystyle e^{iat}f(t)}$	${\displaystyle F(\omega -a)}$	Частотный сдвиг
4	${\displaystyle f(at)}$	${\displaystyle |a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$	Если ${\displaystyle a}$ большое, то ${\displaystyle f(at)}$ сосредоточена около нуля, и ${\displaystyle |a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$ становится плоским
5	${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}}$	${\displaystyle (i\omega )^{n}F(\omega )}$	Свойство преобразования Фурье от ${\displaystyle n}$-й производной
6	${\displaystyle t^{n}f(t)}$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n}}}}$	Это обращение правила 5
7	${\displaystyle (f*g)(t)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )}$	Запись ${\displaystyle f*g}$ означает свёртку ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$. Это правило — теорема о свёртке
8	${\displaystyle f(t)g(t)}$	${\displaystyle {\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}}$	Это обращение 7
9	${\displaystyle \delta (t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle \delta (t)}$ означает дельта-функцию Дирака
10	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )}$	Обращение 9.
11	${\displaystyle t^{n}}$	${\displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )}$	Здесь ${\displaystyle n}$ — натуральное число, ${\displaystyle \delta ^{(n)}(\omega )}$ — ${\displaystyle n}$-я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
12	${\displaystyle e^{iat}}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)}$	Следствие 3 и 10
13	${\displaystyle \cos(at)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}}$	Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера ${\displaystyle \cos(at)={\frac {1}{2}}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)}$
14	${\displaystyle \sin(at)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}}$	Также из 1 и 12
15	${\displaystyle \exp(-at^{2})}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)}$	Показывает, что функция Гаусса ${\displaystyle \exp(-t^{2}/2)}$ совпадает со своим изображением
16	${\displaystyle W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)}$	${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)}$	Прямоугольная функция — идеальный фильтр нижних частот, а функция sinc(x) — её временной эквивалент
17	${\displaystyle {\frac {1}{t}}}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )}$	Здесь ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )}$ — функция sgn. Это правило согласуется с 6 и 10
18	${\displaystyle {\frac {1}{t^{n}}}}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )}$	Обобщение 17
19	${\displaystyle \operatorname {sgn}(t)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}}$	Обращение 17
20	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\theta (t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )}$	Здесь ${\displaystyle \theta (t)}$ — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19

См. также[править | править код]

• Ортогональные функции
• Дискретное преобразование Фурье над конечным полем
• Вейвлет
• Чирплет
• Преобразование Гильберта — Хуанга
• Гильбертово пространство

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
• Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.
• Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. — М.: СОЛОН-Пресс, 2005. — С. 576. — ISBN 5-980-03206-1.
• Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е изд. — СПб.: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9.
• М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов. Спектральные преобразования в MatLab. — СПб., 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-983-40121-1.

Ссылки[править | править код]

• Интегральные преобразования Архивная копия от 11 июля 2007 на Wayback Machine EqWorld: Мир математических уравнений
• Online Computation of the transform or inverse transform
• «Преобразование Фурье» Архивная копия от 4 июля 2015 на Wayback Machine — перевод статьи An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained Архивная копия от 4 июля 2015 на Wayback Machine (англ.)
• Рональд Н. Брейсуэлл. Преобразование Фурье. Scientific American. В мире науки. № 8, 1989, стр. 48-56 Архивная копия от 24 мая 2017 на Wayback Machine