이차 함수 그래프의 예시 수학 에서 이차 함수 (二次函數, 영어 : quadratic function )는 최고 차수가 2인 다항 함수 이다.
이차 함수 는 다음과 같은 꼴의 함수 f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }
f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} 단, a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}
보다 일반적으로, 이변수 이차 함수 는 다음과 같은 꼴의 함수 f : R 2 → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } f : C 2 → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} }
f ( x , y ) = a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f {\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f} 단, 0 = a = b = c {\displaystyle 0=a=b=c}
보다 일반적으로, d {\displaystyle d} f : R d → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} } f : C d → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} ^{d}\to \mathbb {C} }
f ( x 1 , x 2 … , x d ) = ∑ i = 1 d ∑ j = 1 d a i j x i x j + ∑ k = 1 d b k x k + c = a 11 x 1 2 + a 12 x 1 x 2 + ⋯ + a 1 d x 1 x d + a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 2 + ⋯ + a 2 d x 2 x d + ⋯ + a d 1 x n x 1 + a n 2 x n x 2 + ⋯ + a d d x d 2 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + ⋯ + b d x d + c {\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},x_{2}\dots ,x_{d})&=\sum _{i=1}^{d}\sum _{j=1}^{d}a_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{k=1}^{d}b_{k}x_{k}+c\\&=a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+\cdots +a_{1d}x_{1}x_{d}\\&\qquad +a_{21}x_{2}x_{1}+a_{22}x_{2}^{2}+\cdots +a_{2d}x_{2}x_{d}\\&\qquad \qquad +\cdots \\&\qquad \qquad \qquad +a_{d1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+\cdots +a_{dd}x_{d}^{2}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+\cdots +b_{d}x_{d}+c\\\end{aligned}}} 단, 0 = a 11 = ⋯ = a d d {\displaystyle 0=a_{11}=\cdots =a_{dd}}
f ( x ) = x 2 − x − 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}-x-2\,\!} 이차 함수의 그래프 는 대칭축이 수직선인 포물선 이다. 즉, 허공에 비껴 던져진 물체의 비행 궤도와 같다.
반대로, 대칭축 이 수직선 인 모든 포물선 은 어떤 이차 함수의 그래프 이다.
이차 함수의 (곡선으로서의) 방정식은 다음과 같은 세 가지 꼴로 나타낼 수 있다.
일반형 은 다음과 같으며, 이 꼴은 이차방정식의 y절편인 c와 볼록한 쪽을 나타내는 a의 부호 외에 얻을 정보가 없다. 따라서 이런 형태가 주어졌을 때 표준형, 인수분해형 중 하나로 바꿔서 풀 필요가 있다. y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\qquad (a\neq 0)} 표준형 은 다음과 같다. 이 꼴을 통해 x축으로 p만큼 이동하고, y축으로 q만큼 이동한 것을 알 수 있으며, a의 부호로 볼록한 쪽이 어느 쪽인지 알 수 있다. (이는 a {\displaystyle a} y = a ( x − p ) 2 + q ( a ≠ 0 ) {\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q\qquad (a\neq 0)} 인수 분해형 은 다음과 같다. 이 꼴을 통해 두 근인 알파, 베타를 알 수 있다. (이는 모든 이차 함수는 서로 같거나 서로 다른 두 실수 또는 허수 영점을 가짐을 의미한다.) y = a ( x − α ) ( x − β ) ( a ≠ 0 ) {\displaystyle y=a(x-\alpha )(x-\beta )\qquad (a\neq 0)} 일반형의 계수를 통해 다른 두 가지 꼴의 방정식을 나타내는 방법은 다음과 같다.
y = a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 − b 2 − 4 a c 4 a = a ( x − − b − b 2 − 4 a c 2 a ) ( x − − b + b 2 − 4 a c 2 a ) {\displaystyle {\begin{aligned}y&=ax^{2}+bx+c\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\\&=a\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\end{aligned}}} 이차 함수 f {\displaystyle f} a {\displaystyle a}
a > 0 {\displaystyle a>0} f {\displaystyle f} 엄격 볼록 함수 이다. 즉, 그래프가 아래로 볼록하다. a < 0 {\displaystyle a<0} f {\displaystyle f} 엄격 오목 함수 이다. 즉, 그래프가 위로 볼록하다.또한, | a | {\displaystyle |a|} f {\displaystyle f}
이차 함수 f {\displaystyle f} y {\displaystyle y} f ( 0 ) = c {\displaystyle f(0)=c} f {\displaystyle f} y {\displaystyle y} ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)}
이차 함수 f {\displaystyle f}
x = − b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} 이 대칭축과 그래프의 교점은 다음과 같으며, 이를 꼭짓점이라고 한다.
( − b 2 a , − b 2 − 4 a c 4 a ) {\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right)} 꼭짓점은 이차 함수의 단조성 이 변화하는 점이며, 함수가 최댓값 또는 최솟값 을 갖는 점이다. a {\displaystyle a}
a > 0 {\displaystyle a>0} f {\displaystyle f} ( − ∞ , − b 2 a ] {\displaystyle \left(-\infty ,-{\frac {b}{2a}}\right]} [ − b 2 a , ∞ ) {\displaystyle \left[-{\frac {b}{2a}},\infty \right)} f {\displaystyle f} f ( − b 2 a ) = − b 2 − 4 a c 4 a {\displaystyle f\left(-{\frac {b}{2a}}\right)=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}} a < 0 {\displaystyle a<0} f {\displaystyle f} ( − ∞ , − b 2 a ] {\displaystyle \left(-\infty ,-{\frac {b}{2a}}\right]} [ − b 2 a , ∞ ) {\displaystyle \left[-{\frac {b}{2a}},\infty \right)} f {\displaystyle f} f ( − b 2 a ) = − b 2 − 4 a c 4 a {\displaystyle f\left(-{\frac {b}{2a}}\right)=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}} 이차 함수 f {\displaystyle f} 영점 , 즉 그래프와 x {\displaystyle x} x {\displaystyle x}
α , β = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle \alpha ,\beta ={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} 구체적으로, 이차 함수 f {\displaystyle f} 판별식 b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac}
b 2 − 4 a c > 0 {\displaystyle b^{2}-4ac>0} f {\displaystyle f} α ≠ β {\displaystyle \alpha \neq \beta } x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} 할선 이다. b 2 − 4 a c = 0 {\displaystyle b^{2}-4ac=0} f {\displaystyle f} α = β = − b 2 a {\displaystyle \alpha =\beta =-{\frac {b}{2a}}} f {\displaystyle f} 이중근 이라고 한다. 이때 그래프는 x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} 접선 이다. b 2 − 4 a c < 0 {\displaystyle b^{2}-4ac<0} f {\displaystyle f} 허근 α ≠ β {\displaystyle \alpha \neq \beta } x {\displaystyle x} 이차 함수의 두 근과 일반형의 계수 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 비에트 정리 라고 한다.
α + β = − b a {\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}} α β = c a {\displaystyle \alpha \beta ={\frac {c}{a}}} 이차함수 y = a ( x − p ) 2 + q {\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q} S = − q − q a {\displaystyle S={-q}{\sqrt {-{\frac {q}{a}}}}}
이차함수 y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} y {\displaystyle y} y {\displaystyle y} b < 0 {\displaystyle b<0} b > 0 {\displaystyle b>0} y {\displaystyle y} b > 0 {\displaystyle b>0}
![{\displaystyle \left(-\infty ,-{\frac {b}{2a}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9857eb9141c1c24b505144531ea55ae536703ed6)
