复空间赫尔维茨ζ函数 赫尔维茨ζ函数 (Hurwitz zeta function)定义如下
ζ ( s , q ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( q + n ) s . {\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}}.} 其中 q {\displaystyle q} 、 s {\displaystyle s} 都是复数,并且有 R e ( q ) > 0 {\displaystyle Re(q)>0} , R e ( s ) > 0 {\displaystyle Re(s)>0}
对于给定的q,s,此函数可以扩展到 s ≠1的亚纯函数 .
黎曼ζ函数 = ζ ( s , 1 ) {\displaystyle \zeta (s,1)}
级数展开 [ 编辑 ] 赫尔维茨ζ函数可以展开成级数::[1]
ζ ( s , q ) = 1 s − 1 ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( q + k ) 1 − s . {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.} 此级数在S空间的紧空间 子集中均匀收敛成为一个整函数 。
积分式 [ 编辑 ] 赫尔维茨ζ函数可以表示为下列梅林变换
ζ ( s , q ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ t s − 1 e − q t 1 − e − t d t {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt} 其中 ℜ s > 1 {\displaystyle \Re s>1} 及 ℜ q > 0. {\displaystyle \Re q>0.}
赫尔维茨公式 [ 编辑 ] ζ ( 1 − s , x ) = 1 2 s [ e − i π s / 2 β ( x ; s ) + e i π s / 2 β ( 1 − x ; s ) ] {\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]} 其中
β ( x ; s ) = 2 Γ ( s + 1 ) ∑ n = 1 ∞ exp ( 2 π i n x ) ( 2 π n ) s = 2 Γ ( s + 1 ) ( 2 π ) s Li s ( e 2 π i x ) {\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})} 对于 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x\leq 1} and s > 1成立,其中 Li s ( z ) {\displaystyle {\text{Li}}_{s}(z)} 代表 多重对数 .
泰勒展开 [ 编辑 ] 赫尔维茨ζ函数的导数是平移:
∂ ∂ q ζ ( s , q ) = − s ζ ( s + 1 , q ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).} 因此赫尔维茨ζ函数的泰勒级数 可表示为:
ζ ( s , x + y ) = ∑ k = 0 ∞ y k k ! ∂ k ∂ x k ζ ( s , x ) = ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 s − 1 ) ( − y ) k ζ ( s + k , x ) . {\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).} 或
ζ ( s , q ) = 1 q s + ∑ n = 0 ∞ ( − q ) n ( s + n − 1 n ) ζ ( s + n ) , {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n),} 其中 | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} .[2]
与Θ函數的关系 [ 编辑 ] 令 ϑ ( z , τ ) {\displaystyle \vartheta (z,\tau )} 代表 雅可比 Θ函數 , 则 ∫ 0 ∞ [ ϑ ( z , i t ) − 1 ] t s / 2 d t t = π − ( 1 − s ) / 2 Γ ( 1 − s 2 ) [ ζ ( 1 − s , z ) + ζ ( 1 − s , 1 − z ) ] {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]} 对于 ℜ s > 0 {\displaystyle \Re s>0} and 复数z 成立,但对于 z =n 整数,则有
∫ 0 ∞ [ ϑ ( n , i t ) − 1 ] t s / 2 d t t = 2 π − ( 1 − s ) / 2 Γ ( 1 − s 2 ) ζ ( 1 − s ) = 2 π − s / 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).} 其中 ζ 代表黎曼ζ函数 .
正整数m的赫尔维茨ζ函数与 多伽玛函数 有下列关系:
ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ζ ( m + 1 , z ) . {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .} For negative integer −n the values are related to the Bernoulli polynomials :[3]
ζ ( − n , x ) = − B n + 1 ( x ) n + 1 . {\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}\ .} The 巴恩斯ζ函数 是赫尔维茨ζ函数的推广。
The 勒奇超越函数 也是赫尔维茨ζ函数的推广:
Φ ( z , s , q ) = ∑ k = 0 ∞ z k ( k + q ) s {\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}} 即:
ζ ( s , q ) = Φ ( 1 , s , q ) . {\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).\,} 赫尔维茨ζ函数与超几何函数 的关系:
ζ ( s , a ) = a − s ⋅ s + 1 F s ( 1 , a 1 , a 2 , … a s ; a 1 + 1 , a 2 + 1 , … a s + 1 ; 1 ) {\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)} 其中 a 1 = a 2 = … = a s = a and a ∉ N and s ∈ N + . {\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ and }}a\notin \mathbb {N} {\text{ and }}s\in \mathbb {N} ^{+}.} Meijer G函数
ζ ( s , a ) = G s + 1 , s + 1 1 , s + 1 ( − 1 | 0 , 1 − a , … , 1 − a 0 , − a , … , − a ) s ∈ N + . {\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.} 参考文献 [ 编辑 ] ^ Hasse, Helmut, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe , Mathematische Zeitschrift , 1930, 32 (1): 458–464 [2015-02-04 ] , JFM 56.0894.03 , doi:10.1007/BF01194645 , (原始内容存档 于2017-08-05) ^ Vepsta卄s, Linas. An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions. 2007. arXiv:math.CA/0702243 . ^ Apostol (1976) p.264 延伸阅读 [ 编辑 ] Davenport, Harold . Multiplicative number theory. Lectures in advanced mathematics 1 . Chicago: Markham. 1967. Zbl 0159.06303 . Miller, Jeff; Adamchik, Victor S. Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments . Journal of Computational and Applied Mathematics. 1998, 100 : 201–206 [2015-02-04 ] . doi:10.1016/S0377-0427(98)00193-9 . (原始内容存档 于2010-03-16). Vepstas, Linas. The Bernoulli Operator, the Gauss–Kuzmin–Wirsing Operator, and the Riemann Zeta (PDF) . [2015-02-04 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2021-03-10). Mező, István; Dil, Ayhan. Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function. Journal of Number Theory. 2010, 130 (2): 360–369. doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005 .