단위 계단 함수 단위 계단 함수 (unit step function) 또는 헤비사이드 계단 함수 (Heaviside step function)은 0보다 작은 실수 에 대해서 0, 0보다 큰 실수에 대해서 1, 0에 대해서 1/2의 값을 갖는 함수 이다. 이 함수는 신호처리 분야에서 자주 사용된다. 그리고 부호 함수에다 1을 더한 뒤 2를 나눈 함수이다.
단위 계단 함수는 디랙 델타 함수 의 부정적분 이다. 즉,
H ( x ) = ∫ − ∞ x δ ( t ) d t {\displaystyle H(x)=\int _{-\infty }^{x}{\delta (t)}\mathrm {d} t} 이 성립한다.
단위 계단을 이산 변수 n 에 대한 함수로 나타내면
H [ n ] = { 0 , n < 0 , 1 , n ≥ 0 , {\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}} 과 같이 되며 이 때 n 은 정수 이다. 주어진 문제가 이산적이지 않은 상황에서는 H [0]의 정의가 중요하다.
이산-시간 단위 충격량은 이산-시간 단계에서 첫 번째 차이값을 의미하는
δ [ n ] = H [ n ] − H [ n − 1 ] {\displaystyle \delta \left[n\right]=H[n]-H[n-1]} 으로 나타낼 수 있다. 이 함수는 크로네커 델타 의 합
H [ n ] = ∑ k = − ∞ n δ [ k ] {\displaystyle H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]\,} 으로 나타낼 수 있으며 여기서
δ [ k ] = δ k , 0 {\displaystyle \delta [k]=\delta _{k,0}\,} 이다..
때때로 복소 적분 의 형태로도 나타낼 수 있다:
H ( x ) = lim ϵ → 0 + i 2 π ∫ − ∞ ∞ e − i x τ τ + i ϵ d τ = lim ϵ → 0 + 1 2 π i ∫ − ∞ ∞ e i x τ τ − i ϵ d τ . {\displaystyle H(x)=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}{i \over 2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }{\mathrm {e} ^{-ix\tau } \over \tau +i\epsilon }\mathrm {d} \tau =\lim _{\epsilon \to 0^{+}}{1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{\mathrm {e} ^{ix\tau } \over \tau -i\epsilon }\mathrm {d} \tau .} 
![{\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1783c84465f7a602fae566c34efa63f48c84212)
![{\displaystyle \delta \left[n\right]=H[n]-H[n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9247c7b61b1beab0777c4f7d92fd188872757ba4)
![{\displaystyle H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db28db3163e2940aaf93d0fc180edb19d865d32)
![{\displaystyle \delta [k]=\delta _{k,0}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a99ab7d257c74f38fbb2d42c8e42e1cb16d0e9)
