Спектральная плотность мощности

Спектра́льная пло́тность мо́щности (СПМ) или энергетический спектр — в физике и обработке сигналов — функция, описывающая распределение мощности сигнала по частотам, а именно мощность, приходящуюся на единичный интервал частоты. Имеет размерность мощности, делённой на частоту, то есть энергии. Например, в Международной системе единиц (СИ) это Вт/с⁻¹ (Вт·с) или Вт/Гц, смотря по тому, какая частота используется: ${\displaystyle \omega }$ (c^-1) или ${\displaystyle f}$ (Гц).

Часто термин применяется при описании спектральной мощности потоков электромагнитного излучения или других колебаний в сплошной среде, например, акустических. В этом случае подразумевается мощность на единицу частоты на единицу площади, например: (Вт/c^-1)·м^-2 (формально можно заменить на Дж·м^-2, но тогда физическое содержание величины становится менее наглядным).

Пусть ${\displaystyle x(t)}$ — детерминированный сигнал, рассматриваемый на промежутке времени ${\displaystyle \left[-{\frac {T}{2}},{\frac {T}{2}}\right]}$.

Тогда преобразование Фурье от ${\displaystyle x(t)}$ имеет вид:

${\displaystyle F_{T}(\omega )=\int \limits _{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-i\omega t}\,dt}$.

Тогда величина

${\displaystyle G(\omega )={\frac {|F_{T}(\omega )|^{2}}{T}}}$ 

называется спектральной плотностью мощности или энергетическим спектром сигнала.

Для бесконечно протяженных (нефинитных) сигналов спектральная плотность мощности или энергетический спектр сигнала имеет вид:

${\displaystyle G(\omega )=\lim _{T\to +\infty }{\frac {|F_{T}(\omega )|^{2}}{T}}}$.

Энергия сигнала на промежутке ${\displaystyle \left[-{\frac {T}{2}},{\frac {T}{2}}\right]}$ равна:

${\displaystyle E_{T}=\int \limits _{-T/2}^{T/2}x^{2}(t)dt}$.

В соответствии с теоремой Парсеваля ${\displaystyle E_{T}}$ представима в виде:

${\displaystyle E_{T}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|F_{T}(\omega )|^{2}\,d\omega ={\frac {T}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }G(\omega )d\omega }$.

Мощность сигнала на промежутке ${\displaystyle \left[-{\frac {T}{2}},{\frac {T}{2}}\right]}$ равна:

${\displaystyle P_{T}={\frac {E_{T}}{T}}={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}x^{2}(t)dt}$.

В соответствии с теоремой Парсеваля ${\displaystyle P_{T}}$ представима в виде:

${\displaystyle P_{T}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }G(\omega )d\omega }$.

Спектральная плотность мощности сигнала сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз имеют одинаковые спектральные плотности мощности.

Если сигнал ${\displaystyle x(t)}$ случайный и имеет длительность ${\displaystyle T}$, то преобразование Фурье от его ${\displaystyle n}$-ой реализации имеет вид:

${\displaystyle F_{n}(\omega )=\int \limits _{0}^{T}x_{n}(t)e^{-i\omega t}dt,}$

где ${\displaystyle x_{n}(t)}$ — ${\displaystyle n}$-ая реализация случайного процесса ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle i}$ — мнимая единица.

Так как ${\displaystyle F_{n}(\omega )}$ зависит от формы реализации случайного процесса, то для получения универсальной характеристики используют усреднение квадрата модуля ${\displaystyle F_{n}(\omega )}$ по всем реализациям случайного процесса.

Величина

${\displaystyle G(\omega )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\mathbb {E} \{|F_{n}(\omega )|^{2}\}}$

называется спектральной плотностью мощности случайного процесса, где ${\displaystyle \mathbb {E} \{\ \}}$ — математическое ожидание.

Для стационарных случайных процессов спектральную плотность мощности можно также найти на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от автокорреляционной функции ${\displaystyle B(\tau )}$:

${\displaystyle G(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }B(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau ,}$

где

${\displaystyle B(\tau )=\mathbb {E} \{x(t)x^{*}(t-\tau )\}.}$

— автокорреляционная функция от ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle \mathbb {E} \{\ \}}$ — математическое ожидание, звёздочка означает комплексное сопряжение^[1].

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной ${\displaystyle G(\omega )}$ определяет ${\displaystyle B(\tau )}$:

${\displaystyle B(\tau )={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }G(\omega )e^{i\omega \tau }d\omega .}$

Если полагать в формулах ${\displaystyle f=0}$ и ${\displaystyle \tau =0}$, то имеем

${\displaystyle G(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }B(\tau )d\tau ,}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=B(0)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }G(\omega )d\omega =\int \limits _{-\infty }^{\infty }G(f)df}$.

Величина ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ является дисперсией (мощностью) случайного процесса (при нулевом мат. ожидании) и равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину ${\displaystyle G(f)df}$ можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от ${\displaystyle f-df/2}$ до ${\displaystyle f+df/2}$. Если понимать под ${\displaystyle x(t)}$ случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина ${\displaystyle G(f)}$ будет иметь размерность энергии [В²/Гц] = [В²с]. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом.

Для периодически-нестационарным случайных процессов ${\displaystyle x(t)}$, т. е. процессов, у которых автокорреляционная функция периодическая, спектральную плотность мощности можно также найти на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от усредненной автокорреляционной функции ${\displaystyle R(\tau )}$:

${\displaystyle G(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau ,}$

где

${\displaystyle R(\tau )={\frac {1}{T_{u}}}\int \limits _{0}^{T_{u}}B(t,t-\tau )dt,}$

где

${\displaystyle B(t,t-\tau )=\mathbb {E} \{x(t)x^{*}(t-\tau )\}.}$

— автокорреляционная функция от ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle \mathbb {E} \{\ \}}$ — математическое ожидание, звёздочка означает комплексное сопряжение, ${\displaystyle T_{u}}$ — период ${\displaystyle B(t,t-\tau )}$ по переменной ${\displaystyle t}$.

• Энергетический спектр – неотрицательная величина:

${\displaystyle G(\omega )\geq 0}$.

• Энергетический спектр есть действительная и чётная функция частоты:

${\displaystyle G(-\omega )=G(\omega )}$.

• Автокорреляционная функция ${\displaystyle R(\tau )}$ и энергетический спектр ${\displaystyle G(\omega )}$ обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем «шире» спектр ${\displaystyle G(\omega )}$ тем «уже» корреляционная функция ${\displaystyle R(\tau )}$, и наоборот. Этот результат количественно выражается в виде принципа или соотношения неопределенности.

Оценка СПМ может выполняться методом преобразования Фурье, предполагающего получение спектра в области частот посредством быстрого преобразования Фурье (БПФ). До изобретения алгоритмов БПФ этот метод из-за трудоёмкости прямого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ) практически не использовался. Предпочтение отдавалось другим методам, в частности, методу корреляционной функции (Блэкмена — Тьюки) и периодограммному методу. Также используется коррелограммный метод.

• Спектральная плотность
• Случайный процесс
• Спектр
• Преобразование Фурье
• Амплитудно-частотная характеристика
• Спектральная плотность излучения
• Периодограмма

• Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1985.
• Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. — М.: Мир, 1982.
• Прокис Дж. Цифровая связь = Digital Communications / Кловский Д. Д.. — М.: Радио и связь, 2000. — С. 62-63. — 800 с. — ISBN 5-256-01434-X.