파레토 분포 확률 밀도 함수 누적 분포 함수 매개변수 x m > 0 scale (real )shape 지지집합 x ∈ [ x m , + ∞ ) {\displaystyle x\in [x_{\mathrm {m} },+\infty )} 확률 밀도 α x m α x α + 1 for x ≥ x m {\displaystyle {\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}{\text{ for }}x\geq x_{m}} 누적 분포 1 − ( x m x ) α for x ≥ x m {\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }{\text{ for }}x\geq x_{m}} 기댓값 { ∞ for α ≤ 1 α x m α − 1 for α > 1 {\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \leq 1\\{\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&{\text{for }}\alpha >1\end{cases}}} 최빈값 x m {\displaystyle x_{\mathrm {m} }} 분산 { ∞ for α ∈ ( 1 , 2 ] x m 2 α ( α − 1 ) 2 ( α − 2 ) for α > 2 {\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \in (1,2]\\{\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&{\text{for }}\alpha >2\end{cases}}} 비대칭도 2 ( 1 + α ) α − 3 α − 2 α for α > 3 {\displaystyle {\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3} 첨도 6 ( α 3 + α 2 − 6 α − 2 ) α ( α − 3 ) ( α − 4 ) for α > 4 {\displaystyle {\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4} 엔트로피 ln ( x m α ) + 1 α + 1 {\displaystyle \ln \left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha }}\right)+{\frac {1}{\alpha }}+1} 적률생성함수 α ( − x m t ) α Γ ( − α , − x m t ) for t < 0 {\displaystyle \alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ for }}t<0} 특성함수 α ( − i x m t ) α Γ ( − α , − i x m t ) {\displaystyle \alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)}
통계학 에서 파레토 분포 (Pareto分布, 영어 : Pareto distribution )는 사회과학 에서 널리 볼 수 있는 확률분포 이다.
파레토 분포 는 다음 성질을 만족시키는 확률변수 X {\displaystyle X} 확률분포 이다.
Pr ( X > x ) = { ( x m x ) α x ≥ x m , 1 x < x m {\displaystyle \Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&x<x_{\mathrm {m} }\end{cases}}} 즉, 파레토 분포는 두 개의 매개변수 x m , α {\displaystyle x_{\text{m}},\alpha } x m > 0 {\displaystyle x_{m}>0} X {\displaystyle X} α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 파레토 지표 라는 매개변수이다. α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha } 균등분포 에 가깝고, 반대로 α {\displaystyle \alpha } 디랙 델타 함수 에 가까워진다.
빌프레도 파레토 는 파레토 분포를 사회에서 부의 분포를 나타내기 위해 사용하였다. 사회에서는 부의 불공평한 분포로 인해 대부분의 부가 소수에 의해 소유되는데 (파레토 법칙 ), 파레토 분포는 이를 효과적으로 나타낸다.[ 1]
↑ Pareto, Vilfredo, Cours d’Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino , Librairie Droz, Geneva, 1964, pages 299–345. M. O. Lorenz (1905). “Methods of measuring the concentration of wealth”. 《Publications of the American Statistical Association 》 9 (70): 209–219. Bibcode :1905PAmSA...9..209L . doi :10.2307/2276207 . Pareto V (1965) "La Courbe de la Repartition de la Richesse" (Originally published in 1896). In: Busino G, editor. Oevres Completes de Vilfredo Pareto . Geneva: Librairie Droz. pp. 1–5. Pareto, V. (1895). La legge della domanda. Giornale degli Economisti , 10, 59–68. English translation in Rivista di Politica Economica , 87 (1997), 691–700. Pareto, V. (1897). Cours d'économie politique . Lausanne: Ed. Rouge.
![{\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \in (1,2]\\{\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&{\text{for }}\alpha >2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a48530270e78ce9ef94761a1aa6e53a6c9f6050)
