노름 은 여기로 연결됩니다. 다른 뜻에 대해서는
노름 (동음이의) 문서를 참고하십시오.
선형대수학 및 함수해석학 에서 노름 공간 (norm空間, 영어 : normed space )은 원소들에 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’가 부여된 벡터 공간 이다. 이러한 크기는 노름 (영어 : norm 놈[* ] )이라고 하며, 삼각 부등식 을 따라 거리 함수 를 정의한다.
노름 공간의 정의에서, 하우스도르프 조건 을 생략하면 반노름 공간 (半norm空間, 영어 : seminormed space )의 개념을 얻는다. 즉, 노름이 0인 벡터는 영벡터 밖에 없지만, 반노름 (半norm, 영어 : seminorm )이 0인 벡터는 영벡터가 아닐 수 있다.
삼각 부등식을 아래 부등식으로 변형하면 양의 실수 K에 대한 준노름이 된다. ‖ x + y ‖ ≤ K ( ‖ x ‖ + ‖ y ‖ ) {\displaystyle \|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)}
K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 실수체 또는 복소수체 라고 하자.
K {\displaystyle \mathbb {K} } 벡터 공간 V {\displaystyle V} 반노름 은 다음 두 조건들을 만족하는 함수
‖ ⋅ ‖ : V → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \lVert \cdot \rVert \colon V\to [0,\infty )} ‖ ⋅ ‖ : v ↦ ‖ v ‖ {\displaystyle \lVert \cdot \rVert \colon v\mapsto \Vert v\Vert } 이다.[ 1] :25, §1.33
(양의 동차성) 임의의 a ∈ K {\displaystyle a\in K} v ∈ V {\displaystyle v\in V} ‖ a v ‖ = | a | ‖ v ‖ {\displaystyle \Vert av\Vert =|a|\Vert v\Vert } (삼각 부등식 ) 임의의 u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} ‖ u + v ‖ ≤ ‖ u ‖ + ‖ v ‖ {\displaystyle \Vert u+v\Vert \leq \Vert u\Vert +\Vert v\Vert } 반노름이 주어진 K {\displaystyle \mathbb {K} } 벡터 공간 ( V , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )} K {\displaystyle \mathbb {K} }
V {\displaystyle V} 노름 은 다음 조건을 추가로 만족하는 반노름 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \lVert \cdot \rVert } [ 1] :3–4, §1.2
(양의 정부호성) 모든 v ∈ V {\displaystyle v\in V} ‖ v ‖ = 0 {\displaystyle \Vert v\Vert =0} v = 0 {\displaystyle v=0} 동치 이다. 노름이 주어진 K {\displaystyle \mathbb {K} } 벡터 공간 ( V , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )} K {\displaystyle \mathbb {K} } [ 1] :3–4, §1.2
K {\displaystyle \mathbb {K} } 벡터 공간 V {\displaystyle V} 부분 집합 S ⊆ V {\displaystyle S\subseteq V} 민코프스키 범함수 (영어 : Minkowski functional )는 다음과 같다.
μ S : V → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu _{S}\colon V\to [0,\infty ]} μ S ( v ) = inf { t ∈ R + : v ∈ t S } {\displaystyle \mu _{S}(v)=\inf\{t\in \mathbb {R} ^{+}\colon v\in tS\}} K {\displaystyle \mathbb {K} } 벡터 공간 V {\displaystyle V} 반노름 은 다음 조건을 만족시키는 함수
‖ ⋅ ‖ : V → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \lVert \cdot \rVert \colon V\to [0,\infty ]} ‖ ⋅ ‖ : v ↦ ‖ v ‖ {\displaystyle \lVert \cdot \rVert \colon v\mapsto \Vert v\Vert } 이다.
(흡수성에 따라 반노름의 값은 항상 유한하다.) 이 정의는 반노름의 통상적 정의와 동치 이다.
K {\displaystyle \mathbb {K} } ( V i ) i ∈ I {\displaystyle (V_{i})_{i\in I}} 1 ≤ p < ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty } 직합
V = ⨁ i V i {\displaystyle V=\bigoplus _{i}V_{i}} 에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.
‖ ( v i ) i ∈ I ‖ p = ‖ v i ‖ V i p p {\displaystyle \|(v_{i})_{i\in I}\|_{p}={\sqrt[{p}]{\|v_{i}\|_{V_{i}}^{p}}}} 그렇다면, ( V , ‖ ⋅ ‖ p ) {\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert _{p})}
K {\displaystyle \mathbb {K} } V {\displaystyle V} K {\displaystyle \mathbb {K} } W ⊆ V {\displaystyle W\subseteq V} W {\displaystyle W} V {\displaystyle V} W {\displaystyle W} K {\displaystyle \mathbb {K} }
K {\displaystyle \mathbb {K} } V {\displaystyle V} 닫힌 K {\displaystyle \mathbb {K} } W ⊆ V {\displaystyle W\subseteq V} V / W {\displaystyle V/W}
‖ v + W ‖ V / W = inf w ∈ W ‖ v + w ‖ V {\displaystyle \|v+W\|_{V/W}=\inf _{w\in W}\|v+w\|_{V}} 그렇다면 V / W {\displaystyle V/W} K {\displaystyle \mathbb {K} }
K {\displaystyle \mathbb {K} } ( V , ‖ ‖ ) {\displaystyle (V,\|\|)} 연속 쌍대 공간 V ′ {\displaystyle V'} 쌍대 노름
‖ f ‖ V ′ = sup v ∈ V ∖ { 0 } | f ( v ) | ‖ v ‖ V {\displaystyle \|f\|_{V'}=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {|f(v)|}{\|v\|_{V}}}} 을 부여할 수 있으며, 이에 따라 V ′ {\displaystyle V'} K {\displaystyle \mathbb {K} }
임의의 K {\displaystyle \mathbb {K} } ( V , ‖ ‖ ) {\displaystyle (V,\|\|)} K {\displaystyle \mathbb {K} }
N = { v ∈ V : ‖ v ‖ = 0 } {\displaystyle N=\{v\in V\colon \|v\|=0\}} 그렇다면, 몫공간 V / N {\displaystyle V/N} 르베그 공간 의 정의에 등장한다.
K {\displaystyle \mathbb {K} } ( V , ‖ ‖ ) {\displaystyle (V,\|\|)} 거리 공간 으로서의) 완비화 V ¯ {\displaystyle {\bar {V}}}
‖ v ¯ ‖ V ¯ = lim i → ∞ ‖ v i ‖ V ( v ¯ ∈ V ) {\displaystyle \|{\bar {v}}\|_{\bar {V}}=\lim _{i\to \infty }\|v_{i}\|_{V}\qquad ({\bar {v}}\in V)} 여기서 ( v i ) i ∈ N {\displaystyle (v_{i})_{i\in \mathbb {N} }} v ¯ {\displaystyle {\bar {v}}} 코시 열 이다. 이를 부여하면 V ¯ {\displaystyle {\bar {V}}} K {\displaystyle \mathbb {K} } 바나흐 공간 을 이룬다.
이 경우, 자연스러운 단사 K {\displaystyle \mathbb {K} } 선형 등거리 변환
V ↪ V ¯ {\displaystyle V\hookrightarrow {\bar {V}}} 가 존재하여, V {\displaystyle V} V ¯ {\displaystyle {\bar {V}}} V {\displaystyle V} K {\displaystyle \mathbb {K} } 바나흐 공간 이라면, 위 함수는 전단사 함수 이다.
K {\displaystyle \mathbb {K} } V {\displaystyle V} 유사 거리 공간 으로 만들 수 있다.
d ( u , v ) = ‖ u − v ‖ = ‖ v − u ‖ ( u , v ∈ V ) {\displaystyle d(u,v)=\|u-v\|=\|v-u\|\qquad (u,v\in V)} 만약 V {\displaystyle V} 거리 공간 을 이룬다. 유사 거리 공간 구조에 의하여, K {\displaystyle \mathbb {K} } K {\displaystyle \mathbb {K} } 위상 벡터 공간 을 이룬다.
두 K {\displaystyle \mathbb {K} } K {\displaystyle \mathbb {K} } 선형 변환 의 경우, 유계 작용소 인 것과 연속 함수 인 것이 서로 동치 이다.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
K {\displaystyle \mathbb {K} } ⇐ K {\displaystyle \mathbb {K} } 내적 공간 ⇑ ⇑ K {\displaystyle \mathbb {K} } 바나흐 공간 ⇐ K {\displaystyle \mathbb {K} } 힐베르트 공간
즉, K {\displaystyle \mathbb {K} } ( V , ‖ ‖ ) {\displaystyle (V,\|\|)}
만약 ( u , v ) ↦ ( ‖ u + v ‖ − ‖ u − v ‖ ) / 2 {\displaystyle (u,v)\mapsto (\|u+v\|-\|u-v\|)/2} K {\displaystyle \mathbb {K} } 쌍선형 형식 을 이루면, ( V , ‖ ‖ ) {\displaystyle (V,\|\|)} K {\displaystyle \mathbb {K} } 내적 공간 을 이룬다. 만약 완비 거리 공간 이라면, ( V , ‖ ‖ ) {\displaystyle (V,\|\|)} K {\displaystyle \mathbb {K} } 바나흐 공간 을 이룬다. 만약 ( V , ‖ ‖ ) {\displaystyle (V,\|\|)} K {\displaystyle \mathbb {K} } 내적 공간 이자 K {\displaystyle \mathbb {K} } 바나흐 공간 이라면, ( V , ‖ ‖ ) {\displaystyle (V,\|\|)} K {\displaystyle \mathbb {K} } 힐베르트 공간 이라고 한다. K {\displaystyle \mathbb {K} } 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 동치 이며, 이를 만족시키는 V {\displaystyle V} 반노름화 가능 공간 (영어 : seminormable space )이라고 한다.[ 2] :30, Theorem 1.39
V {\displaystyle V} 국소 볼록 공간 이자 국소 유계 공간 이다. 즉, 0 ∈ V {\displaystyle 0\in V} 볼록 유계 근방 을 갖는다. K {\displaystyle \mathbb {K} } 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 동치 이며, 이를 만족시키는 V {\displaystyle V} 노름화 가능 공간 이라고 한다.[ 2] :30, Theorem 1.39
V {\displaystyle V} 반노름화 가능 공간이며, 하우스도르프 공간 이다. 모든 벡터 공간에서 자명 반노름 (영어 : trivial seminorm ) ‖ v ‖ = 0 {\displaystyle \Vert v\Vert =0} V {\displaystyle V}
체 K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 절댓값 ‖ a ‖ = | a | {\displaystyle \Vert a\Vert =|a|}
서로 다른 노름 공간에서 정의된 단위원 . 임의의 1 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ‖ ⋅ ‖ p {\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{p}} Lp 이라고 한다.
‖ x ‖ p = ( ∑ i = 1 n | x i | p ) 1 / p {\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}} 여기서 p = 2 {\displaystyle p=2} 유클리드 노름
‖ x ‖ 2 = ∑ i = 1 n | x i | 2 {\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}} 이다. 만약 p = ∞ {\displaystyle p=\infty } 상한 노름 (영어 : supremum norm )
‖ x ‖ ∞ = lim p → ∞ ( ∑ i = 1 n | x i | p ) 1 / p = max { | x 1 | , | x 2 | , … , | x n | } {\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dots ,|x_{n}|\}} 이 된다. p = 1 {\displaystyle p=1} 맨해튼 노름
‖ x ‖ 1 = ∑ i = 1 n | x i | {\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|} 이 된다.
ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
‖ x ‖ = 2 | x 1 | + 3 | x 2 | 2 + max ( | x 3 | , 2 | x 4 | ) 2 {\displaystyle \Vert x\Vert =2|x_{1}|+{\sqrt {3|x_{2}|^{2}+\max(|x_{3}|,2|x_{4}|)^{2}}}} 그러나 유클리드 공간 위의 모든 노름은 같은 위상을 유도한다.
노름은 여기로 연결됩니다. 다른 뜻에 대해서는 노름 (동음이의) 문서를 참고하십시오.
![{\displaystyle \mu _{S}\colon V\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece9d1ced6a39b2db115d4c5090ee3210d80fe3a)
![{\displaystyle \lVert \cdot \rVert \colon V\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a453837213ae3edabb2d4de20dee8574b02dec)
![{\displaystyle \|(v_{i})_{i\in I}\|_{p}={\sqrt[{p}]{\|v_{i}\|_{V_{i}}^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc61271a081782f6d9f580fdbae599d8335c997)
이 부분의 본문은 연속 쌍대 공간입니다.
