Module d'élasticité isostatique Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Cet article concernant la physique doit être recyclé (mai 2015). Une réorganisation et une clarification du contenu paraissent nécessaires. Améliorez-le, discutez des points à améliorer ou précisez les sections à recycler en utilisant {{section à recycler}}. Le module d'élasticité isostatique[1] (en anglais : bulk modulus) est la constante qui relie la contrainte au taux de déformation d'un matériau isotrope soumis à une compression isostatique. Expression[modifier | modifier le code] Généralement noté K {\displaystyle K} ( B {\displaystyle B} en anglais), le module d'élasticité isostatique permet d'exprimer la relation de proportionnalité entre le premier invariant du tenseur des contraintes et le premier invariant du tenseur des déformations : Module d'élasticité isostatiquede quelques matériaux Air 101 kPa (isotherme)(142 kPa en adiabatique) Eau 2,2 GPa (augmente avec la pression) Verre 35 à 55 GPa Acier 160 GPa Diamant 442 GPa s = K e {\displaystyle s=K\,e} où : s = ∑ i 1 3 σ i i {\displaystyle s=\sum _{i}{\frac {1}{3}}\sigma _{ii}} est la contrainte isostatique (en unité de pression) ; K {\displaystyle K} est le module d'élasticité isostatique (en unité de pression) ; e = ∑ i ε i i = ε 11 + ε 22 + ε 33 {\displaystyle e=\sum _{i}\varepsilon _{ii}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}} est le taux de déformation isostatique[2] (sans dimension). Il s'exprime, respectivement vis-à-vis des coefficients de Lamé ou du module de Young et du coefficient de Poisson, par : K = λ + 2 3 μ = 1 3 E ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle K=\lambda +{\frac {2}{3}}\,\mu ={\frac {1}{3}}\,{\frac {E}{(1-2\nu )}}} . Notes : pour ν = 1 / 3 {\displaystyle \nu =1/3} , K = E {\displaystyle K=E} ; pour ν → 1 / 2 {\displaystyle \nu \to 1/2} , K → + ∞ {\displaystyle K\to +\infty } (incompressibilité). Les matériaux métalliques sont proches du premier cas ( K ≈ E {\displaystyle K\approx E} dans leur domaine élastique) alors que les élastomères s'approchent d'un comportement incompressible ( K ≫ E {\displaystyle K\gg E} ). On peut aussi exprimer K {\displaystyle K} en fonction des modules d'élasticité en traction E {\displaystyle E} et en cisaillement G {\displaystyle G} : 1 K = 9 E − 3 G {\displaystyle {\frac {1}{K}}={\frac {9}{E}}-{\frac {3}{G}}} . Le module d'élasticité isostatique représente la relation de proportionnalité entre la pression et le taux de variation du volume : Δ P = − K Δ V V 0 {\displaystyle \Delta P=-K\,{\frac {\Delta V}{V_{0}}}} . C'est l'inverse de la compressibilité isotherme χ T {\displaystyle \chi _{T}} , définie en thermodynamique par : 1 K = χ T = − 1 V ( ∂ V ∂ P ) T {\displaystyle {\frac {1}{K}}=\chi _{T}=-{\frac {1}{V}}\,\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}} Notes et références[modifier | modifier le code] ↑ Synonymes : module d'élasticité à la compression isostatique, module de rigidité à la compression, module d'élasticité cubique, module d'incompressibilité, module de compression hydrostatique, module de dilatation volumique, module d'élasticité volumique, etc. ↑ Synonyme : taux de dilatation cubique. Voir aussi[modifier | modifier le code] Bibliographie[modifier | modifier le code] P. Germain, Mécanique des milieux continus, 1962, Masson et Cie. G. Duvaut, Mécanique des milieux continus, 1990, Masson. Articles connexes[modifier | modifier le code] Coefficients calorimétriques et thermoélastiques Dynamique des fluides Écoulement incompressible Fluide incompressible Relation de Reech v · mModules d'élasticité pour des matériaux homogènes et isotropes Module d'Young (E) Module de cisaillement (G) Module d'élasticité isostatique (K) Premier coefficient de Lamé (λ) Coefficient de Poisson (ν) Module d'onde de compression (M, P-wave modulus) Formules de conversion Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d'entre eux en utilisant ces formules. formules en 3D ( λ , G ) {\displaystyle (\lambda ,G)} ( E , G ) {\displaystyle (E,G)} ( K , λ ) {\displaystyle (K,\lambda )} ( K , G ) {\displaystyle (K,G)} ( λ , ν ) {\displaystyle (\lambda ,\nu )} ( G , ν ) {\displaystyle (G,\nu )} ( E , ν ) {\displaystyle (E,\nu )} ( K , ν ) {\displaystyle (K,\nu )} ( K , E ) {\displaystyle (K,E)} ( M , G ) {\displaystyle (M,G)} K [ P a ] = {\displaystyle K\,[\mathrm {Pa} ]=} λ + 2 G 3 {\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}} E G 3 ( 3 G − E ) {\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}} λ ( 1 + ν ) 3 ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}} 2 G ( 1 + ν ) 3 ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}} E 3 ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}} M − 4 G 3 {\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}} E [ P a ] = {\displaystyle E\,[\mathrm {Pa} ]=} G ( 3 λ + 2 G ) λ + G {\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}} 9 K ( K − λ ) 3 K − λ {\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}} 9 K G 3 K + G {\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}} λ ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}} 2 G ( 1 + ν ) {\displaystyle 2G(1+\nu )\,} 3 K ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle 3K(1-2\nu )\,} G ( 3 M − 4 G ) M − G {\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}} λ [ P a ] = {\displaystyle \lambda \,[\mathrm {Pa} ]=} G ( E − 2 G ) 3 G − E {\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}} K − 2 G 3 {\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}} 2 G ν 1 − 2 ν {\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}} E ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}} 3 K ν 1 + ν {\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}} 3 K ( 3 K − E ) 9 K − E {\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}} M − 2 G {\displaystyle M-2G} G [ P a ] = {\displaystyle G\,[\mathrm {Pa} ]=} 3 ( K − λ ) 2 {\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}} λ ( 1 − 2 ν ) 2 ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}} E 2 ( 1 + ν ) {\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}} 3 K ( 1 − 2 ν ) 2 ( 1 + ν ) {\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}} 3 K E 9 K − E {\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}} ν [ 1 ] = {\displaystyle \nu \,[1]=} λ 2 ( λ + G ) {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}} E 2 G − 1 {\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1} λ 3 K − λ {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}} 3 K − 2 G 2 ( 3 K + G ) {\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}} 3 K − E 6 K {\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}} M − 2 G 2 M − 2 G {\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}} M [ P a ] = {\displaystyle M\,[\mathrm {Pa} ]=} λ + 2 G {\displaystyle \lambda +2G} G ( 4 G − E ) 3 G − E {\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}} 3 K − 2 λ {\displaystyle 3K-2\lambda \,} K + 4 G 3 {\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}} λ ( 1 − ν ) ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}} 2 G ( 1 − ν ) 1 − 2 ν {\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}} E ( 1 − ν ) ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}} 3 K ( 1 − ν ) 1 + ν {\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}} 3 K ( 3 K + E ) 9 K − E {\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}} formules en 2D ( λ 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })} ( E 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })} ( K 2 D , λ 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\lambda _{\mathrm {2D} })} ( K 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })} ( λ 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })} ( G 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })} ( E 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })} ( K 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })} ( K 2 D , E 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },E_{\mathrm {2D} })} ( M 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (M_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })} K 2 D [ N / m ] = {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=} λ 2 D + G 2 D {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }} G 2 D E 2 D 4 G 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} λ 2 D ( 1 + ν 2 D ) 2 ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}} G 2 D ( 1 + ν 2 D ) 1 − ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}} E 2 D 2 ( 1 − ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}} M 2 D − G 2 D {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }} E 2 D [ N / m ] = {\displaystyle E_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=} 4 G 2 D ( λ 2 D + G 2 D ) λ 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}} 4 K 2 D ( K 2 D − λ 2 D ) 2 K 2 D − λ 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}} 4 K 2 D G 2 D K 2 D + G 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}} λ 2 D ( 1 + ν 2 D ) ( 1 − ν 2 D ) ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}} 2 G 2 D ( 1 + ν 2 D ) {\displaystyle 2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,} 2 K 2 D ( 1 − ν 2 D ) {\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })} 4 G 2 D ( M 2 D − G 2 D ) M 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}} λ 2 D [ N / m ] = {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=} 2 G 2 D ( E 2 D − 2 G 2 D ) 4 G 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} K 2 D − G 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }} 2 G 2 D ν 2 D 1 − ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}} E 2 D ν 2 D ( 1 + ν 2 D ) ( 1 − ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}} 2 K 2 D ν 2 D 1 + ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}} 2 K 2 D ( 2 K 2 D − E 2 D ) 4 K 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} M 2 D − 2 G 2 D {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }} G 2 D [ N / m ] = {\displaystyle G_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=} K 2 D − λ 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }} λ 2 D ( 1 − ν 2 D ) 2 ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}} E 2 D 2 ( 1 + ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}} K 2 D ( 1 − ν 2 D ) 1 + ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}} K 2 D E 2 D 4 K 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} ν 2 D [ 1 ] = {\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }\,[1]=} λ 2 D λ 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}} E 2 D 2 G 2 D − 1 {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1} λ 2 D 2 K 2 D − λ 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}} K 2 D − G 2 D K 2 D + G 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}} 2 K 2 D − E 2 D 2 K 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}} M 2 D − 2 G 2 D M 2 D {\displaystyle {\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}} M 2 D [ N / m ] = {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=} λ 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }} 4 G 2 D 2 4 G 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} 2 K 2 D − λ 2 D {\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }} K 2 D + G 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }} λ 2 D ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}} 2 G 2 D 1 − ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}} E 2 D ( 1 − ν 2 D ) ( 1 + ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1-\nu _{\mathrm {2D} })(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}} 2 K 2 D 1 + ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}} 4 K 2 D 2 4 K 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} Portail de la physique Portail des sciences des matériaux
![{\displaystyle K\,[\mathrm {Pa} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3ab31b3a3865235dccbc488812ff4f37eebbab)
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![{\displaystyle \lambda \,[\mathrm {Pa} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feb97a3834f075f32114f08046be6251bd037800)
![{\displaystyle G\,[\mathrm {Pa} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2326ec29a9bfa73a5703f0571334e02c57bdd833)
![{\displaystyle \nu \,[1]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31963444a16a4993d1f3289b9a5e86d2a224934)
![{\displaystyle M\,[\mathrm {Pa} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c2ea87a079fbcc6987591a1669001a144e61ed)
![{\displaystyle K_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5562fda79e2283d607f220ec8aab1a0fc9ee74)
![{\displaystyle E_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4026a07ee80c1281e875b1bbed75cd5687a2b13)
![{\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e94c73fca89904175ad30491fc448f274b8f2c)
![{\displaystyle G_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aefa2eb44d967723c47e26dd09918f1850d553f)
![{\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }\,[1]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c5fcb0958432c6617c834d1e36885be1790ac09)
![{\displaystyle M_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a0381f833f359a1b0c12a557d1c4455a05d0b7)
