Геометрична прогресия

За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел.

В математиката геометрична прогресия е редица от числа, в която първото число е различно от нула, а всяко друго число е получено от предишното чрез умножение с константа, различна от нула. Тази константа се нарича частно. Например редицата 2, 4, 8, 16, ... е геометрична прогресия с първи член 2 и частно 2, а геометричната прогресия 20, 10, 5,... е получена чрез умножение с 1/2. Първата е пример за растяща, а втората – за намаляваща прогресия.

За всяка геометрична прогресия

${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n},...}$

е в сила ${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}q}$, където q ≠ 0 е частното на прогресията. Очевидно една геометрична прогресия е напълно определена, ако знаем първия ѝ член и частното.

Формула за общия член[редактиране | редактиране на кода]

Формулата за n-тия член на прогресията е:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}q^{n-1}}$.

Анализ на частното[редактиране | редактиране на кода]

• q < 0 – ще се получи редуване на положителни и отрицателни числа,
• q > 1 – клоняща към плюс или минус безкрайност редица, в зависимост от знака на първия член,
• q < -1 – могат да се разглеждат 2 редици: четните номера клонят към минус безкрайност и нечетните към плюс безкрайност или обратно, в зависимост от знака на първия член,
• 0 < q < 1 – редицата клони отгоре или отдолу към 0, в зависимост от знака на първия член,
• -1 < q < 0 – редицата колони към нула с редуващи се положителни и отрицателни членове,
• q = 1 – редицата е от константи, равни на първия член,
• q = -1 – редицата е от константи, равни или противоположни на първия член, в зависимост от четността на номера,
• q = 0 – редицата се състои само от нули, с изключение на първия член.

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

• ${\displaystyle a_{n}^{2}=a_{n-1}a_{n+1}}$

за всяко n ≥ 2, т.е. всеки член на геометричната прогресия след първия е средно геометричен на съседните си членове.

В сила е и обратното твърдение: Ако ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n},...}$ е числова редица с ненулеви членове, в която всеки член след първия е средно геометричен на съседните си членове, то тази редица е геометрична прогресия.

Логаритмите на членовете на геометрична прогресия образуват аритметична прогресия.

Сума на геометричната прогресия[редактиране | редактиране на кода]

Сумата на първите n члена на геометричната прогресия е

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\sum _{i=0}^{n-1}q^{i}}$

или

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+\dots +a_{1}q^{n-1}\,\,\,\,\,(1)}$.

Когато умножим двете страни на уравнение (1) по частното q полуаваме:

${\displaystyle qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+a_{1}q^{4}+\dots +a_{1}q^{n}\,\,\,\,\,(2)}$

Когато извадим почленно (2) от (1), получаваме (забелязваме, че от членовете от ${\displaystyle a_{1}q}$ до ${\displaystyle a_{1}q^{n-1}}$ се повтарят в (1) и (2), т.е. при изваждане се съкращават и след изваждането, отдясно остават единствено ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{1}q^{n}}$:

${\displaystyle S_{n}-qS_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}}$.

${\displaystyle S_{n}(1-q)=a_{1}(1-q^{n})}$.

Което ни дава формулата за сбор на първите n члена на геометрична прогресия

${\displaystyle S_{n}={a_{1}(1-q^{n}) \over (1-q)}}$ при ${\displaystyle \!q\neq 1}$.

${\displaystyle S_{n}=na_{1}\,}$ при ${\displaystyle \!q=1}$.

Aкo ${\displaystyle \left|q\right|<1}$, то ${\displaystyle q^{n}\to 0}$ и

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{S_{n}}={a_{1} \over 1-q}}$

Произведение на геометричната прогресия[редактиране | редактиране на кода]

Произведението на първите n члена на геометричната прогресия е:

${\displaystyle p_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdot \cdot \cdot a_{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}}$

или

${\displaystyle p_{n}=a_{1}\times a_{1}q\times a_{1}q^{2}\times \cdot \cdot \cdot \times a_{1}q^{n-1}}$

От тук се получава:

${\displaystyle p_{n}=a_{1}^{n}q^{1+2+3+\cdot \cdot \cdot +n-1}}$

Степента на q е аритметична прогресия и се получава:

${\displaystyle p_{n}=a_{1}^{n}q^{\frac {n^{2}-n}{2}}}$

И накрая,

${\displaystyle p_{n}=a_{1}^{n}{\sqrt {q^{n^{2}-n}}},\ n\in \mathbb {Z} ^{+}}$

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

• Аритметична прогресия
• Томас Малтус