연속 쌍대 공간

함수해석학에서 연속 쌍대 공간(連續雙對空間, 영어: continuous dual space)은 주어진 위상 벡터 공간 위의 연속 선형 범함수들로 구성된 벡터 공간이다. 그 위에 다양한 위상을 부여할 수 있다. 이는 유한 차원의 경우 (대수적) 쌍대 공간과 일치하나, 무한 차원일 경우 대수적 쌍대 공간의 부분 집합이다.

위상환 ${\displaystyle K}$ 위의 위상 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{K}V}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle V}$의 연속 쌍대 가군(連續雙對加群, 영어: continuous dual module) ${\displaystyle V^{*}}$는 쌍대 가군

${\displaystyle V^{\vee }=\hom(_{K}V,_{K}K)}$

가운데, 연속 함수 ${\displaystyle f\colon V\to K}$를 이루는 것들의 부분 집합이다.^{[1]:48, §II.4[2]:129, §V.1} 이는 자연스럽게 ${\displaystyle K}$-위상 오른쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로 위상 오른쪽 가군의 연속 쌍대 가군을 정의할 수 있으며, 이는 위상 왼쪽 가군을 이룬다.

만약 ${\displaystyle K}$가 위상체라면, 그 위의 위상 벡터 공간의 연속 쌍대 가군은 연속 쌍대 공간이라고 한다.

연속 쌍대 공간 위에는 흔히 강한 위상과 약한-* 위상이라는 두 위상이 사용된다.

• 강한 위상에서, 연속 쌍대 공간의 모든 원소는 (유계 집합에 제한되었을 때) 균등 연속 함수를 이룬다.
• 약한-* 위상에서, 연속 쌍대 공간의 모든 원소는 연속 함수를 이룬다.

보통, 특별한 부가 설명이 없다면 강한 위상을 의미한다.

만약 어떤 위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$가 어떤 위상 벡터 공간 ${\displaystyle W}$의 (강한 위상을 부여한) 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle W'}$과 동형이라면, ${\displaystyle W}$를 ${\displaystyle V}$의 원쌍대 공간(原雙對空間, 영어: predual space)이라고 한다. 원쌍대 공간은 유일하지 않을 수 있으며, 존재하지 않을 수도 있다.

위상환 ${\displaystyle K}$은 (덧셈에 대하여 아벨 위상군이므로) 자연스럽게 균등 공간을 이룬다.

${\displaystyle V}$의 유계 집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 ${\displaystyle B\subseteq V}$이다.

• 임의의 ${\displaystyle 0\in V}$의 근방 ${\displaystyle N\ni 0}$에 대하여, ${\displaystyle B\subseteq \alpha N}$이 되는 ${\displaystyle \alpha \in K}$가 존재한다.

${\displaystyle V}$의 유계 집합들의 족 ${\displaystyle \operatorname {Born} (V)}$은 ${\displaystyle V}$의 덮개를 이룬다.

그렇다면, 덮개 ${\displaystyle \operatorname {Born} (V)}$에 대한, 함수 공간 ${\displaystyle K^{V}}$ 위의 균등 수렴 위상을 정의할 수 있다. 연속 쌍대 가군 ${\displaystyle V^{*}}$ 위의 강한 위상은 유계 집합에 대한 균등 수렴 위상이다. 즉, 유계 집합 ${\displaystyle B\subseteq V}$에 제한하였을 때 그 원소들 ${\displaystyle \{\phi \upharpoonright B\colon \phi \in V^{*}\}}$이 모두 균등 연속 함수가 되게 하는 가장 엉성한 위상이다.

만약 ${\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$이며 ${\displaystyle V}$가 노름 공간이라면, ${\displaystyle V^{*}}$ 위의 강한 위상은 쌍대 노름으로 정의되는 거리 위상과 같다.

연속 쌍대 공간 위에는 강한 위상 대신 약한-* 위상(弱한-* 位相, 영어: weak-* topology, "약한-스타 위상"으로 읽음)을 부여할 수 있다. (이 이름은 원래 위상 가군 위의 약한 위상과 구별하기 위한 것이다.)

구체적으로, 위상환 ${\displaystyle K}$ 위의 위상 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{K}V}$이 주어졌다고 하자. 이중 연속 쌍대 가군으로의 자연스러운 포함 사상

${\displaystyle \iota \colon V\to V^{**}}$

${\displaystyle \iota \colon v\mapsto (\phi \mapsto \phi (v))}$

을 생각하자. 그렇다면, 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle V^{*}}$ 위의 약한-* 위상은 범함수족 ${\displaystyle \{\iota (v)\colon v\in V\}}$로 생성되는 시작 위상이다. 즉, 구체적으로 모든 열린집합 ${\displaystyle U\subset K}$와 모든 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여

${\displaystyle v^{-1}(U)=\{\phi \in V^{\vee }\colon \phi (v)\in U\}\subset V^{\vee }}$

꼴의 집합들을 부분 기저로 한다.

약한-* 위상은 강한 위상보다 더 섬세한 위상이다.

만약 ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$이며, ${\displaystyle (V,\|\|_{V})}$가 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle V^{*}}$ 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.

${\displaystyle \|\phi \|_{V^{*}}=\sup _{\scriptstyle v\in V \atop \scriptstyle \|v\|_{V}\leq 1}|\phi (v)|}$

이를 쌍대 노름(雙對norm, 영어: dual norm)이라고 하며, 이는 작용소 노름의 특수한 경우이다.

이에 따라, ${\displaystyle (V^{*},\|\|_{V^{*}})}$은 항상 바나흐 공간을 이룬다.

일반적으로 위상환 위의 연속 쌍대 가군은 (대수적) 쌍대 가군의 부분 가군을 이룬다.

즉, 임의의 위상환 ${\displaystyle K}$ 위의 위상 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{K}V}$에 대하여, 연속 쌍대 가군에서 (대수적) 쌍대 가군 ${\displaystyle V^{\vee }}$으로 가는, 다음과 같은 표준적 단사 ${\displaystyle K}$-선형 변환이 존재한다.

${\displaystyle V^{*}\to V^{\vee }}$

그러나 위 사상은 일반적으로 전단사 함수가 아니다.

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$에 대하여, ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간 ${\displaystyle V}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle V^{*}}$이 (쌍대 노름 위상에 대하여) 분해 가능 공간이라면, ${\displaystyle V}$ 역시 (노름 위상에 대하여) 분해 가능 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 르베그 공간 ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}$는 분해 가능 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간이지만, 그 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {K} )}$는 분해 가능 공간이 아닌 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간이다.

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$에 대하여, ${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$와 그 부분 벡터 공간 ${\displaystyle W\subseteq V}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연스러운 제한 사상

${\displaystyle (\upharpoonright W)\colon V^{*}\mapsto W^{*}}$

${\displaystyle (\upharpoonright W)\colon \phi \mapsto \phi \upharpoonright W}$

이 존재한다. 이는 선형 변환이다.

만약 ${\displaystyle V}$가 추가로 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-국소 볼록 공간이라면, ${\displaystyle (\upharpoonright W)}$는 전사 함수이다.^{[2]:129, Theorem V.3}

임의의 위상환 ${\displaystyle K}$ 위의 위상 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{K}V}$에 대하여, 다음과 같은 자연스러운 연속 선형 변환이 존재한다.

${\displaystyle V\to V^{**}}$

${\displaystyle v\mapsto (\phi \mapsto \phi (v))}$

만약 ${\displaystyle V}$가 하우스도르프 국소 볼록 공간이라면, 이 사상은 단사 함수이다.

만약 ${\displaystyle V}$가 노름 공간이라면, 이 사상은 한-바나흐 정리에 따라서 등거리 변환이다 (그러나 전단사 함수가 아닐 수 있다). 만약 이 사상이 전단사 함수라면, ${\displaystyle V}$를 반사 바나흐 공간(反射Banach空間, 영어: reflexive Banach space)이라고 한다. (이러한 노름 공간은 물론 항상 바나흐 공간이어야 한다.)

바나흐-앨러오글루 정리(-定理, 영어: Banach–Alaoglu theorem)에 따르면, 노름 공간의 연속 쌍대 공간의 닫힌 공은 약한-* 위상 아래 콤팩트 집합이다.

구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$
• ${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 쌍대 공간 ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle 0\in V}$의 근방 ${\displaystyle 0\in N\subseteq V}$

그렇다면, 다음을 구성할 수 있다.

• ${\displaystyle V}$의 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle V^{*}}$. 이 역시 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간을 이룬다.
• 집합 ${\displaystyle N^{\circ }=\{\phi \in V^{*}\colon \forall v\in N\colon |\phi (v)|\leq 1\}\subseteq V^{*}}$.
• ${\displaystyle V^{*}}$ 위에는 쌍대 노름에 대한 거리 위상 대신 약한-* 위상을 부여할 수 있다.

바나흐-앨러오글루-부르바키 정리(-定理, 영어: Banach–Alaoglu–Bourbaki theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle N^{\circ }}$에 약한-* 위상을 부여했을 때, 이는 콤팩트 공간을 이룬다.

그 특수한 경우로, 만약 ${\displaystyle V}$가 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간이며,

${\displaystyle N=\{v\in V\colon \|v\|_{V}\leq 1\}}$

이 그 속의 단위 닫힌 공이라고 할 때,

${\displaystyle N^{\circ }=\{\phi \in V^{*}\colon \|\phi \|_{V^{*}}\leq 1\}}$

은 ${\displaystyle V^{*}}$의 단위 닫힌 공이다. 이에 따라, 노름 공간의 쌍대 노름 공간의 닫힌 공은 약한-* 위상에서 콤팩트 공간을 이룬다. 이 특수한 경우를 바나흐-앨러오글루 정리라고 한다.

바나흐-앨러오글루(-부르바키) 정리의 증명은 티호노프 정리, 즉 선택 공리의 한 형태를 필요로 한다.^[3]

임의의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간 ${\displaystyle (V,\|\|_{V})}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 이중 연속 쌍대 공간으로 가는 표준적 사상

${\displaystyle \iota \colon V\to V^{**}}$

을 생각하자. 이는 단사 함수이자 등거리 변환이므로, 이 경우, ${\displaystyle V}$의 단위 닫힌 공

${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V}(0,1))}$

의 상은 ${\displaystyle V^{**}}$의 단위 닫힌 공

${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V^{**}}(0,1))}$

의 부분 집합이다. 이제, ${\displaystyle V^{**}}$에 약한-* 위상을 부여했을 때, ${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V}(0,1))}$는 ${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V^{**}}(0,1))}$의 조밀 집합이다 (골드스틴 정리 -定理, 영어: Goldstine theorem).

그러나 골드스틴 정리는 노름 위상에서는 성립하지 않는다.

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$이고, ${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}}$이 (곱위상을 갖춘) 유한 차원 위상 벡터 공간이라면, ${\displaystyle V}$의 연속 쌍대 공간은 (대수적) 쌍대 공간과 ${\displaystyle K}$-벡터 공간으로서 같다.

그러나 예를 들어 ${\displaystyle V}$가 무한 차원 힐베르트 공간이라면 ${\displaystyle V}$의 대수적 쌍대 공간은 연속 쌍대 공간보다 훨씬 더 크다.

 이 부분의 본문은 르베그 공간입니다.

다음과 같은 르베그 공간을 생각하자.

${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {C} )=\operatorname {L} ^{p}(\mathbb {N} ;\mathbb {C} )=\left\{(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }\colon \sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|^{p}<\infty \right\}}$

이 경우, 노름

${\displaystyle \|a\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|^{p}}}}$

을 부여하면 이는 ${\displaystyle 1<p<\infty }$에 대하여 바나흐 공간을 이룬다.

이 경우, 만약 ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$이라면, ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {C} )}$의 연속 쌍대 공간은 ${\displaystyle \ell ^{q}(\mathbb {C} )}$이다.

또한, ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {C} )}$의 연속 쌍대 공간은 유계 수열 공간

${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {C} )=\left\{(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }\colon \sup _{i\in \mathbb {N} }|a_{i}|<\infty \right\}}$

이다.

 이 부분의 본문은 수렴 수열 공간입니다.

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간을 정의할 수 있다.

• 수렴 수열 공간 ${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-수열 가운데 수렴하는 것들의 공간이다.
• 영 수렴 수열 공간 ${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-수열 가운데 0으로 수렴하는 것들의 공간이다.

두 경우 다 부여되는 노름은 ∞-노름 ${\displaystyle \textstyle \|a\|_{\infty }=\sup _{i\in \mathbb {N} }|a_{i}|}$이다.

이 경우, ${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}$의 연속 쌍대 공간과 ${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}$의 연속 쌍대 공간 둘 다 1-르베그 공간 ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}$이다. 그러나 ${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}$와 ${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}$는 서로 (${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간으로서) 동형이 아니다.

내적 공간의 연속 쌍대 공간은 힐베르트 공간이며, 원래 내적 공간은 그 연속 쌍대 공간의 조밀 집합을 이룬다. 특히, 힐베르트 공간은 스스로의 연속 쌍대 공간과 (반)동형이다 (리스 표현 정리 Riesz表現定理, 영어: Riesz representation theorem).

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$
• ${\displaystyle \mathbb {K} }$-내적 공간 ${\displaystyle (V,\langle -,-\rangle _{V})}$

그렇다면, ${\displaystyle V}$의 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle V^{*}}$은 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간이다. 이 경우, ${\displaystyle V^{*}}$은 항상 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간이다. 또한, 다음과 같은 함수를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \iota \colon V\to V^{*}}$

${\displaystyle \iota \colon v\mapsto \langle v,-\rangle }$

리스 표현 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$-선형 변환이며, 만약 ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$일 경우, 추가로 반선형 변환이다. 즉, ${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} \colon \iota (\lambda v)={\bar {\lambda }}\iota (v)}$이다.
• 단사 함수이다.
• (${\displaystyle V^{*}}$의 쌍대 노름에 대하여) 등거리 변환이다.
• ${\displaystyle \iota }$의 치역은 (${\displaystyle V^{*}}$의 쌍대 노름에 대하여) ${\displaystyle V^{*}}$의 조밀 집합이다. 이에 따라, ${\displaystyle V}$의 내적을 ${\displaystyle V^{*}}$ 위에 연속적으로 연장할 수 있다.

  ${\displaystyle \langle \lim _{i}u_{i},\lim _{j}v_{j}\rangle _{V^{*}}=\lim _{i,j}\langle u_{i},v_{i}\rangle }$

• 이에 따라 ${\displaystyle V^{*}}$은 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간을 이루며, ${\displaystyle V}$는 그 조밀 집합이다.
• 특히, ${\displaystyle V}$가 이미 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간일 때, ${\displaystyle \iota }$는 전단사 함수이며, ${\displaystyle \iota }$는 스스로의 연속 쌍대 공간과의 반동형 사상(反同型寫像, 영어: anti-isomorphism)을 이룬다. (물론, 만약 ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$라면 이는 동형 사상이다.)

특히, ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간은 항상 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-반사 바나흐 공간이다.

만약 ${\displaystyle V}$가 국소 볼록 공간이라면, 이중 연속 쌍대 공간으로의 표준적 사상 ${\displaystyle V\to V^{**}}$은 단사 함수이며, 따라서 만약 ${\displaystyle V\neq \{0\}}$라면 ${\displaystyle V^{*}\neq \{0\}}$이다. 그러나 국소 볼록 공간 조건을 가정하지 않으면, ${\displaystyle V\neq \{0\}}$이지만 ${\displaystyle V^{*}=\{0\}}$일 수 있다.

구체적으로, ${\displaystyle 0<p<1}$이라고 하자. 그렇다면, 구간 위의 ${\displaystyle p}$-르베그 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )}$의 연속 쌍대 공간은 자명하다.^{[4]:816, Theorem 1}

${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )^{*}=\{0\}}$

콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주를 ${\displaystyle \operatorname {CompHaus} }$라고 표기하고, 실수 바나흐 공간과 유계 작용소의 범주를 ${\displaystyle \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }}$로 표기하자.

그렇다면, 다음과 같은 함자들이 존재한다.

${\displaystyle {\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )\colon \operatorname {CompHaus} \to \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )\colon V\mapsto {\mathcal {C}}(V;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )\colon (f\colon X\to Y)\mapsto (g\in {\mathcal {C}}(Y;\mathbb {R} )\mapsto f\circ g)}$

${\displaystyle (-)^{*}\colon \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }}$

${\displaystyle (-)^{*}\colon V\mapsto V^{*}}$

${\displaystyle (-)^{*}\colon (T\colon V\to W)\mapsto (T^{*}\colon W^{*}\to V^{*})}$

여기서 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle (-)^{*}}$에는 강한 위상을 부여한다.

이 밖에도, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

${\displaystyle M\colon \operatorname {CompHaus} \to \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }}$

콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, ${\displaystyle M(X)}$는 ${\displaystyle X}$ 위의 부호를 갖는 실수 유한 보렐 측도들의 집합이다. 즉, ${\displaystyle X}$ 위의 베르 시그마 대수 ${\displaystyle \operatorname {Baire} (X)}$ 위의 두 측도 ${\displaystyle (\mu _{1},\mu _{2})}$의 차들의 동치류 집합이다. ${\displaystyle M}$ 위에서 측도의 전변동은 노름을 정의하며, 이에 따라 ${\displaystyle M(X)}$는 실수 바나흐 공간을 이룬다.

임의의 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle M(f)\colon M(X)\to M(Y)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle f(\mu )(S)=\mu (f^{-1}(S))\qquad \forall S\in \operatorname {Baire} (Y)}$

그렇다면, 리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리(Riesz-Марков-[角谷]表現定理, 영어: Riesz–Markov–Kakutani representation theorem)에 따르면, 다음과 같은 자연 동형 ${\displaystyle \textstyle \int \colon M\Rightarrow (-)^{*}\circ {\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )}$이 존재한다.^[5]

${\displaystyle \int _{X}\colon M(X)\to {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )^{*}\qquad (X\in \operatorname {CompHaus} )}$

${\displaystyle \int _{X}\colon \mu \mapsto \left(f\mapsto \int _{X}f\;\mathrm {d} \mu \right)}$

즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }\\&^{{\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )}\nearrow &{\color {White}\scriptstyle \int }\Uparrow {\scriptstyle \int }&\searrow ^{(-)^{*}}\\&\operatorname {CompHaus} &{\xrightarrow[{M(-)}]{}}&\operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }\end{matrix}}}$

리스-마르코프-가쿠타니 정리는 콤팩트 하우스도르프 공간에서 국소 콤팩트 하우스도르프 공간으로 쉽게 일반화할 수 있다. 이 경우, 임의의 연속 함수를 콤팩트 지지 연속 함수로 대체하여야 한다.

${\displaystyle X}$가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle M(X)}$를 ${\displaystyle X}$ 위의 국소 유한 베르 측도의 집합(즉, 모든 콤팩트 집합이 유한 측도를 갖는 측도)이라고 하자. 이에 전변동을 노름으로 삼으면 이는 바나흐 공간을 이룬다.

또한, ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}(X,\mathbb {R} )}$가 무한에서 0이 되는 실수 값 연속 함수 ${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$의 집합이라고 하자. 이 역시 실수 바나흐 공간을 이룬다. 그렇다면, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.

${\displaystyle \int \colon M\Rightarrow (-)^{*}\circ {\mathcal {C}}_{0}(-;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \int _{X}\colon M(X)\to {\mathcal {C}}_{0}(M;\mathbb {R} )\qquad (X\in \operatorname {lcHaus} )}$

${\displaystyle \int _{X}\colon \mu \mapsto \int _{X}f\;\mathrm {d} \mu }$

즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }\\&^{{\mathcal {C}}_{0}(-;\mathbb {R} )}\nearrow &{\color {White}\scriptstyle \int }\Uparrow {\scriptstyle \int }&\searrow ^{(-)^{*}}\\&\operatorname {lcHaus} &{\xrightarrow[{M(-)}]{}}&\operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }\end{matrix}}}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {lcHaus} }$는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }}$는 실수 바나흐 공간과 유계 작용소의 범주이다.

특히, 따라서, 임의의 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음과 같은 실수 위상 벡터 공간들의 동형이 존재한다.

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(X;\mathbb {R} )^{*}\cong {\mathcal {C}}_{0}^{0}(X;\mathbb {R} )\cong M(X;\mathbb {R} )}$

여기서

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(X;\mathbb {R} )}$는 콤팩트 지지 실수 값 함수 ${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$들의 실수 노름 공간이다. 이 경우 균등 노름을 부여한다.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}(X;\mathbb {R} )}$는 무한대에서 0이 되는 연속 함수의 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \sup _{x\in X\setminus K}\|f(x)\|<\epsilon }$인 콤팩트 집합 ${\displaystyle K\subseteq X}$가 존재한다. 이 경우 균등 노름을 부여한다. 이는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(X;\mathbb {R} )}$의 완비화이다.

리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리에 따라, 다음 위상 벡터 공간들이 서로 동형이다.

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )^{*}={\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )^{*}=\operatorname {L} ^{1}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )}$

여기서

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )=\{s\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\colon \exists N\in \mathbb {N} \forall i\geq N\colon s_{i}=0\}}$는 유한 지지 실수열들의 노름 공간이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )=\{s\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\colon \textstyle \lim _{i\in \mathbb {N} }s_{i}=0\}}$는 유계 수열로 구성된 바나흐 공간이며, ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )}$의 완비화이다.
• ${\displaystyle \ell ^{1}=L^{1}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )=\{s\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\colon \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }|s|<\infty \}}$는 절대 수렴 실수열들의 바나흐 공간이다.

 이 부분의 본문은 대각합류 작용소입니다.

복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle H}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 모든 ${\displaystyle H\to H}$ 유계 작용소들의 폰 노이만 대수 ${\displaystyle \operatorname {B} (H)}$ 및 그 부분 집합인, 대각합류 작용소들의 복소수 바나흐 공간 ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{1}(H)\subseteq \operatorname {B} (H)}$을 정의할 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{1}(H)}$의 연속 쌍대 공간은 ${\displaystyle \operatorname {B} (H)}$와 동형이다. 구체적으로, 임의의 ${\displaystyle A\in {\mathfrak {S}}_{1}(H)}$ 및 ${\displaystyle B\in \operatorname {B} (H)}$에 대하여,

${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$

이다. (다시 말해, 대각합류 작용소와 유계 작용소의 합성은 항상 대각합류 작용소이다.)

특히, 이에 따라 ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{1}(H)^{*}\cong \operatorname {B} (H)}$ 위에 약한-* 위상을 정의할 수 있다. 이를 초약 위상(超弱位相, 영어: ultraweak topology)이라고 한다.

 이 부분의 본문은 폰 노이만 대수입니다.

C* 대수 ${\displaystyle A}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle A}$는 (복소수 바나흐 공간으로서) 원쌍대 공간을 갖는다.
• ${\displaystyle A}$는 폰 노이만 대수이다.

이 경우, ${\displaystyle A}$의 원쌍대 공간 ${\displaystyle A_{*}}$은 동형 사상 아래 유일하다.

구체적으로, 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle H}$에 대하여 ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {B} (H)}$이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle A}$의 원쌍대 공간 ${\displaystyle A_{*}}$는 복소수 선형 변환 ${\displaystyle \phi \colon A\to \mathbb {C} }$ 가운데, ${\displaystyle A}$에 초약 위상을 부여했을 때 연속 함수가 되는 것들로 구성된 집합이다.

1907년에 리스 프리제시^[6]와 모리스 르네 프레셰^[7]가 각각 독자적으로 1907년에 힐베르트 공간의 리스 표현 정리를 증명하였다.

1909년에 리스 프리제시는 리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리를 실수 폐구간의 경우에 대하여 증명하였다.^[8][9] 이후 안드레이 마르코프^[10]와 가쿠타니 시즈오^[11]가 이를 일반화하였다.

스테판 바나흐가 1932년에 바나흐-앨러오글루 정리의 특수한 경우를 증명하였고,^{[12]:123, §VIII.4, Théorème VII.3} 1940년에 리오니더스 앨러오글루가 이를 임의의 노름 공간에 대하여 일반화하였다.^[13] 니콜라 부르바키는 같은 해에 이를 임의의 위상 벡터 공간에 대하여 일반화하였다.

국소 볼록 공간의 쌍대성 이론은 고트프리트 쾨테(영어: Gottfried Köthe) · 장 디외도네 · 조지 매키(영어: George Mackey) 등이 1930년대에 제창하였다. 이후 로랑 슈와르츠와 알렉산더 그로텐디크 등이 그 이론에 공헌하였고, 이후 니콜라 부르바키가 그 이론을 1950년대에 집대성하였다.^[14][15]

• “Adjoint space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Weak topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
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