정규 부분군

군론에서 정규 부분군(正規部分群, 영어: normal subgroup)은 내부자기동형사상에 대해 불변인 부분군을 말한다. 정규 부분군에 대하여 몫군을 취할 수 있다.

군 ${\displaystyle G}$의 부분군 ${\displaystyle N\leq G}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분군을 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여, ${\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N}$
• 임의의 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여, ${\displaystyle gNg^{-1}=N}$. 즉, 내부자기동형사상에 대하여 불변이다.
• 임의의 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여, ${\displaystyle gN=Ng}$. 즉, 좌잉여류와 우잉여류가 일치한다.
• ${\displaystyle \ker \phi =N}$인 군 준동형 ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$가 존재한다.
• 정규화 부분군이 ${\displaystyle G}$ 전체이다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(N)=G}$이다.
• 정규핵이 자기 자신이다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {Core} _{G}(N)=N}$이다.

${\displaystyle N}$이 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군임을 다음과 같이 표기한다.

${\displaystyle N\vartriangleleft G}$

군 ${\displaystyle G}$의 부분군 ${\displaystyle N\leq G}$이 정규 부분군이 될 충분 조건은 다음이 있다.

• ${\displaystyle G}$는 아벨 군이다.
• ${\displaystyle N}$은 ${\displaystyle G}$의 중심이다.
• ${\displaystyle N}$은 자명군이다.
• ${\displaystyle N=G}$이다.
• ${\displaystyle G}$는 유한군이며, ${\displaystyle N}$의 지표 ${\displaystyle |G|/|N|}$는 ${\displaystyle |G|}$의 가장 작은 소인수이다.
• ${\displaystyle G}$는 유한군이며, ${\displaystyle N}$의 지표 ${\displaystyle |G|/|N|}$는 2이다.
• ${\displaystyle N}$은 ${\displaystyle G}$의 특성 부분군이다.

군 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군 ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$가 주어졌다면, 몫군 ${\displaystyle G/N}$에서 ${\displaystyle N}$의 외부자기동형군 ${\displaystyle \operatorname {Out} N}$로 가는 자연스러운 군 준동형이 존재한다.

${\displaystyle G/N\to \operatorname {Out} N=\operatorname {Aut} N/\operatorname {Inn} N}$

이는 다음과 같은 가환 그림에 의하여 정의된다. 여기서 길이가 5인 행 및 열은 짧은 완전열이다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Z} (N)&\hookrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)&\twoheadrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)/\operatorname {Z} (N)&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &N&\hookrightarrow &G&\twoheadrightarrow &G/N&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Inn} N&\hookrightarrow &\operatorname {Aut} N&\twoheadrightarrow &\operatorname {Out} N&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}}$

여기서 준동형 ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} N}$은 ${\displaystyle g\mapsto (n\mapsto gng^{-1})}$이며, ${\displaystyle N\to \operatorname {Inn} N}$은 ${\displaystyle n\mapsto (m\mapsto nmn^{-1})}$이다.

특히, ${\displaystyle N}$이 아벨 정규 부분군일 경우, ${\displaystyle \operatorname {Inn} N}$이 자명군이며 ${\displaystyle \operatorname {Out} N\cong \operatorname {Inn} N}$이므로, 다음과 같은 자연스러운 군 준동형을 얻는다.

${\displaystyle G/N\to \operatorname {Aut} N}$

${\displaystyle gN\mapsto (n\mapsto gng^{-1})}$

유클리드 군 ${\displaystyle \operatorname {IO} (n)=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {O} (n)}$은 평행 이동의 군 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$을 정규 부분군으로 갖는다. 반면, 회전군 ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$은 부분군이지만 정규 부분군이 아니다.

정규 부분군의 중요성을 처음으로 인식한 사람은 에바리스트 갈루아였다.

• 단순군
• 특성 부분군
• 아이디얼

• Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra》 (영어) 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. OCLC 248917264. Zbl 1037.00003.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

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• “Normal subgroup”. 《Groupprops》 (영어). 2015년 3월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 30일에 확인함. 
• “Nonstandard definitions of normal subgroup”. 《Groupprops》 (영어). 2015년 4월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 30일에 확인함. 
• “Abelian normal subgroup”. 《Groupprops》 (영어). 2015년 4월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 30일에 확인함.