쉴로브 정리

군론에서 쉴로브 정리(영어: Sylow theorems) 또는 실로우 정리는 유한군의 특정한 크기의 부분군의 구조에 대한 일련의 정리들이다. 라그랑주 정리의 부분적 역이며, 코시 정리를 일반화한다. 유한군의 이론에서 중요한 역할을 한다.

소수 ${\displaystyle p}$가 주어졌을 때, p-군은 모든 원소의 위수가 ${\displaystyle p}$의 거듭제곱인 군이다. 쉴로브 p-부분군(영어: Sylow p-subgroup)은 극대 p-부분군이다. 즉, 군 ${\displaystyle G}$의 p-부분군 ${\displaystyle H}$가 다음 조건을 만족시키면, 쉴로브 p-부분군이라고 한다.

• 임의의 p-부분군 ${\displaystyle K\subseteq G}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle H\subseteq K}$라면, ${\displaystyle K=G}$ 또는 ${\displaystyle K=H}$이다.

쉴로브 p-부분군의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {Syl} (p;G)}$로 표기하자.

유한군 ${\displaystyle G}$와 소수 ${\displaystyle p}$가 주어졌고, 어떤 음이 아닌 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}}$와 양의 정수 ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여

${\displaystyle |G|=p^{n}m}$

이며 ${\displaystyle p}$와 ${\displaystyle m}$이 서로소라고 하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}}$에 대하여, 다음 세 개의 정리가 성립한다.

• 제1 쉴로브 정리(영어: first Sylow theorem): 크기가 ${\displaystyle p^{k}}$인 ${\displaystyle G}$의 부분군이 존재한다.
• 제2 쉴로브 정리(영어: second Sylow theorem): 임의의 쉴로브 p-부분군 ${\displaystyle H\subseteq G}$ 및 p-부분군 ${\displaystyle K\subseteq G}$에 대하여, ${\displaystyle K\subseteq gHg^{-1}}$인 ${\displaystyle g\in G}$가 존재한다. 특히, ${\displaystyle G}$의 모든 쉴로브 p-부분군은 서로 켤레이며, 모든 쉴로브 p-부분군의 크기는 ${\displaystyle p^{n}}$이다.
• 제3 쉴로브 정리(영어: third Sylow theorem): 크기가 ${\displaystyle p^{k}}$인 ${\displaystyle G}$의 부분군의 총수가 ${\displaystyle n(p^{k};G)}$이며 (특히 ${\displaystyle n(p^{n};G)=|{\operatorname {Syl} (p;G)}|}$), ${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle G}$의 임의의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
  • ${\displaystyle n(p^{k};G)\equiv 1{\pmod {p}}}$
  • ${\displaystyle n(p^{n};G)\mid m}$
  • ${\displaystyle n(p^{n};G)=|G:\operatorname {N} _{G}(H)|}$. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(-)}$는 정규화 부분군이다.)

다음은 ${\displaystyle k=n}$인 경우에 대한 증명들이며, 일부 증명은 임의의 ${\displaystyle k}$에 대한 경우에도 적용 가능하다.

크기가 ${\displaystyle p^{n}}$인 ${\displaystyle G}$의 부분군을 찾는 것으로 족하다. 군의 크기 ${\displaystyle |G|}$에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. ${\displaystyle \{g_{1},\dots ,g_{k}\}\subseteq G}$가 한원소 집합이 아닌 ${\displaystyle G}$의 켤레류들의 대표원이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 켤레류 방정식이 성립한다.

${\displaystyle |G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i=1}^{k}{\frac {|G|}{|{\operatorname {C} _{G}(g_{i})}|}}}$

이 경우 각 ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}}$에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(g_{i})}$는 ${\displaystyle G}$의 진부분군이다.

만약 ${\displaystyle p^{n}}$이 ${\displaystyle |{\operatorname {C} _{G}(g_{i})}|}$의 약수가 되는 ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}}$가 존재한다면, 수학적 귀납법의 가정에 의하여 ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(g_{i})}$는 ${\displaystyle |H|=p^{n}}$인 부분군 ${\displaystyle H}$를 가지며, 이는 자명하게 ${\displaystyle G}$의 부분군이다.

이제, 임의의 ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}}$에 대하여, ${\displaystyle p^{n}}$이 ${\displaystyle |{\operatorname {C} _{G}(g_{i})}|}$의 약수가 아니라고 하자. ${\displaystyle n=0}$인 경우는 자명하다. 만약 ${\displaystyle n>0}$이라면, ${\displaystyle p}$는 ${\displaystyle |{\operatorname {Z} (G)}|}$의 소인수다. 코시의 정리에 의하여 ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$는 ${\displaystyle |K|=p}$인 부분군 ${\displaystyle K}$를 가지며, 이는 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군이다. 수학적 귀납법의 가정에 의하여, 몫군 ${\displaystyle G/K}$는 크기가 ${\displaystyle p^{n-1}}$인 쉴로브 p-부분군 ${\displaystyle H/K}$를 가지며, 이 경우 ${\displaystyle H}$는 크기가 ${\displaystyle p^{n}}$인 ${\displaystyle G}$의 부분군이다.

헬무트 빌란트(독일어: Helmut Wielandt)의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 ${\displaystyle n>0}$이라고 하자. 다음과 같은 집합을 생각하자.

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{S\subseteq G\colon |S|=p^{n}\}}$

이 위에 ${\displaystyle G}$는 왼쪽 곱셈을 통해 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle G\times {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle (g,S)\mapsto gS\qquad (g\in G,\;S\in {\mathcal {S}})}$

이 작용의 궤도들의 대표원을 ${\displaystyle \{S_{1},\dots ,S_{k}\}\subset {\mathcal {S}}}$라고 하자. 그렇다면 이 작용에 대한 류의 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle |{\mathcal {S}}|=\sum _{i=1}^{k}{\frac {|G|}{|G_{S_{i}}|}}}$

또한

${\displaystyle |{\mathcal {S}}|={\binom {p^{n}m}{p^{n}}}=m{\binom {p^{n}m-1}{p^{n}-1}}=m\prod _{k=1}^{p^{n}-1}{\frac {p^{n}m-k}{p^{n}-k}}}$

은 ${\displaystyle p}$와 서로소이므로 (이는 각 ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,p^{n}-1\}}$에 대하여 ${\displaystyle p^{n}m-k}$와 ${\displaystyle p^{n}-k}$의 소인수 ${\displaystyle p}$의 중복도가 ${\displaystyle k}$의 소인수 ${\displaystyle p}$의 중복도와 같기 때문이다), 궤도의 크기 ${\displaystyle {\frac {|G|}{|G_{S_{i}}|}}}$가 ${\displaystyle p}$와 서로소인 ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}}$가 존재한다. ${\displaystyle S_{i}}$의 안정자군을 ${\displaystyle H=G_{S_{i}}}$라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle H}$는 ${\displaystyle G}$의 부분군이며, 궤도-안정자군 정리에 의하여 ${\displaystyle |H|}$는 ${\displaystyle p^{n}}$을 약수로 갖는다. 또한 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여,

${\displaystyle H\to S}$

${\displaystyle h\mapsto hs\qquad (h\in H)}$

는 단사 함수이므로, ${\displaystyle |H|=p^{n}}$이다.

임의의 쉴로브 p-부분군(즉, 극대 p-부분군) ${\displaystyle H\subseteq G}$에 대하여 ${\displaystyle |H|=p^{n}}$임을 보이는 것으로 족하다. ${\displaystyle H}$의 정규화 부분군 ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)}$를 생각하자. 그렇다면 ${\displaystyle H}$는 ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)}$의 정규 부분군이므로, 몫군 ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)/H}$를 취할 수 있다.

우선, ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle {\frac {|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}{|H|}}}$의 소인수가 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여 ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle {\frac {|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}{|H|}}}$의 소인수라고 가정하자. 그렇다면, 코시의 정리에 의하여 ${\displaystyle |K/H|=p}$인 부분군 ${\displaystyle K/H\subseteq \operatorname {N} _{G}(H)/H}$가 존재한다. 이 경우 부분군 ${\displaystyle H\subseteq K\subseteq \operatorname {N} _{G}(H)}$는 ${\displaystyle G}$의 부분군이며, ${\displaystyle |K|=p|H|>|H|}$를 만족시킨다. 이는 ${\displaystyle H}$가 쉴로브 p-부분군인 데 모순이다.

이제, ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle {\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}}$의 소인수가 아님을 증명하자. 왼쪽 잉여류의 집합 ${\displaystyle G/\operatorname {N} _{G}(H)}$ 위에서 ${\displaystyle H}$가 다음과 같이 작용한다고 하자.

${\displaystyle H\times G/\operatorname {N} _{G}(H)\to G/\operatorname {N} _{G}(H)}$

${\displaystyle (h,g\operatorname {N} _{G}(H))\mapsto hg\operatorname {N} _{G}(H)\qquad (h\in H,\;g\in G)}$

그렇다면, 이 작용에 대한 류의 방정식을 생각하면 다음과 같은 합동식을 얻는다.

${\displaystyle {\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}\equiv |\{g\operatorname {N} _{G}(H)\in G/\operatorname {N} _{G}(H)\colon Hg\operatorname {N} _{G}(H)=g\operatorname {N} _{G}(H)\}|{\pmod {p}}}$

따라서, ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)}$가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이면 된다. 만약 ${\displaystyle g\in G}$가 임의의 ${\displaystyle h\in H}$에 대하여

${\displaystyle hg\operatorname {N} _{G}(H)=g\operatorname {N} _{G}(H)}$

를 만족시킨다면, ${\displaystyle g^{-1}hg\in \operatorname {N} _{G}(H)}$이며, ${\displaystyle H}$는 p-군이므로 ${\displaystyle h}$의 위수는 ${\displaystyle p}$의 거듭제곱이다. 따라서 ${\displaystyle g^{-1}hgH}$의 (${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)/H}$에서의) 위수 역시 ${\displaystyle p}$의 거듭제곱이며, 또한 이는 ${\displaystyle {\frac {|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}{|H|}}}$의 약수이므로, ${\displaystyle g^{-1}hgH}$의 위수는 1이다. 즉, ${\displaystyle g^{-1}hgH=H}$이며, ${\displaystyle g^{-1}hg\in H}$이다. 즉, ${\displaystyle g\in \operatorname {N} _{G}(H)}$가 성립한다.

이 두 가지 사실을 종합하면 ${\displaystyle |H|=p^{n}}$을 얻는다. 이는

${\displaystyle |G|={\frac {|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}{|H|}}\cdot {\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}\cdot |H|}$

때문이다.

크기가 ${\displaystyle |H|=p^{n}}$인 쉴로브 p-부분군 ${\displaystyle H\subseteq G}$를 취하자. 임의의 p-부분군 ${\displaystyle K\subseteq G}$에 대하여, ${\displaystyle K\subseteq gHg^{-1}}$인 ${\displaystyle g\in G}$의 존재를 보이면 된다. 왼쪽 잉여류의 집합 ${\displaystyle G/H}$ 위에서 ${\displaystyle K}$가 다음과 같이 작용한다고 하자.

${\displaystyle K\times G/H\to G/H}$

${\displaystyle (k,gH)\mapsto kgH\qquad (k\in K,\;g\in G)}$

또한, ${\displaystyle G/H}$의 크기는 ${\displaystyle p}$와 서로소이므로, 궤도의 크기가 ${\displaystyle p}$와 서로소인 원소 ${\displaystyle gH\in G/H}$를 가지며, 이에 대한 안정자군은 ${\displaystyle K}$ 전체와 같다. 즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle K=K_{gH}=G_{gH}\cap K=gG_{H}g^{-1}\cap K=gHg^{-1}\cap K\subseteq gHg^{-1}}$

크기가 ${\displaystyle |H|=p^{n}}$인 쉴로브 p-부분군 ${\displaystyle H\subseteq G}$를 취하자. 임의의 p-부분군 ${\displaystyle K\subseteq G}$에 대하여, ${\displaystyle K\subseteq gHg^{-1}}$인 ${\displaystyle g\in G}$의 존재를 보이면 된다. 이중 잉여류들의 집합

${\displaystyle K\backslash G/H=\{KgH\colon g\in G\}}$

는 ${\displaystyle G}$의 분할을 이루므로, 다음이 성립한다.

${\displaystyle |G|=\sum _{KgH\in K\backslash G/H}|KgH|=\sum _{KgH\in K\backslash G/H}{\frac {|K||H|}{|K\cap gHg^{-1}|}}}$

즉,

${\displaystyle {\frac {|G|}{|H|}}=\sum _{KgH\in K\backslash G/H}{\frac {|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}}}$

이다. 또한 ${\displaystyle {\frac {|G|}{|H|}}}$는 ${\displaystyle p}$와 서로소이므로, ${\displaystyle {\frac {|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}}}$가 ${\displaystyle p}$와 서로소가 되는 ${\displaystyle g\in G}$가 존재한다. 즉, 이 ${\displaystyle g}$에 대하여

${\displaystyle {\frac {|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}}=1}$

이다. 따라서,

${\displaystyle K=K\cap gHg^{-1}\subseteq gHg^{-1}}$

이 성립한다.

쉴로브 p-부분군의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {Syl} (p;G)}$라고 하고, 이 위의 켤레 작용

${\displaystyle G\times \operatorname {Syl} (p;G)\to \operatorname {Syl} (p;G)}$

${\displaystyle (g,H)\mapsto gHg^{-1}\qquad (g\in G,\;H\in \operatorname {Syl} (p;G))}$

를 생각하자. 그렇다면, 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 추이적 작용이며, 임의의 ${\displaystyle H\in \operatorname {Syl} (p;G)}$에 대하여, 그 안정자군은 정규화 부분군 ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)}$이다. 따라서

${\displaystyle n(p^{n};G)=|{\operatorname {Syl} (p;G)}|={\frac {|G|}{|{\operatorname {N} _{G}(H)}|}}}$

이며, 이는

${\displaystyle {\frac {|G|}{|H|}}=m}$

의 약수이다.

이제, 임의의 ${\displaystyle H\in \operatorname {Syl} (p;G)}$에 제한된 켤레 작용

${\displaystyle H\times \operatorname {Syl} (p;G)\to \operatorname {Syl} (p;G)}$

${\displaystyle (h,K)\mapsto hKh^{-1}\qquad (h\in H,\;K\in \operatorname {Syl} (p;G))}$

를 생각하자. 이에 대한 류의 방정식에 의하여 합동식

${\displaystyle n(p^{n};G)\equiv |\{K\in \operatorname {Syl} (p;G)\colon \forall h\in H\colon hKh^{-1}=K\}|{\pmod {p}}}$

가 성립한다. 이제 ${\displaystyle H}$가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 ${\displaystyle K\in \operatorname {Syl} (p;G)}$가 임의의 ${\displaystyle h\in H}$에 대하여 ${\displaystyle hKh^{-1}=K}$를 만족시킨다면, ${\displaystyle H\subseteq \operatorname {N} _{G}(K)}$이며, 제2 쉴로브 정리에 의하여 다음을 만족시키는 ${\displaystyle g\in \operatorname {N} _{G}(K)}$가 존재한다.

${\displaystyle H=gKg^{-1}=K}$

따라서, 합동식

${\displaystyle n(p^{n};G)\equiv 1{\pmod {p}}}$

가 성립한다.

집합

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{S\in {\mathcal {S}}\colon |G_{S}|=p^{n}\}}$

을 생각하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$는 정확히 다음과 같은 집합이다.

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\bigsqcup _{H\in \operatorname {Syl} (p;G)}H\backslash G=\{Hg\colon H\in \operatorname {Syl} (p;G),\;g\in G\}}$

여기서 ${\displaystyle H\backslash G}$는 ${\displaystyle H}$의 오른쪽 잉여류들의 집합이다. (이는 모든 쉴로브 p-부분군이 자신의 오른쪽 잉여류의 안정자군이기 때문이다.) 따라서,

${\displaystyle |{\mathcal {T}}|=\sum _{H\in \operatorname {Syl} (p;G)}{\frac {|G|}{|H|}}=n(p^{n};G)m}$

이다.

임의의 ${\displaystyle S\in {\mathcal {S}}}$의 안정자군 ${\displaystyle G_{S}}$은 p-부분군이다. 이는 임의의 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle G_{S}s\subseteq S}$이므로, ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle G_{S}}$의 일부 오른쪽 잉여류들로 분할되기 때문이다. 특히, ${\displaystyle {\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}}$의 원소들의 안정자군은 p-부분군이다. 또한, ${\displaystyle {\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}}$는 ${\displaystyle G}$의 작용에 대하여 닫혀있으므로, ${\displaystyle {\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}}$ 속 궤도들의 대표원 ${\displaystyle \{S_{1},\dots ,S_{k}\}\subseteq {\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}}$를 취할 수 있으며, 이 경우

${\displaystyle |{\mathcal {S}}\setminus {\mathcal {T}}|=\sum _{i=1}^{k}{\frac {|G|}{|G_{S_{i}}|}}\equiv 0{\pmod {pm}}}$

가 성립한다.

또한,

${\displaystyle |{\mathcal {S}}|={\binom {p^{n}m}{p^{n}}}=m{\binom {p^{n}m-1}{p^{n}-1}}=m\prod _{k=1}^{p^{n}-1}{\frac {p^{n}m-k}{p^{n}-k}}\equiv m{\pmod {pm}}}$

가 성립한다. 이는 임의의 ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,p^{n}-1\}}$에 대하여, ${\displaystyle k}$의 소인수 ${\displaystyle p}$의 중복도가 ${\displaystyle e}$라고 할 때,

${\displaystyle p^{n-e}m-kp^{-e}\equiv p^{n-e}-kp^{-e}\not \equiv 0{\pmod {p}}}$

이기 때문이다.

이들 결론을 종합하면

${\displaystyle n(p^{n};G)m\equiv m{\pmod {pm}}}$

을 얻으며, ${\displaystyle m>0}$이므로

${\displaystyle n(p^{n};G)\equiv 1{\pmod {p}}}$

가 성립한다.

유한군 ${\displaystyle G}$와 소수 ${\displaystyle p}$가 주어졌다고 하자.

만약 ${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle G}$의 쉴로브 p-부분군이며, ${\displaystyle N}$이 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군이라면, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle H\cap N}$은 ${\displaystyle N}$의 쉴로브 p-부분군이다.
• ${\displaystyle HN/N}$은 ${\displaystyle G/N}$의 쉴로브 p-부분군이다.

만약 ${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle G}$의 p-부분군이며, ${\displaystyle H=\operatorname {N} _{G}(H)}$라면, ${\displaystyle H}$는 ${\displaystyle G}$의 쉴로브 p-부분군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

만약 ${\displaystyle \operatorname {O} (p;G)}$가 ${\displaystyle G}$의 모든 쉴로브 p-부분군의 교집합이라고 하면, ${\displaystyle \operatorname {O} (p;G)}$는 ${\displaystyle G}$의 특성 부분군이자 유일한 극대 정규 p-부분군이다. 만약 ${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle G}$의 정규 쉴로브 p-부분군이라면, ${\displaystyle n(p^{n};G)=1}$이며, ${\displaystyle H=\operatorname {O} (p;G)}$는 ${\displaystyle G}$의 유일한 쉴로브 p-부분군이다.

다음과 같은 조건을 생각하자.

• ${\displaystyle \operatorname {O} (p;G)=H\cap K}$인 두 쉴로브 p-부분군 ${\displaystyle H,K\subseteq G}$가 존재한다.

이 조건의 일부 충분 조건들은 다음과 같다.^[1]

• ${\displaystyle p}$는 홀수 비(非)메르센 소수이다.
• ${\displaystyle |G|}$는 홀수이다.
• ${\displaystyle p=2}$이며, ${\displaystyle |G|}$는 페르마 소수나 메르센 소수를 소인수로 갖지 않는다.

 이 부분의 본문은 프라티니 논증입니다.

만약 ${\displaystyle N}$이 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군이며, ${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle N}$의 쉴로브 p-부분군이라면, ${\displaystyle G=N\operatorname {N} _{G}(H)}$이다. 이를 프라티니 논증이라고 한다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 증명할 수 있다. 만약 ${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle G}$의 쉴로브 p-부분군, ${\displaystyle K}$가 ${\displaystyle G}$의 부분군이며, ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)\subseteq K}$라면, ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(K)=K}$이다. 특히, ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(\operatorname {N} _{G}(H))=\operatorname {N} _{G}(H)}$가 성립한다.

실로우의 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 몇 가지 대표적인 것들은 다음과 같다. ${\displaystyle p}$와 ${\displaystyle q}$가 소수이며, ${\displaystyle p<q}$라고 하자.

• ${\displaystyle p\nmid q-1}$일 경우, 크기가 ${\displaystyle pq}$인 군은 순환군과 동형이다.
• ${\displaystyle p\mid q-1}$일 경우, 크기가 ${\displaystyle pq}$이며, 아벨 군이 아닌 군들은 모두 서로 동형이다.
• 크기가 ${\displaystyle p^{m}q^{n}}$ (${\displaystyle m,n\in \{1,2\}}$)인 군은 단순군이 아니다. 이는 번사이드 정리의 특수한 경우다.

노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브가 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.

• 쉴로브 기저

• “Sylow theorems”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Sylow theorems”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.