Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на sin x {\displaystyle \sin x} и развития по Тейлър от степен 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 и 13 . Ред на Тейлър или развитие по Тейлър е апроксимация на реална или комплексна функция чрез представянето ѝ като безкраен ред с общ член, изчислен от стойностите на производните на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на теоремата на Тейлър .
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в отворения интервал (a − r , a + r ), тогава нейното развитие по Тейлър е степенният ред
∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.} (тук f(n) (a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция).
Редът е кръстен на английския математик Брук Тейлър . В случая, когато a = 0, редът се нарича ред на Маклорен на името на шотландския математик Колин Маклорен (Colin Maclaurin).
Функции, които са точно равни на развитието си в ред на Тейлър в произволна точка a , се наричат аналитични функции . Пример за такива са тригонометричните функции синус и косинус . Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките ѝ производни в дадена точка.
На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър за функцията y = sinx . Жълтата крива е от седма степен и е графика на
sin ( x ) ≈ x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! . {\displaystyle \sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.} Редът на Тейлър се използва широко в приложната математика и математическия анализ . Някои от приложенията му са:
директно получаване на приблизителна стойност на функция; доказателство на теореми от математическия анализ. Най-ранното използване на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, датира от XIV в. от индийския математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за синус , косинус , тангенс и аркустангенс , но не генерализира редовете.
В края на XVII в. Джеймс Грегъри също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но не вижда обобщението.
През 1715 г. Брук Тейлър доказва и генреализира теоремата си , пряко следствие на която е този обобщен ред.
Колин Маклорен изследва специалния случай във втората половина на XVII в.
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! , ∀ x {\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad ,\forall x} ln ( 1 + x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n + 1 x n + 1 , | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}x^{n+1}\quad ,\left|x\right|<1} x m 1 − x = ∑ n = m ∞ x n , | x | < 1 {\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad ,\left|x\right|<1} ( 1 + x ) α = ∑ n = 0 ∞ ( α n ) x n , ∀ | x | < 1 , ∀ α ∈ C {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad ,\forall \left|x\right|<1\quad ,\forall \alpha \in C} sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 , ∀ x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad ,\forall x} cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n , ∀ x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\forall x} tg x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( − 4 ) n ( 1 − 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + . . , | x | < π 2 {\displaystyle \operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+..,\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} където B са числа на Бернули . sec x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n , | x | < π 2 {\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} където E са числа на Ойлер . arcsin x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 , | x | < 1 {\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad ,\left|x\right|<1} arctg x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 , | x | ≤ 1 {\displaystyle \operatorname {arctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad ,\left|x\right|\leq 1} sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 , ∀ x {\displaystyle \sinh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad ,\forall x} cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n , ∀ x {\displaystyle \cosh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\forall x} tgh ( x ) = ∑ n = 1 ∞ B 2 n 4 n ( 4 n − 1 ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 , | x | < π 2 {\displaystyle \operatorname {tgh} \left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad ,\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} a r c s i n h ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 , | x | < 1 {\displaystyle \mathrm {arcsinh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad ,\left|x\right|<1} a r c t g h ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 x 2 n + 1 , | x | < 1 {\displaystyle \mathrm {arctgh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad ,\left|x\right|<1} Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за достатъчно голям брой функции. Редът може да се ползва така, както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи най-доброто решение е редът да се интегрира последователно няколко пъти.