Тригонометричните функции в математиката са функции на ъгли . Използват се в геометрията за изследване на триъгълници и моделиране на периодични процеси. Най-често тригонометричните функции се дефинират като:
В най-общ вид в съвременната математика тригонометричните функции се дефинират като
Графики на тригонометричните функции: синус
косинус
тангенс
котангенс
секанс
косеканс
Фиг. 1 . Правоъгълен триъгълник Разглежда се правоъгълен триъгълник A C B {\displaystyle ACB} в евклидовата равнина (фиг. 1 ), поради което сборът от вътрешните му ъгли е равен на 180° (π радиана ). Следователно 0 < α , β < 90 {\displaystyle 0<\alpha ,\beta <90} ° или 0 < α , β < π 2 {\displaystyle 0<\alpha ,\beta <{\frac {\pi }{2}}} .
Синус на ъгъл α {\displaystyle \alpha } е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата:
sin α = a c {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}}} . Това отношение не зависи от триъгълника АВС с остър ъгъл α {\displaystyle \alpha } , тъй като всички правоъгълни триъгълници с остър ъгъл α {\displaystyle \alpha } са подобни.
Косинус на ъгъл α {\displaystyle \alpha } е отношението на прилежащия катет към хипотенузата:
cos α = b c {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}} . Тангенс на ъгъл α {\displaystyle \alpha } е отношението на срещулежащия катет към прилежащия:
tg α = a b {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {a}{b}}} . Котангенс на ъгъл α {\displaystyle \alpha } е отношението на прилежащия катет към срещулежащия:
cotg α = b a {\displaystyle \operatorname {cotg} \,\alpha ={\frac {b}{a}}} . Секанс на ъгъл α {\displaystyle \alpha } е отношението на хипотенузата към прилежащия катет:
sec α = c b {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {c}{b}}} . Косеканс на ъгъл α {\displaystyle \alpha } е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет:
cosec α = c a {\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha ={\frac {c}{a}}} . Тригонометричните функции, дефинирани чрез единична окръжност [ редактиране | редактиране на кода ] Определянето на тригонометричните функции чрез единична окръжност е частен случай на дефинициите чрез правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на единица. Нека в равнината е зададена правоъгълна координатна система с начало точка О и оси OE и OF . Разглежда се окръжност с център точка О и радиус, равен на единица. Построява се произволен радиус ОА , който сключва ъгъл θ {\displaystyle \theta } с абсцисната ос OE (фиг. 2 ).
Фиг. 2 . Тригонометрични функции на ъгъл θ в единична окръжност От правоъгълния триъгълник OCA
sin θ = C A O A = C A 1 = C A {\displaystyle \sin \theta ={\frac {CA}{OA}}={\frac {CA}{1}}=CA} , тъй като дължината на радиуса ОА е равна на 1. От тук следва определението:
Синус на даден ъгъл θ {\displaystyle \theta } , отчетен от абсцисната ос, се нарича ординатата АC на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност:
sin θ = C A {\displaystyle \sin \theta ={CA}} . Изчертаване на функциите синус и косинус от единичната окръжност. По същия начин се получават определенията и за другите тригонометрични функции:
Косинус на даден ъгъл θ {\displaystyle \theta } , отчетен от абсцисната ос, се нарича абсцисата OC на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност:
cos θ = O C {\displaystyle \cos \theta ={OC}} . Тангенс на даден ъгъл θ {\displaystyle \theta } , отчетен от абсцисната ос, се нарича отношението на ординатата на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност, към нейната абсциса:
tg θ = C A O C {\displaystyle \operatorname {tg} \,\theta ={\frac {CA}{OC}}\quad } , tg θ = sin θ cos θ {\displaystyle \quad \operatorname {tg} \,\theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}} . Котангенс на даден ъгъл θ {\displaystyle \theta } , отчетен от абсцисната ос, е отношението на абсцисата на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност, към нейната ордината:
cotg θ = O C C A {\displaystyle \operatorname {cotg} \,\theta ={\frac {OC}{CA}}\quad } , cotg θ = cos θ sin θ {\displaystyle \quad \operatorname {cotg} \,\theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}} . Дефинициите на функциите „секанс“ и „косеканс“ се формулират малко по-сложно.
Секанс на даден ъгъл θ {\displaystyle \theta } , отчетен от абсцисната ос, се нарича абсцисата OE на пресечната точка E на абсцисната ос и допирателната към единична окръжност в пресечната точка А на другото рамо на ъгъла с окръжността:
sec θ = O E {\displaystyle \sec \theta =OE\quad } , sec θ = 1 cos θ {\displaystyle \quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}} . Косеканс на даден ъгъл θ {\displaystyle \theta } , отчетен от абсцисната ос, се нарича ординатата OF на пресечната точка F на ординатната ос и допирателната към единична окръжност в пресечната точка А на другото рамо на ъгъла с окръжността:
cosec θ = O F {\displaystyle \operatorname {cosec} \,\theta =OF\quad } , cosec θ = 1 sin θ {\displaystyle \quad \operatorname {cosec} \,\theta ={\frac {1}{\sin \theta }}} . В допълнение към шестте изброени съотношения, има допълнителни тригонометрични функции, които са били исторически важни, макар и рядко използвани днес (фиг. 3 ):
Фиг. 3 . Единична окръжност с основни и допълнителни тригонометрични функции на ъгъл θ. versin , vers или sin vers : versin(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sin2 (θ 2 ) (появява се в най-ранните таблици); [1] vercos или cos vers : vercos(θ) = 1 − sin(θ) = versin(π 2 − θ) ; хаверсинус – haversin или hav : haversin(θ) = 1 2 versin(θ) = sin2 (θ 2 ) ; [2] хаверкосинус – havercos или hac : havercos(θ) = 1 2 vercos(θ) = cos2 (θ 2 ) ; екссеканс – exsec(θ) = sec(θ) − 1 ; екскосеканс – excsc(θ) = exsec(π 2 − θ) = csc(θ) − 1 . Графики на функциите versin , vercos , haversin , havercos , exsec , excsc Синус Дефиниционна област (допустими стойности на аргумента, за които функцията е определена) – множеството на всички реални числа : D ( y ) = R {\displaystyle D(y)=\mathbb {R} } . Множество на стойностите на функцията – областта [−1; 1]: E ( y ) = {\displaystyle E(y)=} [−1;1]. Функцията y = sin ( x ) {\displaystyle y=\sin \left(x\right)} е нечетна: sin ( − x ) = − sin x {\displaystyle \sin \left(-x\right)=-\sin x\,} . Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на 2 π {\displaystyle 2\pi } : sin ( x + 2 π ) = sin ( x ) {\displaystyle \sin \left(x+2\pi \right)=\sin \left(x\right)} . Графиката на функцията пресича оста Ох при x = n π , n ∈ Z {\displaystyle x=n\pi \,,\,n\in Z\,} . Области с постоянен знак: y > 0 {\displaystyle y>0} при x ∈ ( 0 + 2 π n ; π + 2 π n ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(0+2\pi n\,;\,\pi +2\pi n\right)\,,\,n\in Z} и y < 0 {\displaystyle y<0} при x ∈ ( π + 2 π n ; 2 π + 2 π n ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(\pi +2\pi n\,;\,2\pi +2\pi n\right)\,,\,n\in Z} . Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: ( sin x ) ′ = cos x {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,} Функцията y = sin x {\displaystyle y=\sin x} е растяща при x ∈ ( − π 2 + 2 π n ; π 2 + 2 π n ) n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,n\in Z} , и намаляваща при x ∈ ( π 2 + 2 π n ; 3 π 2 + 2 π n ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,;\,3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,\,n\in Z} . Функцията има минимум при x = − π 2 + 2 π n , n ∈ Z {\displaystyle x=-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,\,n\in Z} и максимум при x = π 2 + 2 π n , n ∈ Z {\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,\,n\in Z} . Косинус Дефиниционна област (област на определяне) – множеството на всички реални числа: D ( y ) = R {\displaystyle D(y)=\mathbb {R} } . Множество на стойностите – областта [−1; 1]: E ( y ) {\displaystyle E(y)} = [−1;1]. Функцията y = cos ( x ) {\displaystyle y=\cos \left(x\right)} е четна: cos ( − x ) = cos x {\displaystyle \cos \left(-x\right)=\cos x\,} . Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на 2 π {\displaystyle 2\pi } : cos ( x + 2 π ) = cos ( x ) {\displaystyle \cos \left(x+2\pi \right)=\cos \left(x\right)} . Графиката на функцията пресича оста Ох при x = π 2 + n π , n ∈ Z {\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+n\pi \,,\,n\in Z\,} . Области с постоянен знак: y > 0 {\displaystyle y>0} при ( − π 2 + 2 π n ; π 2 + 2 π n ) , n ∈ Z {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\,\in Z} и y < 0 {\displaystyle y<0} при ( π 2 + 2 π n ; 3 π 2 + 2 π n ) , n ∈ Z {\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\,\in Z\,} . Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: ( cos x ) ′ = − sin x {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x} Функцията y = cos x {\displaystyle y=\cos x} е растяща при x ∈ ( − π + 2 π n ; 2 π n ) , n ∈ Z , {\displaystyle x\in \left(-\pi +2\pi n;2\pi n\right)\,,\,n\in Z,} и е намаляваща при x ∈ ( 2 π n ; π + 2 π n ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(2\pi n;\pi +2\pi n\right)\,,\,n\in Z\,} . Функцията има минимум при x = π + 2 π n n ∈ Z {\displaystyle x=\pi +2\pi n\,n\in Z} и максимум при x = 2 n π , n ∈ Z {\displaystyle x=2n\pi \,,\,n\in Z\,} . Тангенс Област на определяне на функцията – множеството от всички реални числа: D ( y ) = R {\displaystyle D(y)=\mathbb {R} } , освен числата x = π 2 + n π {\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+n\pi } . Множество на стойностите – множеството на всички реални числа: E ( y ) = R {\displaystyle E(y)=\mathbb {R} } . Функцията y = t g ( x ) {\displaystyle y=\mathrm {tg} \left(x\right)} е нечетна: t g ( − x ) = − t g x {\displaystyle \mathrm {tg} \left(-x\right)=-\mathrm {tg} \ x\,} . Функцията е периодична. Най-малкият положителен период е равен на π {\displaystyle \pi } : t g ( x + π ) = t g ( x ) {\displaystyle \mathrm {tg} \left(x+\pi \right)=\mathrm {tg} \left(x\right)} . Графиката на функцията пресича оста Ох при x = n π , n ∈ Z {\displaystyle x=n\pi \,,\,n\in Z\,} . Области с постоянен знак: y > 0 {\displaystyle y>0} при x ∈ ( n π ; n π + π 2 ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(n\pi \,;\,n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)\,,\,n\in Z} и y < 0 {\displaystyle y<0} при x ∈ ( − π 2 + π n ; π n ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi n\right)\,,\,n\in Z} . Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: ( tg x ) ′ = 1 cos 2 x {\displaystyle (\mathop {\operatorname {tg} } \,x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}} Функция y = t g x {\displaystyle y=\mathrm {tg} \ x} расте при x ∈ ( − π 2 + π n ; π 2 + n π ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n\,;\,{\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)\,,\,n\in Z} . Котангенс Област на определяне на функцията – множеството на всички реални числа: D ( y ) = R , {\displaystyle D(y)=\mathbb {R} ,} освен числата x = n π . {\displaystyle x=n\pi .} Множество на стойностите – множеството на всички реални числа: E ( y ) = R {\displaystyle E(y)=\mathbb {R} \,} . Функцията y = ctg ( x ) {\displaystyle y=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(x\right)} е нечетна: ctg ( − x ) = − ctg x {\displaystyle \mathop {\operatorname {ctg} } \left(-x\right)=-\mathop {\operatorname {ctg} } \ x\,} . Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на π {\displaystyle \pi } : ctg ( x + π ) = ctg ( x ) {\displaystyle \mathop {\operatorname {ctg} } \left(x+\pi \right)=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(x\right)\,} . Графиката на функцията пресича оста Ох при x = π 2 + π n , n ∈ Z {\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+\pi n\,,\,n\in Z\,} . Области с постоянен знак: y > 0 {\displaystyle y>0} при x ∈ ( n π ; n π + π 2 ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(n\pi \,;\,n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)\,,\,n\in Z\,} и y < 0 {\displaystyle y<0} при x ∈ ( n π + π 2 ; ( n + 1 ) π ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(n\pi +{\frac {\pi }{2}}\,;\,\left(n+1\right)\pi \right)\,,\,n\in Z\,} . Функцията е непрекъсната и има производни при всяка стойност на аргумента: ( ctg x ) ′ = − 1 sin 2 x . {\displaystyle (\mathop {\operatorname {ctg} } \,x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}.} Функцията y = ctg x {\displaystyle y=\mathop {\operatorname {ctg} } \ x} намалява при x ∈ ( n π ; ( n + 1 ) π ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(n\pi ;\left(n+1\right)\pi \right)\,,\,n\in Z\,} . Функцията косинус е четна , а синус, тангенс и котангенс – нечетни , т.е.
sin ( − x ) = − sin x {\displaystyle \sin \left(-x\right)=-\sin x\,} , t g ( − x ) = − t g x {\displaystyle \quad \quad \quad \mathop {\mathrm {tg} } \left(-x\right)=-\mathop {\mathrm {tg} } x\,} , cos ( − x ) = cos x {\displaystyle \cos \left(-x\right)=\cos x\,} , c t g ( − x ) = − c t g x {\displaystyle \quad \quad \quad \mathop {\mathrm {ctg} } \left(-x\right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,x} . За остри ъгли α < π 2 {\displaystyle \alpha <{\frac {\pi }{2}}\,\!}
sin ( π 2 − α ) = cos α {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha \,} , t g ( π 2 − α ) = c t g α {\displaystyle \quad \quad \quad \mathop {\mathrm {tg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha } , sin ( π 2 + α ) = cos α {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha \,} , t g ( π 2 + α ) = − c t g α {\displaystyle \quad \quad \quad \mathop {\mathrm {tg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha } , cos ( π 2 − α ) = sin α {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha } , c t g ( π 2 − α ) = t g α {\displaystyle \quad \quad \quad \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha } , cos ( π 2 + α ) = − sin α {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha } , c t g ( π 2 + α ) = − t g α {\displaystyle \quad \quad \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha } . За ъгли 0 < α < π {\displaystyle 0<\alpha <\pi \,\!} е изпълнено
sin ( π − α ) = sin α {\displaystyle \sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha \,} , cos ( π − α ) = − cos α {\displaystyle \quad \quad \quad \cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha } , sin ( π + α ) = − sin α {\displaystyle \sin \left(\pi +\alpha \right)=-\sin \alpha \,} , cos ( π + α ) = − cos α {\displaystyle \quad \quad \cos \left(\pi +\alpha \right)=-\cos \alpha \,} , t g ( π − α ) = − t g α , α ≠ π 2 , 3 π 2 {\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(\pi -\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha ,\qquad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}},\,3{\frac {\pi }{2}}\,} , t g ( π + α ) = t g α , α ≠ π 2 , 3 π 2 {\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(\pi +\alpha \right)=\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha ,\qquad \quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}},\,3{\frac {\pi }{2}}\,} , c t g ( π − α ) = − c t g α {\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(\pi -\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,} , c t g ( π + α ) = c t g α {\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(\pi +\alpha \right)=\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,} . Знакът на функциите sin, cos, sec и cosес се променя през интервали от 180°, а на tg и cotg – през 90°.
sin ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \,\sin(x)\geq \ 0} за 0 ∘ ≤ x ≤ 180 ∘ {\displaystyle \,0^{\circ }\leq x\leq 180^{\circ }} или 0 ≤ x ≤ π {\displaystyle \,0\leq x\leq \pi } sin ( x ) ≤ 0 {\displaystyle \,\sin(x)\leq \ 0} für 180 ∘ ≤ x ≤ 360 ∘ {\displaystyle \,180^{\circ }\leq x\leq 360^{\circ }} или π ≤ x ≤ 2 π {\displaystyle \,\pi \leq x\leq 2\pi } cos ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \,\cos(x)\geq \ 0} за 0 ∘ ≤ x ≤ 90 ∘ , 270 ∘ ≤ x ≤ 360 ∘ {\displaystyle \,0^{\circ }\leq x\leq 90^{\circ },270^{\circ }\leq x\leq 360^{\circ }} oder 0 ≤ x ≤ π 2 , 3 π 2 ≤ x ≤ 2 π {\displaystyle \,0\leq x\leq {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}\leq x\leq 2\pi } cos ( x ) ≤ 0 {\displaystyle \,\cos(x)\leq \ 0} за 90 ∘ ≤ x ≤ 270 ∘ {\displaystyle \,90^{\circ }\leq x\leq 270^{\circ }} или π 2 ≤ x ≤ 3 π 2 {\displaystyle \,{\tfrac {\pi }{2}}\leq x\leq {\tfrac {3\pi }{2}}} tan ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \,\tan(x)\geq \ 0} за 0 ∘ ≤ x < 90 ∘ , 180 ∘ ≤ x < 270 ∘ {\displaystyle \,0^{\circ }\leq x<90^{\circ },180^{\circ }\leq x<270^{\circ }} или 0 ≤ x < π 2 , π ≤ x < 3 π 2 {\displaystyle \,0\leq x<{\tfrac {\pi }{2}},\pi \leq x<{\tfrac {3\pi }{2}}} tan ( x ) ≤ 0 {\displaystyle \,\tan(x)\leq \ 0} за 90 ∘ < x ≤ 180 ∘ , 270 ∘ < x ≤ 360 ∘ {\displaystyle \,90^{\circ }<x\leq 180^{\circ },270^{\circ }<x\leq 360^{\circ }} или π 2 < x ≤ π , 3 π 2 < x ≤ 2 π {\displaystyle \,{\tfrac {\pi }{2}}<x\leq \pi ,{\tfrac {3\pi }{2}}<x\leq 2\pi } cot ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \,\cot(x)\geq \ 0} за 0 ∘ < x ≤ 90 ∘ , 180 ∘ < x ≤ 270 ∘ {\displaystyle \,0^{\circ }<x\leq 90^{\circ },180^{\circ }<x\leq 270^{\circ }} или 0 < x ≤ π 2 , π < x ≤ 3 π 2 {\displaystyle \,0<x\leq {\tfrac {\pi }{2}},\pi <x\leq {\tfrac {3\pi }{2}}} cot ( x ) ≤ 0 {\displaystyle \,\cot(x)\leq \ 0} за 90 ∘ ≤ x < 180 ∘ , 270 ∘ ≤ x < 360 ∘ {\displaystyle \,90^{\circ }\leq x<180^{\circ },270^{\circ }\leq x<360^{\circ }} или π 2 ≤ x < π , 3 π 2 ≤ x < 2 π {\displaystyle \,{\tfrac {\pi }{2}}\leq x<\pi ,{\tfrac {3\pi }{2}}\leq x<2\pi } sec ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \,\sec(x)\geq \ 0} за 0 ∘ < x < 90 ∘ , 270 ∘ < x < 360 ∘ {\displaystyle \,0^{\circ }<x<90^{\circ },270^{\circ }<x<360^{\circ }} или 0 < x < π 2 , 3 π 2 < x < 2 π {\displaystyle \,0<x<{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}<x<2\pi } sec ( x ) ≤ 0 {\displaystyle \,\sec(x)\leq \ 0} за 90 ∘ < x < 270 ∘ {\displaystyle \,90^{\circ }<x<270^{\circ }} или π 2 < x < 3 π 2 {\displaystyle \,{\tfrac {\pi }{2}}<x<{\tfrac {3\pi }{2}}} csc ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \,\csc(x)\geq \ 0} за 0 ∘ < x < 180 ∘ {\displaystyle \,0^{\circ }<x<180^{\circ }} или 0 < x < π {\displaystyle \,0<x<\pi } csc ( x ) ≤ 0 {\displaystyle \,\csc(x)\leq \ 0} за 180 ∘ < x < 360 ∘ {\displaystyle \,180^{\circ }<x<360^{\circ }} или π < x < 2 π {\displaystyle \,\pi <x<2\pi } Таблицата показва знаците на тригонометричните функции в зависимост от квадранта:
Квадрант sin и csc cos и sec tan и cot I + + + II + − − III − − + IV − + −
В следващата таблицата са дадени най-основните свойства на тригонометричните функции.
Функция Озна-чения Изразяване чрез основна връзка Дефиниционна област Област на стойностите Синус sin {\displaystyle \operatorname {sin} } sin α = cos ( π 2 − α ) {\displaystyle \sin \alpha =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,} ∀ α {\displaystyle \forall \alpha } [–1; 1] Косинус cos {\displaystyle \operatorname {cos} } cos α = sin ( π 2 − α ) {\displaystyle \cos \alpha =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,} ∀ α {\displaystyle \forall \alpha } [–1; 1] Тангенс tg {\displaystyle \operatorname {tg} } или tan {\displaystyle \operatorname {tan} } tg α = sin α cos α = ctg ( π 2 − α ) {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,} ∀ α {\displaystyle \forall \alpha } без α = k π {\displaystyle \alpha =k\pi } , k ∈ {\displaystyle k\in } Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ;+\infty )} Котангенс cotg {\displaystyle \operatorname {cotg} } , ctg {\displaystyle \operatorname {ctg} } или cot {\displaystyle \operatorname {cot} } ctg α = cos α sin α = tg ( π 2 − α ) {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,} ∀ α {\displaystyle \forall \alpha } без α = π 2 + k π {\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}+k\pi } , k ∈ {\displaystyle k\in } Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ;+\infty )}
Тъждества се наричат равенства, изпълнени за всички допустими стойности на променливите в тях. Стандартните тъждества на връзките между функциите са
sin 2 x + cos 2 x = 1 . {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\ .} sec 2 x − tg 2 x = 1 . {\displaystyle \sec ^{2}x-{\mathop {\operatorname {tg} } }^{2}x=1\ .} csc 2 x − ctg x x = 1 . {\displaystyle \csc ^{2}x-{\mathop {\operatorname {ctg} } }^{x}x=1\ .} От правоъгълния триъгълник ABC (фиг. 1 ) съгласно теоремата на Питагор
( A C ) 2 + ( B C ) 2 = ( A B ) 2 {\displaystyle \left(AC\right)^{2}+\left(BC\right)^{2}=\left(AB\right)^{2}} , и тъй като AB = 1 , AC = sin α и BC = cos α , то
sin 2 α + cos 2 α = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1} . В следващата таблица са дадени всички връзки между тригонометричните функции. Всяка от функциите е изразена чрез всяка от другите пет.
sin cos tan cot sec csc sin(x ) sin ( x ) {\displaystyle \,\sin(x)} ± 1 − cos 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}} ± tan ( x ) 1 + tan 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\tan(x)}{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}} ± 1 cot 2 ( x ) + 1 {\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}}} ± sec 2 ( x ) − 1 sec ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}{\sec(x)}}} 1 csc ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{\csc(x)}}} cos(x ) ± 1 − sin 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}} cos ( x ) {\displaystyle \,\cos(x)} ± 1 1 + tan 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}} ± cot ( x ) cot 2 ( x ) + 1 {\displaystyle \,\pm {\frac {\cot(x)}{\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}}} 1 sec ( x ) {\displaystyle \,{\frac {1}{\sec(x)}}} ± csc 2 ( x ) − 1 csc ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}{\csc(x)}}} tan(x ) ± sin ( x ) 1 − sin 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\sin(x)}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}}} ± 1 − cos 2 ( x ) cos ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}{\cos(x)}}} tan ( x ) {\displaystyle \,\tan(x)} 1 cot ( x ) {\displaystyle \,{\frac {1}{\cot(x)}}} ± sec 2 ( x ) − 1 {\displaystyle \,\pm {\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}} ± 1 csc 2 ( x ) − 1 {\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}}} cot(x ) ± 1 − sin 2 ( x ) sin ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}{\sin(x)}}} ± cos ( x ) 1 − cos 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\cos(x)}{\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}} 1 tan ( x ) {\displaystyle \,{\frac {1}{\tan(x)}}} cot ( x ) {\displaystyle \,\cot(x)} ± 1 sec 2 ( x ) − 1 {\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}} ± csc 2 ( x ) − 1 {\displaystyle \,\pm {\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}} sec(x ) ± 1 1 − sin 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}}} 1 cos ( x ) {\displaystyle \,{\frac {1}{\cos(x)}}} ± 1 + tan 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}} ± cot 2 ( x ) + 1 cot ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}{\cot(x)}}} sec ( x ) {\displaystyle \,\sec(x)} ± csc ( x ) csc 2 ( x ) − 1 {\displaystyle \,\pm {\frac {\csc(x)}{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}}} csc(x ) 1 sin ( x ) {\displaystyle \,{\frac {1}{\sin(x)}}} ± 1 1 − cos 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}} ± 1 + tan 2 ( x ) tan ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}{\tan(x)}}} ± cot 2 ( x ) + 1 {\displaystyle \,\pm {\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}} ± sec ( x ) sec 2 ( x ) − 1 {\displaystyle \,\pm {\frac {\sec(x)}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}} csc ( x ) {\displaystyle \,\csc(x)}
При използване на формулите трябва да се имат предвид, че знакът ± {\displaystyle \,\pm \,} определя две стойности.
Като се използват геометрични съображения и свойствата на границите, може да се докаже, че производната на синуса е равна на косинуса на същия ъгъл и производната на косинуса е равна на производната на синуса със знак минус. Тогава с помощта на редовете на Тейлър се представят синусът и косинусът като степенни редове :
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + x 9 9 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} ,
cos x = 1 − x 2 2 + x 4 4 ! − x 6 6 ! + x 8 8 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}} .
Ползвайки тези формули, а също и равенствата tg x = sin x cos x , {\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},} ctg x = cos x sin x , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},} sec x = 1 cos x {\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}} и cosec x = 1 sin x , {\displaystyle \operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},} може да се разложат в ред и другите тригонометрични функции:
tg x = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + 17 x 7 315 + 62 x 9 2835 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ; ( − π 2 < x < π 2 ) , {\displaystyle \operatorname {tg} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+{\frac {62x^{9}}{2835}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1};\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}
ctg x = 1 x − x 3 − x 3 45 − 2 x 5 945 − x 7 4725 − ⋯ = 1 x − ∑ n = 1 ∞ 2 2 n | B 2 n | ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ; ( − π < x < π ) , {\displaystyle {\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1};\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}}
sec x = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + 61 x 6 720 + 277 x 8 8064 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n ; ( − π 2 < x < π 2 ) , {\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n};\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}
cosec x = 1 x + 1 6 x + 7 360 x 3 + 31 15120 x 5 + 127 604800 x 7 + ⋯ = 1 x + ∑ n = 1 ∞ 2 ( 2 2 n − 1 − 1 ) | B 2 n | ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ; ( − π < x < π ) , {\displaystyle \operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1};\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}
където B n {\displaystyle B_{n}} са числа на Бернули , E n {\displaystyle E_{n}} са числа на Ойлер .
Във векторната геометрия косинусът се определя от скаларното произведение на два вектора u и v и техните норми ||u || и ||v ||:
cos ( u , v ) = ⟨ u , v ⟩ ‖ u ‖ × ‖ v ‖ {\displaystyle \cos(u,v)={\frac {\langle u,v\rangle }{\|u\|\times \|v\|}}} . Тригонометричните функции са включени в едни от най-рано използваните математически таблици. Тези таблици са част от справочниците по математика и студентите по различни инженерни дисциплини в миналото са обучавани да ги използват при изчислителните задачи и проекти.
Днес тригонометричните функции (sin, cos, tan, cot, sec, csc) се пресмятат с калкулатори от по-високо ниво. Повечето позволяват избора на измервателната единица за ъгъл: DEG , RAD , GRAD . При съвременните компютри съществуват голям брой програми, които осигуряват изключително точни и пълни изчисления.
Стойности на косинус и синус ( cos α , sin α ) {\displaystyle (\cos \alpha \,,\,\sin \alpha )} на окръжността Стойностите на синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс за някои ъгли са дадени в таблиците. („ ∞ {\displaystyle \infty } “ означава, че функцията в указаната точка не е дефинирана, но клони към безкрайност в нейната близост).
Радиани 0 {\displaystyle 0} π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} π {\displaystyle \pi } 3 π 2 {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}} 2 π {\displaystyle 2\pi } Градуси 0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }} 30 ∘ {\displaystyle 30^{\circ }} 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} 60 ∘ {\displaystyle 60^{\circ }} 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} 270 ∘ {\displaystyle 270^{\circ }} 360 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }} sin α {\displaystyle \sin \alpha } 0 {\displaystyle 0} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} − 1 {\displaystyle -1} 0 {\displaystyle 0} cos α {\displaystyle \cos \alpha } 1 {\displaystyle 1} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 0 {\displaystyle 0} − 1 {\displaystyle -1} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } 0 {\displaystyle 0} 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} 1 {\displaystyle 1} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} ∞ {\displaystyle \infty } 0 {\displaystyle 0} ∞ {\displaystyle \infty } 0 {\displaystyle 0} ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } ∞ {\displaystyle \infty } 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 1 {\displaystyle 1} 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} 0 {\displaystyle 0} ∞ {\displaystyle \infty } 0 {\displaystyle 0} ∞ {\displaystyle \infty } sec α {\displaystyle \sec \alpha } 1 {\displaystyle 1} 2 3 3 {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 {\displaystyle 2} ∞ {\displaystyle \infty } − 1 {\displaystyle -1} ∞ {\displaystyle \infty } 1 {\displaystyle 1} cosec α {\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha } ∞ {\displaystyle \infty } 2 {\displaystyle 2} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 3 3 {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} 1 {\displaystyle 1} ∞ {\displaystyle \infty } − 1 {\displaystyle -1} ∞ {\displaystyle \infty }
Стойности на тригонометрични функции за нестандартни ъгли [ редактиране | редактиране на кода ] Радиани 2 π 3 {\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}} 3 π 4 {\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}} 5 π 6 {\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}} 7 π 6 {\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}} 5 π 4 {\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}} 4 π 3 {\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}} 5 π 3 {\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}} 7 π 4 {\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}} 11 π 6 {\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}} Градуси 120 ∘ {\displaystyle 120^{\circ }} 135 ∘ {\displaystyle 135^{\circ }} 150 ∘ {\displaystyle 150^{\circ }} 210 ∘ {\displaystyle 210^{\circ }} 225 ∘ {\displaystyle 225^{\circ }} 240 ∘ {\displaystyle 240^{\circ }} 300 ∘ {\displaystyle 300^{\circ }} 315 ∘ {\displaystyle 315^{\circ }} 330 ∘ {\displaystyle 330^{\circ }} sin α {\displaystyle \sin \alpha } 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} − 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}} − 3 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}} − 3 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}} − 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}} − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} cos α {\displaystyle \cos \alpha } − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} − 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}} − 3 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}} − 3 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}} − 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}} − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } − 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}} − 1 {\displaystyle -1} − 3 3 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}} 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} 1 {\displaystyle 1} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} − 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}} − 1 {\displaystyle -1} − 3 3 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}} ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } − 3 3 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}} − 1 {\displaystyle -1} − 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 1 {\displaystyle 1} 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} − 3 3 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}} − 1 {\displaystyle -1} − 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}} sec α {\displaystyle \sec \alpha } − 2 {\displaystyle -2} − 2 {\displaystyle -{\sqrt {2}}} − 2 3 3 {\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} − 2 3 3 {\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} − 2 {\displaystyle -{\sqrt {2}}} − 2 {\displaystyle -2} 2 {\displaystyle 2} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 3 3 {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} cosec α {\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha } 2 3 3 {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 {\displaystyle 2} − 2 {\displaystyle -2} − 2 {\displaystyle -{\sqrt {2}}} − 2 3 3 {\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} − 2 3 3 {\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} − 2 {\displaystyle -{\sqrt {2}}} − 2 {\displaystyle -2}