구면 모형

통계역학에서 구면 모형(球面模型, 영어: spherical model)은 강자성을 나타내는 간단한 격자 모형이다.^{[1]:Chapter 5[2][3]} 이징 모형과 유사하나, 이징 모형과 달리 임의의 차원에서 정확히 간단히 풀 수 있다. 2차원 이하에서는 상전이를 갖지 않지만, 2차원 초과에서는 상전이를 갖는다. 이 모형의 임계 지수들은 일반적으로 차원에 의존하는 독특한 현상을 보인다.

구면 모형은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 유한 그래프 ${\displaystyle \Gamma }$
• 함수 ${\displaystyle h\colon \operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle i\mapsto h_{i}}$. 이는 외부 자기장을 뜻한다.
• 함수 ${\displaystyle \beta \colon {\mathsf {E}}(\Gamma )\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle ij\mapsto \beta _{ij}}$. 이는 온도의 역수를 뜻한다.

이 모형에서, 변수는 그래프 꼭짓점 위의 “스핀”의 분포이다. 여기서 “스핀”은 임의의 실수 값을 가질 수 있지만, 모든 스핀들의 제곱평균제곱근은 1이어야 한다.

${\displaystyle \sigma \colon \operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sum _{i\in \operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )}\sigma _{i}^{2}=|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|}$

즉, 짜임새 공간은 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )}}$ 속의, 반지름 ${\displaystyle {\sqrt {|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|}}}$의 초구이다.

구형 모형의 분배 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ,h)=\int _{\mathbb {R} ^{{\mathsf {V}}(\Gamma )}}\mathrm {d} ^{|{\mathsf {V}}(\Gamma )|}\sigma \,\exp \left(\sum _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}\beta _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}+\sum _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}h_{i}\sigma _{i}\right)}$

이는 다음과 같이 표기할 수 있다. 우선, 실수 힐베르트 공간

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathbb {R} ^{{\mathsf {V}}(\Gamma )}}$

위의 연산자

${\displaystyle M\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \langle i|M|j\rangle =-\beta _{ij}\langle i|{\mathsf {A}}_{\Gamma }|j\rangle }$

를 정의하자. 여기서 ${\displaystyle {\mathsf {A}}_{\Gamma }}$는 ${\displaystyle \Gamma }$의 인접 행렬이다.

${\displaystyle \langle i|{\mathsf {A}}_{\Gamma }|j\rangle ={\begin{cases}1&ij\in \operatorname {E} (\Gamma )\\0&ij\not \in \operatorname {E} (\Gamma )\end{cases}}}$

즉, 만약 ${\displaystyle \beta }$가 상수 함수라면 ${\displaystyle M=-\beta {\mathsf {A}}_{\Gamma }}$이다.

그렇다면, 분배 함수를 다음과 같이 적을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\Gamma }(\beta ,h)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )}}\mathrm {D} \sigma \int _{z+\mathrm {i} \mathbb {R} }\mathrm {d} z\;\exp \left(-\langle \sigma |(M+z)|\sigma \rangle +\langle h|\sigma \rangle +z|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|\right)\\\end{aligned}}}$

여기서 디랙 델타를

${\displaystyle \delta (\langle \sigma |\sigma \rangle -|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|)=\int _{a+\mathrm {i} \mathbb {R} }\mathrm {d} z\;\exp(-z\langle \sigma |\sigma \rangle +z|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|)\qquad (a\gg 1)}$

로 표현하였다. 여기서, ${\displaystyle a}$는 ${\displaystyle M+z}$의 모든 고윳값의 실수 성분이 양수가 되게 충분히 커야 한다.

즉, 이 경우

${\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ,h)={\frac {1}{2\pi }}\int _{a+\mathrm {i} \mathbb {R} }\mathrm {d} z\;Z_{\Gamma }(\beta ,h,z)\exp \left(z|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|+{\frac {1}{4}}\langle h|(z+M)^{-1}|h\rangle \right)\qquad (a\gg 1)}$

${\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ,h,z)=\int _{\mathbb {R} ^{\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )}}\mathrm {D} \sigma \;\exp \left(-\langle \sigma |(z+M)|\sigma \rangle \right)={\frac {\pi ^{|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|/2}}{\sqrt {\det(z+M)}}}}$

이 된다.

즉,

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\Gamma }(\beta ,h)&={\frac {1}{2}}\pi ^{|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|/2-1}\int _{a+\mathrm {i} \mathbb {R} }\mathrm {d} z\,\exp \left(z|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|+{\frac {1}{4}}\langle h|(z+M)^{-1}|h\rangle \right)\det(z+M)^{-1/2}\qquad (a\gg 1)\\&={\frac {1}{2}}\pi ^{|\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|/2-1}\int _{a+\mathrm {i} \mathbb {R} }\mathrm {d} z\,\prod _{\lambda \in \operatorname {Spec} M}{\frac {\exp(z+\langle v_{\lambda }|h\rangle ^{2}/(z+\lambda )^{-1})}{\sqrt {z+\lambda }}}\end{aligned}}}$

이다. 여기서 ${\displaystyle v_{\lambda }}$는 ${\displaystyle M}$의 고유 벡터로 구성된 정규 직교 기저이다.

그래프가 매우 큰 경우, 다음과 같이 최급강하법을 사용하여 분배 함수를 근사할 수 있다. 구체적으로, 분배 함수를 다음과 같이 적자.

${\displaystyle Z={\frac {1}{2}}\pi ^{|{\mathsf {V}}(\Gamma )|/2-1}\int _{a+\mathrm {i} \mathbb {R} }\mathrm {d} z\;\exp \left(|{\mathsf {V}}(\Gamma )|S_{\Gamma }(z)\right)}$

${\displaystyle S(z)=z+{\frac {1}{|{\mathsf {V}}(\Gamma )|}}{\frac {1}{4}}\langle h|(z+\beta {\mathsf {A}}_{\Gamma })^{-1}|h\rangle -{\frac {1}{2}}{\ln \det(z+M)}{|{\mathsf {V}}(\Gamma )|}}$

이다. 여기서

${\displaystyle \ln \det(z+M)\propto |{\mathsf {V}}(\Gamma )|}$

${\displaystyle \langle h|(z+M)|h\rangle \propto |{\mathsf {V}}(\Gamma )|}$

라고 가정하였다. (예를 들어, 만약 ${\displaystyle \Gamma =({\mathsf {C}}_{L})^{\square d}}$가 원환면 그래프(${\displaystyle d}$개의 순환 그래프들의 그래프 데카르트 곱)이며, 자기장 ${\displaystyle h}$ 또한 상수 함수라면, 위 조건이 성립한다.)

그렇다면, ${\displaystyle |{\mathsf {V}}(\Gamma )|\to \infty }$인 극한에서,

${\displaystyle {\frac {1}{|{\mathsf {V}}(\Gamma )|}}\ln Z_{\Gamma }(\beta ,h)\approx \max _{z\in a+\mathrm {i} \mathbb {R} }S(z;\beta ,h)+{\frac {1}{2}}\ln \pi +o(1)}$

가 된다.

${\displaystyle \Gamma =({\mathsf {C}}_{L})^{\square d}}$가 크기 ${\displaystyle L}$의 순환 그래프 ${\displaystyle {\mathsf {C}}_{L}}$의 ${\displaystyle d}$겹 그래프 데카르트 곱이라고 하자. 즉, 이는 주기적 경계 조건이 주어진 ${\displaystyle d}$차원 ${\displaystyle L\times \dotsb \times L}$ 초입방체에 해당한다. 이 경우, ${\displaystyle \Gamma }$의 스펙트럼은 다음과 같은 중복집합이다.

${\displaystyle \operatorname {Spec} \Gamma =\left\{2\sum _{i=1}^{d}\cos {\frac {2\pi k_{i}}{L}}\colon k_{i}\in \{0,1,\dotsc ,L-1\}\right\}}$

따라서 ${\displaystyle \beta }$가 상수 함수일 때, ${\displaystyle L\to \infty }$ 극한에서, ${\displaystyle \ln \det(z+M)}$은 따라서 ${\displaystyle [0,2\pi ]^{d}}$ 위의 적분으로 근사될 수 있다.

이러한 그래프에서, 상수 함수 자기장 ${\displaystyle h}$는 ${\displaystyle \Gamma }$의 인접 행렬의 고유 벡터이며, 따라서 이 경우 자기장의 항 역시 계산될 수 있다.

이 경우, 상태 방정식은 다음과 같다.^[1]:5.3.3

${\displaystyle 2(1-m^{2})=\beta g'(h/2m+d)}$

여기서

• ${\displaystyle T=1/\beta }$는 온도이다.
• ${\displaystyle m=\langle \sigma \rangle }$은 ${\displaystyle \sigma }$의 평균값이다.
• ${\displaystyle g(z)}$는 다음과 같이 정의되는 함수이다. 이는 ${\displaystyle \ln \det(z+{\mathsf {A}}_{\Gamma })}$의 적분 근사에서 유래한다.

${\displaystyle g(z)=(2\pi )^{-d}\int _{[0,2\pi ]^{d}}\mathrm {d} ^{d}t\;\ln \left(z-\sum _{i=1}^{d}\cos t_{i}\right)}$

이 경우

${\displaystyle g'(z)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\exp(-tz){\mathsf {J}}_{0}(\mathrm {i} t)^{d}}$^[1]:(5.4.4)

가 된다. 여기서 ${\displaystyle {\mathsf {J}}_{0}(-)}$는 0차 베셀 함수이다.

이 경우

${\displaystyle g'(d){\begin{cases}=\infty &(0<d\leq 2)\\<\infty &(2<d)\end{cases}}}$

${\displaystyle g''(d){\begin{cases}=\infty &(0<d\leq 4)\\<\infty &(4<d)\end{cases}}}$

이다. 따라서,

• ${\displaystyle d\leq 2}$일 때 구면 모형은 상전이를 갖지 않는다.^{[1]:68, §5.5} 즉, 퀴리 온도가 0이다.
• ${\displaystyle d>2}$일 때 구면 모형은 1차 상전이를 갖는다. 즉, 퀴리 온도가 (유한한) 양수이며, 그 역수는

${\displaystyle \beta _{0}={\frac {1}{2}}g'(d)}$

이다.^{[1]:67, (5.5.1)}

${\displaystyle d>2}$일 때, 임계 지수들은 다음과 같다.

${\displaystyle \alpha ={\begin{cases}-{\frac {4-d}{d-2}}&(2<d<4)\\0&(4<d)\end{cases}}}$^[1]:(5.6.7)

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}}$^[1]:(5.6.8)

${\displaystyle \gamma ={\begin{cases}{\frac {2}{d-2}}&(2<d<4)\\1&(4<d)\end{cases}}}$^[1]:(5.6.11)

즉, 이 경우 임계 지수들이 ${\displaystyle d}$에 의존하게 된다.

물리학적으로, 이는 이징 모형의 근사로 여겨질 수 있다. 이징 모형에서 분배 함수는 ${\displaystyle |\operatorname {\mathsf {V}} (\Gamma )|}$차원 유클리드 공간 속의 초입방체의 ${\displaystyle 2N}$개 꼭짓점에 대한 합을 취하는 것인데, 이 모형은 이를 대신 비슷한 크기의 초구의 표면에 대한 적분으로 근사한다.

1952년에 시어도어 벌린(영어: Theodore H. Berlin, 1917-1963)과 마레크 카츠(폴란드어: Marek Kac, 1914-1984)가 도입하였다.^[2]