Автокорреляционная функция

Автокорреляционная функция (АКФ) — зависимость взаимосвязи между функцией (сигналом) и её сдвинутой по аргументу функции копией от величины сдвига.

Для детерминированных сигналов автокорреляционная функция (АКФ) сигнала ${\displaystyle f(t)}$ определяется интегралом:

${\displaystyle \Psi (\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau )dt,}$

и показывает связь сигнала (функции ${\displaystyle \;f(t)}$) с копией самого себя, смещённого на величину ${\displaystyle \tau }$. Звёздочка означает комплексное сопряжение.

Для случайных процессов АКФ случайной функции ${\displaystyle X(t)}$ имеет вид^[1]:

${\displaystyle B(t,t-\tau )=\mathbb {E} \{X(t)X^{*}(t-\tau )\}}$,

где ${\displaystyle \mathbb {E} \{\ \}}$ — математическое ожидание, звёздочка означает комплексное сопряжение.

Если исходная функция строго периодическая, то на графике автокорреляционной функции тоже будет строго периодическая функция. Таким образом, из этого графика можно судить о периодичности исходной функции, а, следовательно, и о её частотных характеристиках. Автокорреляционная функция применяется для анализа сложных колебаний, например, электроэнцефалограммы человека.

Корреляционные свойства кодовых последовательностей, используемых в широкополосных системах, зависят от типа кодовой последовательности, её длины, частоты следования её символов и от её посимвольной структуры.

Изучение автокорреляционной функции играет важную роль при выборе кодовых последовательностей с точки зрения наименьшей вероятности установления ложной синхронизации.

Автокорреляционная функция играет важную роль в математическом моделировании и анализе временных рядов, показывая характерные времена для исследуемых процессов^[2]. В частности, циклам в поведении динамических систем соответствуют максимумы автокорреляционной функции некоторого характерного параметра.

• Теорема Хинчина — Колмогорова
• Корреляционная функция
• Взаимнокорреляционная функция
• Периодическая функция
• Корреляция
• Критерий Дарбина — Уотсона
• Дисперсия случайной величины
• Свёртка (математический анализ)

• функция xcorr в MATLAB