일차 함수 그래프의 예시 수학 에서 일차 함수 (一次函數, 영어 : linear function )는 최고 차항의 차수가 1인 다항 함수 이다. 즉, 그래프 가 직선 인 함수 이다. 정비례 함수 (正比例函數 영어 : directly proportional function )는 일차 함수에 상수항이 0이라는 조건을 추가한 특수한 경우이다. 즉, 그래프가 원점 을 지나는 직선인 함수이다. 단, 계수는 실수여야 한다.
일차 함수 는 정의역 과 공역 이 실수 의 집합 인, 다음과 같은 꼴의 함수이다.
f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b} 여기서 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} 정비례 함수 는 다음과 같은 꼴의 특수한 일차 함수이다.
f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=ax} 여기서 a {\displaystyle a}
일차 함수 f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b} 데카르트 좌표계 에서의 그래프는 수직이 아닌 직선이다. 특히, 정비례 함수 f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=ax}
일차 함수 f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b} 기울기 는 x {\displaystyle x} a {\displaystyle a} ( x 1 , f ( x 1 ) ) {\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))} ( x 2 , f ( x 2 ) ) {\displaystyle (x_{2},f(x_{2}))} 비 와 같다. 또한, 그래프와 만날 때까지 양의 x {\displaystyle x} θ {\displaystyle \theta } a {\displaystyle a} 탄젠트 와 같다. 사실, a {\displaystyle a} f {\displaystyle f} 미분 이기도 하다.
a = f ( x 2 ) − f ( x 1 ) x 2 − x 1 = tan θ = f ′ ( x ) {\displaystyle a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=\tan \theta =f'(x)} 일차 함수 f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b} 동치 이다. 즉, 이들 조건 중 어떤 하나가 성립한다면, 나머지 조건들 역시 성립하며, 어떤 하나가 성립하지 않는다면, 나머지 역시 성립하지 않는다.
a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} f ( x ) {\displaystyle f(x)} 일차 다항식 이다. f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ( x ) {\displaystyle f(x)} 강한 단조 함수 이다. f ( x ) {\displaystyle f(x)} 전단사 함수 이다.일차 함수 f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b} 영점 은 일차 방정식 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} x {\displaystyle x}
a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} f ( x ) {\displaystyle f(x)} − b / a {\displaystyle -b/a} f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} ( − b / a , 0 ) {\displaystyle (-b/a,0)} a = 0 ≠ b {\displaystyle a=0\neq b} f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} b {\displaystyle b} a = 0 = b {\displaystyle a=0=b} f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} 일차 함수 f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b} f ( 0 ) = b {\displaystyle f(0)=b} f ( x ) {\displaystyle f(x)} y {\displaystyle y}
일차 함수 f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b} 단조 함수 이다. a > 0 {\displaystyle a>0} 강한 증가 함수 , a < 0 {\displaystyle a<0} 강한 감소 함수 , a = 0 {\displaystyle a=0} 상수 함수 이다.
함수 f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
임의의 x , y , t ∈ R {\displaystyle x,y,t\in \mathbb {R} } f ( t x + ( 1 − t ) y ) = t f ( x ) + ( 1 − t ) f ( y ) {\displaystyle f(tx+(1-t)y)=tf(x)+(1-t)f(y)} 임의의 도함수 g : R → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } f ∘ g {\displaystyle f\circ g} f {\displaystyle f} 함수 f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
임의의 x , y , c ∈ R {\displaystyle x,y,c\in \mathbb {R} } f ( c x + y ) = c f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(cx+y)=cf(x)+f(y)} f {\displaystyle f} 이에 따라, 일차 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 아핀 변환 이며, 정비례 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 선형 변환 이다.
