في الرياضيات ، تصف مبرهنة متعدد الحدود كيفية توسيع قوة لمجموع بدلالة قوى المصطلحات في ذلك المجموع. إنه تعميم مبرهنة ذات الحدين من ذات الحدين إلى متعددات الحدود.
المبرهنة [ عدل ] لأي عدد صحيح موجب n {\displaystyle n} وأي عدد صحيح غير سالب m {\displaystyle m} ، تصف الصيغة متعددة الحدود كيف يتوسع مجموع بحدود m {\displaystyle m} عند رفعه إلى قوة عشوائية n {\displaystyle n} :
( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ; k 1 , k 2 , ⋯ , k m ≥ 0 ( n k 1 , k 2 , … , k m ) ∏ t = 1 m x t k t , {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n;\ k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}\geq 0}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{t=1}^{m}x_{t}^{k_{t}}\,,} أين
( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! {\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}} هو معامل متعدد الحدود . يتم أخذ المجموع على جميع مجموعات مؤشرات الأعداد الصحيحة غير السالبة k 1 {\displaystyle k_{1}} إلى k m {\displaystyle k_{m}} بحيث يكون مجموع كل k i {\displaystyle k_{i}} هو n {\displaystyle n} . أي أنه لكل حد في المفكوك ، يجب جمع أس i {\displaystyle i} حتى n . أيضًا ، كما هو الحال مع مبرهنة ذات الحدين ، فإن الكميات التي تظهر على شكل x 0 {\displaystyle x^{0}} تؤخذ على أنها تساوي 1 {\displaystyle 1} (حتى عندما تكون x تساوي صفرًا).
في الحالة m = 2 {\displaystyle m=2} ، تختصر هذه العبارة إلى تلك الخاصة بمبرهنة ذات الحدين.
القوة الثالثة من ثلاثي الحدود a + b + c {\displaystyle a+b+c} معطاة من قبل ( a + b + c ) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3 a 2 b + 3 a 2 c + 3 b 2 a + 3 b 2 c + 3 c 2 a + 3 c 2 b + 6 a b c . {\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.}
يمكن حساب ذلك يدويًا باستخدام خاصية التوزيع للضرب على الجمع ، ولكن يمكن أيضًا إجراؤه (ربما بسهولة أكبر) باستخدام مبرهنة متعددة الحدود. من الممكن «قراءة» المعاملات متعددة الحدود من المصطلحات باستخدام صيغة المعامل متعدد الحدود. فمثلا:
a 2 b 0 c 1 {\displaystyle a^{2}b^{0}c^{1}} المعامل ( 3 2 , 0 , 1 ) = 3 ! 2 ! ⋅ 0 ! ⋅ 1 ! = 6 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 3. {\displaystyle {3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.} a 1 b 1 c 1 {\displaystyle a^{1}b^{1}c^{1}} المعامل ( 3 1 , 1 , 1 ) = 3 ! 1 ! ⋅ 1 ! ⋅ 1 ! = 6 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 6. {\displaystyle {3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.} تعبير بديل [ عدل ] يمكن كتابة بيان المبرهنة بإيجاز باستخدام مؤشرات متعددة:
( x 1 + ⋯ + x m ) n = ∑ | α | = n ( n α ) x α {\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }} أين
α = ( α 1 , α 2 , … , α m ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m})} و
x α = x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x m α m {\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{m}^{\alpha _{m}}} دليل - إثبات [ عدل ] يستخدم هذا الدليل على مبرهنة متعددة الحدود مبرهنة ذات الحدين والاستقراء على m {\displaystyle m} .
أولاً ، بالنسبة لـ m = 1 {\displaystyle m=1} ، كلا الطرفين يساوي x 1 n {\displaystyle x_{1}^{n}} نظرًا لوجود حد واحد فقط n = k 1 {\displaystyle n=k_{1}} في المجموع. لخطوة الاستقراء ، افترض أن المبرهنة متعددة الحدود تنطبق على m {\displaystyle m} . ثم
( x 1 + x 2 + ⋯ + x m + x m + 1 ) n = ( x 1 + x 2 + ⋯ + ( x m + x m + 1 ) ) n = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m − 1 + K = n ( n k 1 , k 2 , … , k m − 1 , K ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m − 1 k m − 1 ( x m + x m + 1 ) K {\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n}\\[6pt]={}&\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\end{aligned}}} من خلال فرضية الاستقراء. تطبيق مبرهنة ذات الحدين على العامل الأخير ،
= ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m − 1 + K = n ( n k 1 , k 2 , … , k m − 1 , K ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m − 1 k m − 1 ∑ k m + k m + 1 = K ( K k m , k m + 1 ) x m k m x m + 1 k m + 1 {\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}} = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m − 1 + k m + k m + 1 = n ( n k 1 , k 2 , … , k m − 1 , k m , k m + 1 ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m − 1 k m − 1 x m k m x m + 1 k m + 1 {\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}} الذي يكمل الاستقراء. الخطوة الأخيرة تتبع لأن
( n k 1 , k 2 , … , k m − 1 , K ) ( K k m , k m + 1 ) = ( n k 1 , k 2 , … , k m − 1 , k m , k m + 1 ) , {\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}={n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}},} كما يمكن رؤيته بسهولة عن طريق كتابة المعاملات الثلاثة باستخدام العوامل على النحو التالي:
n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m − 1 ! K ! K ! k m ! k m + 1 ! = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m + 1 ! . {\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}.} معاملات متعددة الحدود [ عدل ] الارقام
( n k 1 , k 2 , … , k m ) {\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}} تظهر في المبرهنة المعاملات متعددة الحدود . يمكن التعبير عنها بعدة طرق ، بما في ذلك كنتيجة لمعاملات ذات الحدين أو عاملي :
( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! = ( k 1 k 1 ) ( k 1 + k 2 k 2 ) ⋯ ( k 1 + k 2 + ⋯ + k m k m ) {\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}={k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m} \choose k_{m}}} مجموع كل المعاملات متعددة الحدود [ عدل ] التعويض عن x i = 1 {\displaystyle x_{i}=1} لجميع i {\displaystyle i} في مبرهنة متعددة الحدود
∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , … , k m ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m = ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n {\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}} يعطي ذلك على الفور
∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , … , k m ) = m n . {\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}=m^{n}.} عدد المعاملات متعددة الحدود [ عدل ] عدد الحدود في مجموع متعدد الحدود ، # n , m {\displaystyle \#_{n,m}} يساوي عدد المونومرات من الدرجة n {\displaystyle n} على المتغيرات x 1 , ⋯ , x m {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{m}} :
# n , m = ( n + m − 1 m − 1 ) . {\displaystyle \#_{n,m}={n+m-1 \choose m-1}.} يمكن إجراء العد بسهولة باستخدام طريقة النجوم والأشرطة .
تقييم المعاملات متعددة الحدود [ عدل ] أكبر قوة عدد أولي p {\displaystyle p} يمكن حساب المعامل متعدد الحدود باستخدام تعميم مبرهنة كومر [الإنجليزية] .
التفسيرات [ عدل ] طرق لوضع الأشياء في صناديق [ عدل ] المعاملات متعددة الحدود لها تفسير اندماجي مباشر ، مثل عدد طرق إيداع n {\displaystyle n} كائنات مميزة في m {\displaystyle m} صناديق مميزة ، مع k 1 {\displaystyle k_{1}} كائنات في الحاوية الأولى، و k 2 {\displaystyle k_{2}} كائنات في الحاوية الثانية ، وهكذا. [1]
عدد طرق التحديد وفقًا للتوزيع [ عدل ] في الميكانيكا الإحصائية والتوافقيات ، إذا كان لدى المرء توزيع رقمي للتسميات ، فإن المعاملات متعددة الحدود تنشأ بشكل طبيعي من المعاملات ذات الحدين. بالنظر إلى توزيع الأرقام n i {\displaystyle n_{i}} على مجموعة من العناصر الإجمالية N {\displaystyle N} ، يمثل n i {\displaystyle n_{i}} عدد العناصر التي سيتم منحها التصنيف i {\displaystyle i} . (في الميكانيكا الإحصائية ، i {\displaystyle i} تسمية حالة الطاقة.)
اختيار n 1 {\displaystyle n_{1}} من إجمالي N {\displaystyle N} ليتم تسميتها 1 {\displaystyle 1} . يمكن القيام بذلك ( N n 1 ) {\displaystyle N \choose n_{1}} طرق. من المتبقي N − n 1 {\displaystyle N-n_{1}} عنصر اختر n 2 {\displaystyle n_{2}} للتسمية 2 {\displaystyle 2} . يمكن القيام بذلك ( N − n 1 n 2 ) {\displaystyle N-n_{1} \choose n_{2}} طرق. من المتبقي N − n 1 − n 2 {\displaystyle N-n_{1}-n_{2}} عناصر اختر n 3 {\displaystyle n_{3}} للتسمية 3 {\displaystyle 3} . مرة أخرى ، يمكن القيام بذلك ( N − n 1 − n 2 n 3 ) {\displaystyle N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}} طرق. يؤدي ضرب عدد الاختيارات في كل خطوة إلى:
( N n 1 ) ( N − n 1 n 2 ) ( N − n 1 − n 2 n 3 ) ⋯ = N ! ( N − n 1 ) ! n 1 ! ⋅ ( N − n 1 ) ! ( N − n 1 − n 2 ) ! n 2 ! ⋅ ( N − n 1 − n 2 ) ! ( N − n 1 − n 2 − n 3 ) ! n 3 ! ⋯ . {\displaystyle {N \choose n_{1}}{N-n_{1} \choose n_{2}}{N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}}\cdots ={\frac {N!}{(N-n_{1})!n_{1}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1})!}{(N-n_{1}-n_{2})!n_{2}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1}-n_{2})!}{(N-n_{1}-n_{2}-n_{3})!n_{3}!}}\cdots .} ينتج عن الإلغاء الصيغة المذكورة أعلاه.
عدد التبديلات الفريدة للكلمات [ عدل ] المعامل متعدد الحدود كمنتج للمعاملات ذات الحدين ، مع احتساب التباديل لأحرف ميسيسيبي. المعامل متعدد الحدود ( n k 1 , … , k m ) {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}} هو أيضًا عدد الطرق المميزة لتبديل مجموعة متعددة من العناصر n {\displaystyle n} ، حيث k i {\displaystyle k_{i}} هو تعدد كل عنصر من العناصر i . على سبيل المثال ، عدد التباديل المميز لأحرف الكلمة MISSISSIPPI ، التي تحتوي على 1 M و 4 Is و 4 Ss و 2 Ps ، هو
( 11 1 , 4 , 4 , 2 ) = 11 ! 1 ! 4 ! 4 ! 2 ! = 34650. {\displaystyle {11 \choose 1,4,4,2}={\frac {11!}{1!\,4!\,4!\,2!}}=34650.} مثلث باسكال المعمم [ عدل ] يمكن للمرء استخدام نظرية متعددة الحدود لتعميم مثلث باسكال أو هرم باسكال على البسيط لباسكال . يوفر هذا طريقة سريعة لإنشاء جدول بحث للمعاملات متعددة الحدود.
المراجع [ عدل ]