هرم باسكال

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (يناير 2022)

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (يوليو 2018)

في الرياضيات، هرم باسكال (بالإنجليزية: Pascal's pyramid)‏ هو ترتيب ثلاثي الأبعاد للأعداد الثلاثية وهي معاملات المبرهنة الثلاثية و التوزيع ثلاثي الحدود. هرم باسكال هو نظير ثلاثي الأبعاد لمثلث باسكال ثنائي الأبعاد، والذي يحتوي على الأعداد الثنائية و يرتبط بالمبرهنة الثنائية و التوزيع ثنائي الحدين.

سمي هذا الهرم هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي بليز باسكال.

المعاملات الثلاثية[عدل]

تقديمها وأهميتها[عدل]

المعاملات الثلاثية تكتب على الشكل ${\displaystyle {n \choose i,j,k}}$ حيث ${\displaystyle (i,j,k)}$ مثلوث أعداد صحيحة طبيعية (موجبة) و ${\displaystyle n=i+j+k}$. و هي معرفة بالصيغة ${\displaystyle {n \choose i,j,k}={\frac {n!}{i!j!k!}}}$ و نجدها في الحالات التالية:

• في الجبر.
• في التعداد.
• في الإحصاء.

العلاقة بين المعاملات الثلاثية وهرم باسكال[عدل]

${\displaystyle {n \choose i,j,k}={n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}}$، و هو صحيح لكل مثلوث ${\displaystyle (i,j,k)}$ من الأعداد الصحيحة الطبيعية حيث ${\displaystyle n=i+j+k}$. تظل هذه القاعدة صحيحة في الحالاتi ، j أو k يساوي 0، بشرط أن يكون :${\displaystyle {n' \choose i',j',k'}=0}$ إذا كان ${\displaystyle i'\leq -1}$ أو ${\displaystyle j'\leq -1}$ أو ${\displaystyle k'\leq -1}$ و ${\displaystyle n'=i'+j'+k'\geq 0}$.

البرهان[عدل]

${\displaystyle {n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}={\frac {(n-1)!}{(i-1)!j!k!}}+{\frac {(n-1)!}{i!(j-1)!k!}}+{\frac {(n-1)!}{i!j!(k-1)!}}}$

لهذه الغاية نعمل بالقيمة !(n-1)، ثم نوحد مقامات الحدود الثلاثة بملاحظة أن ${\displaystyle {\frac {1}{(i-1)!}}={\frac {i}{i!}}}$، وبالتالي فإن المقام المشترك هو ${\displaystyle i!j!k!}$

وهكذا : ${\displaystyle {n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}={\frac {(n-1)!}{i!j!k!}}\left(i+j+k\right)}$

و الحال أن ${\displaystyle n=i+j+k}$ و ${\displaystyle (n-1)!n=n!}$ و بالتالي :${\displaystyle {n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}={\frac {n!}{i!j!k!}}={n \choose i,j,k}}$

انظر أيضا[عدل]

• ثلاثي حد نيوتن
• مثلث باسكال

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

• (بالإنجليزية) Beyond Flatland: Geometry for the 21st Century. PART I: Pascal's Tetrahedron
• (بالإنجليزية) Pascal's Simplices exposés sur le triangle de Pascal, la pyramide de Pascal, et davantage.

• بوابة رياضيات