複平面 中一矩形區域之黎曼ζ函數 ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)} ;此圖用Matplotlib 程式繪圖產生,使用到定義域著色 方法。[1] 黎曼泽塔函數 ,写作ζ(s ) 的定義如下: 設一複數 s 使得 Re(s ) > 1 ,則定義:
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}} 它亦可以用积分定义:
ζ ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x} 在区域 {s : Re(s ) > 1} 上,此无穷级数 收敛并为一全纯函数 。欧拉 在1740年考虑过 s 为正整数的情况,后来切比雪夫 拓展到 s > 1 。[2] 波恩哈德·黎曼 认识到:ζ函数可以通过解析延拓 ,把定義域 扩展到幾乎整個复数域上的全纯函数 ζ(s ) 。这也是黎曼猜想 所研究的函数。
虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论 相关,它也出现在应用统计学 (参看齊夫定律 和齊夫-曼德爾布羅特定律 )、物理 ,以及调音 的数学理论中。
奥里斯姆 [ 编辑 ] ζ函数最早出现于1350年左右,尼克尔·奥里斯姆 发现了调和级数 发散,即: ζ ( 1 ) = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + . . . → ∞ {\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...\to \infty }
奥里斯姆对调和级数发散的“证明” ζ ( 1 ) = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + . . . = 1 + 1 2 + ( 1 3 + 1 4 ) + ( 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ) + . . . ≥ 1 + 1 2 + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + . . . = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + . . . → ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (1)&=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+...\\&=1+{\frac {1}{2}}+({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}})+({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}})+...\\&\geq 1+{\frac {1}{2}}+({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}})+({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}})+...\\&=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+...\\&\to \infty \\\end{aligned}}}
第n个调和数(蓝点)与Log(n)+γ(红线)的图像 之后的一次进展来自莱昂哈德·欧拉 ,他给出了调和级数呈对数发散。
欧拉对调和级数发散速度的证明[3] 为了求出调和级数的部分和,使用欧拉-麦克劳林求和公式 (当然,亦可使用阿贝尔求和公式 ): ∑ y < n ≤ x f ( n ) = ∫ y x f ( t ) d t + ∫ y x ( t − ⌊ t ⌋ ) f ′ ( t ) d t + f ( x ) ( ⌊ x ⌋ − x ) − f ( y ) ( ⌊ y ⌋ − y ) {\displaystyle \sum _{y<n\leq x}f(n)=\int _{y}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t+\int _{y}^{x}(t-\left\lfloor t\right\rfloor )f'(t)\,\mathrm {d} t+f(x)(\left\lfloor x\right\rfloor -x)-f(y)(\left\lfloor y\right\rfloor -y)} ∑ n ≤ x 1 n = 1 + ∫ 1 x 1 t d t − ∫ 1 x ( t − ⌊ t ⌋ ) t 2 d t + ⌊ x ⌋ − x x = 1 + ln x − ∫ 1 x ( t − ⌊ t ⌋ ) t 2 d t + O ( 1 x ) = 1 + ln x − ∫ 1 ∞ ( t − ⌊ t ⌋ ) t 2 d t + ∫ x ∞ ( t − ⌊ t ⌋ ) t 2 d t + O ( 1 x ) = ln x + 1 − ∫ 1 ∞ ( t − ⌊ t ⌋ ) t 2 d t + ∫ x ∞ { t } t 2 d t + O ( 1 x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}{\frac {1}{n}}&=1+\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{1}^{x}{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+{\frac {\left\lfloor x\right\rfloor -x}{x}}\\&=1+\ln x-\int _{1}^{x}{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+\mathrm {O} \left({\frac {1}{x}}\right)\\&=1+\ln x-\int _{1}^{\infty }{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+\int _{x}^{\infty }{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+\mathrm {O} \left({\frac {1}{x}}\right)\\&=\ln x+1-\int _{1}^{\infty }{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+\int _{x}^{\infty }{\frac {\left\{t\right\}}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+\mathrm {O} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\end{aligned}}} 注意到其中的 1 − ∫ 1 ∞ ( t − ⌊ t ⌋ ) t 2 d t {\displaystyle 1-\int _{1}^{\infty }{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t} 是一个常数。实际上,这就是歐拉-馬斯刻若尼常數 γ 再考虑剩下的一个积分,也就是 ∫ x ∞ { t } t 2 d t {\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {\left\{t\right\}}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t} 由于被积项非负,又有 { t } ≤ 1 {\displaystyle \left\{t\right\}\leq 1} ,于是 ∫ x ∞ { t } t 2 d t ≤ ∫ x ∞ 1 t 2 d t = 1 x {\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {\left\{t\right\}}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t\leq \int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{x}}} 最终得到 ∑ n ≤ x 1 n = ln x + γ + O ( 1 x ) {\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {1}{n}}=\ln x+\gamma +\mathrm {O} ({\frac {1}{x}})}
除此之外,他还在1735年给出了巴塞尔问题 的解答,得到 ζ ( 2 ) = π 2 6 {\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}} 的结果。欧拉最初的证明可以在巴塞尔问题#欧拉的錯誤證明 中看到,然而那是他的第一个证明,因而广为人知。 事实上,那个证明虽有不严谨之处,但是欧拉仍然有自己的严格证明。[4]
欧拉对 ζ ( 2 ) = π 2 6 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\end{smallmatrix}}} 的严格证明 下面将写出欧拉对上式的证明中缺失的严格论证的部分,即对连乘积公式的证明部分,而不涉及最终的系数比较 首先考虑当n为奇数时,将 z n − a n {\displaystyle z^{n}-a^{n}} 分解为连乘积形式。 事实上,容易发现上式的全部复根为 a , a e 2 π i 1 n , a e 2 π i 2 n , . . . , a e 2 π i n − 1 n {\displaystyle a,ae^{2\pi i{\frac {1}{n}}},ae^{2\pi i{\frac {2}{n}}},...,ae^{2\pi i{\frac {n-1}{n}}}}
由于n为奇数,所以可以将除了z=a外的其他根及其共轭一一配对,即 将共轭的根一一配对 a e 2 π i k n , a e 2 π i n − k n = a e − 2 π i k n {\displaystyle ae^{2\pi i{\frac {k}{n}}},ae^{2\pi i{\frac {n-k}{n}}}=ae^{-2\pi i{\frac {k}{n}}}} 看做一对, 则通过二次方程的韦达定理 可以还原出每对根的最小多项式: 按照韦达定理,有 x 1 + x 2 = − a 1 a 0 = a e 2 π i k n + a e − 2 π i k n = cos ( 2 π k n ) + cos ( − 2 π k n ) = 2 cos ( 2 π k n ) {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {a_{1}}{a_{0}}}=ae^{2\pi i{\frac {k}{n}}}+ae^{-2\pi i{\frac {k}{n}}}=\cos \left(2\pi {\frac {k}{n}}\right)+\cos \left(-2\pi {\frac {k}{n}}\right)=2\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)} x 1 x 2 = a 2 a 0 = a e 2 π i k n a e − 2 π i k n = a 2 {\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {a_{2}}{a_{0}}}=ae^{2\pi i{\frac {k}{n}}}ae^{-2\pi i{\frac {k}{n}}}=a^{2}} 由于最小多项式首项系数为1,故 a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1} ,由此得到这对根最小多项式为 a 0 z 2 + a 1 z + a 2 = z 2 − 2 cos ( 2 π k n ) z + a 2 {\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{1}z+a_{2}=z^{2}-2\cos \left({\tfrac {2\pi k}{n}}\right)z+a^{2}} 注意到k的取值上限为 n − 1 2 {\displaystyle {\tfrac {n-1}{2}}} ,将每一对根的最小多项式相乘, 还有z=a这个根的最小多项式 z − a {\displaystyle z-a} ,乘在一起,得到 z n − a n = ( z − a ) ∏ k = 1 n − 1 2 ( z 2 − 2 a z cos 2 k π n + a 2 ) {\displaystyle z^{n}-a^{n}=(z-a)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left(z^{2}-2az\cos {\frac {2k\pi }{n}}+a^{2}\right)} 令 z = 1 + x N , a = 1 − x N , N = n {\displaystyle z=1+{\frac {x}{N}},a=1-{\frac {x}{N}},N=n} ,代入上式,有: ( 1 + x N ) N − ( 1 − x N ) N = [ ( 1 + x N ) − ( 1 − x N ) ] ∏ k = 1 N − 1 2 [ ( 1 + x N ) 2 − 2 ( 1 + x N ) ( 1 − x N ) cos ( 2 π k N ) + ( 1 − x N ) 2 ] = 2 x N ∏ k = 1 N − 1 2 [ 2 + 2 x 2 N 2 − 2 ( 1 − x 2 N 2 ) cos ( 2 π k N ) ] = 2 x N ∏ k = 1 N − 1 2 [ 2 + 2 x 2 N 2 − 2 cos ( 2 π k N ) + 2 x 2 N 2 cos ( 2 π k N ) ] = 4 x N ∏ k = 1 N − 1 2 ( ( 1 − cos ( 2 π k N ) ) + ( 1 + cos ( 2 π k N ) ) x 2 N 2 ) = 4 x N ∏ k = 1 N − 1 2 { [ 1 − cos ( 2 π k N ) ] [ 1 + 1 + cos ( 2 π k N ) 1 − cos ( 2 π k N ) x 2 N 2 ] } {\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{N}-\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{N}&=\left[\left(1+{\frac {x}{N}}\right)-\left(1-{\frac {x}{N}}\right)\right]\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left[\left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{2}-2\left(1+{\frac {x}{N}}\right)\left(1-{\frac {x}{N}}\right)\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)+\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {2x}{N}}\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left[2+{\frac {2x^{2}}{N^{2}}}-2\left(1-{\frac {x^{2}}{N^{2}}}\right)\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)\right]\\&={\frac {2x}{N}}\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left[{2+{\frac {2{x^{2}}}{N^{2}}}-2\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)+{\frac {2{x^{2}}}{N^{2}}}\cos({\frac {2\pi k}{N}})}\right]\\&={\frac {4x}{N}}\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left({(1-\cos({\frac {2\pi k}{N}}))+(1+\cos({\frac {2\pi k}{N}})){\frac {x^{2}}{N^{2}}}}\right)\\&={\frac {4x}{N}}\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left\{\left[1-\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)\right]\left[{1+{\frac {1+\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)}{1-\cos({\frac {2\pi k}{N}})}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}}\right]\right\}\\\end{aligned}}} 此时,上述乘积中的 4 N ∏ k = 1 N − 1 2 ( 1 − cos ( 2 π k N ) ) {\displaystyle {\frac {4}{N}}\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}(1-\cos({\frac {2\pi k}{N}}))} 仅和N有关,记作 C ( N ) {\displaystyle C(N)} ,上式变为 ( 1 + x N ) N − ( 1 − x N ) N = C ( N ) x ∏ k = 1 N − 1 2 ( 1 + 1 + cos ( 2 π k N ) 1 − cos ( 2 π k N ) x 2 N 2 ) {\displaystyle \left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{N}-\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{N}={C(N)}x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left({1+{\frac {1+\cos({\frac {2\pi k}{N}})}{1-\cos({\frac {2\pi k}{N}})}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}}\right)} 而利用二项式定理,将等式左边展开: ( 1 + x N ) N = ∑ k = 0 N C N k x k N k {\displaystyle {(1+{\frac {x}{N}})^{N}}=\sum _{k=0}^{N}{C_{N}^{k}{\frac {x^{k}}{N^{k}}}}} ( 1 − x N ) N = ∑ k = 0 N ( − 1 ) k C N k x k N k {\displaystyle {(1-{\frac {x}{N}})^{N}}=\sum _{k=0}^{N}{{{(-1)}^{k}}C_{N}^{k}{\frac {x^{k}}{N^{k}}}}} 两式相减,考虑一次项,为 C N 1 x N − ( − 1 ) C N 1 x N = 2 C N 1 x N = 2 x {\displaystyle C_{N}^{1}{\frac {x}{N}}-(-1)C_{N}^{1}{\frac {x}{N}}=2C_{N}^{1}{\frac {x}{N}}=2x} 这正是等式的左边的一次项 而等式右边的一次项只能是连乘积中的全部1与连乘积外的C(n)x相乘,为使两边相等,必须有 C ( N ) = 2 {\displaystyle C(N)=2} ,于是上式变为 ( 1 + x N ) N − ( 1 − x N ) N = 2 x ∏ k = 1 N − 1 2 ( 1 + 1 + cos ( 2 π k N ) 1 − cos ( 2 π k N ) x 2 N 2 ) {\displaystyle \left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{N}-\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{N}=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left({1+{\frac {1+\cos({\frac {2\pi k}{N}})}{1-\cos({\frac {2\pi k}{N}})}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}}\right)} 另一方面,令 θ = 2 π k N {\displaystyle \theta ={\frac {2\pi k}{N}}} ,有 cos ( θ ) = 1 − θ 2 2 + O ( θ 3 ) {\displaystyle \cos(\theta )=1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}+\mathrm {O} (\theta ^{3})} 于是,代入上式,得到 ( 1 + x N ) N − ( 1 − x N ) N = 2 x ∏ k = 1 N − 1 2 [ 1 + 1 + cos ( 2 π k N ) 1 − cos ( 2 π k N ) x 2 N 2 ] = 2 x ∏ k = 1 N − 1 2 { 1 + 1 + [ 1 − θ 2 2 + O ( θ 3 ) ] 1 − [ 1 − θ 2 2 + O ( θ 3 ) ] x 2 N 2 } = 2 x ∏ k = 1 N − 1 2 [ 1 + 2 − θ 2 2 + O ( θ 3 ) θ 2 2 + O ( θ 3 ) x 2 N 2 ] = 2 x ∏ k = 1 N − 1 2 ( 1 + ( 4 − θ 2 + O ( θ 3 ) ) x 2 ( θ 2 + O ( θ 3 ) ) N 2 ) = 2 x ∏ k = 1 N − 1 2 ( 1 + ( 4 − ( 2 k π N ) 2 + O ( ( 2 k π N ) 3 ) ) x 2 ( ( 2 k π N ) 2 + O ( ( 2 k π N ) 3 ) ) N 2 ) = 2 x ∏ k = 1 N − 1 2 ( 1 + ( 4 − ( 2 k π N ) 2 + O ( ( 2 k π N ) 3 ) ) x 2 ( 2 k π ) 2 + O ( ( 2 k π ) 3 N ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{N}-\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{N}&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left[1+{\frac {1+\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)}{1-\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}\right]\\&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left\{1+{\frac {1+\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)\right]}{1-\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)\right]}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}\right\}\\&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left[1+{\frac {2-{\frac {\theta ^{2}}{2}}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)}{{\frac {\theta ^{2}}{2}}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}\right]\\&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left(1+{\frac {\left(4-\theta ^{2}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)\right)x^{2}}{\left(\theta ^{2}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)\right)N^{2}}}\right)\\&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left(1+{\frac {\left(4-\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{2}+\mathrm {O} \left(\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{3}\right)\right)x^{2}}{\left(\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{2}+\mathrm {O} \left(\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{3}\right)\right)N^{2}}}\right)\\&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left(1+{\frac {\left(4-\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{2}+\mathrm {O} \left(\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{3}\right)\right)x^{2}}{(2k\pi )^{2}+\mathrm {O} \left({\frac {(2k\pi )^{3}}{N}}\right)}}\right)\end{aligned}}} 令N→∞,则右端大O符号的诸项都变为无穷小。另一方面,左端可写为: lim N → ∞ ( 1 + x N ) N − ( 1 − x N ) N = e x − e − x {\displaystyle \lim _{N\to \infty }(1+{\frac {x}{N}})^{N}-(1-{\frac {x}{N}})^{N}=e^{x}-e^{-x}} 于是上式变为 e x − e − x = 2 x ∏ k = 1 ∞ ( 1 + ( 4 + o ( 1 ) ) x 2 ( 2 k π ) 2 + o ( 1 ) ) = 2 x ∏ k = 1 ∞ ( 1 + ( 1 + o ( 1 ) ) x 2 k 2 π 2 + o ( 1 ) ) = 2 x ∏ k = 1 ∞ ( 1 + x 2 k 2 π 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}-e^{-x}&=2x\prod _{k=1}^{\infty }\left({1+{\frac {(4+o(1)){x^{2}}}{{{(2k\pi )}^{2}}+o(1)}}}\right)\ \\&=2x\prod _{k=1}^{\infty }\left({1+{\frac {(1+o(1)){x^{2}}}{{k^{2}}{\pi ^{2}}+o(1)}}}\right)\ \\&=2x\prod _{k=1}^{\infty }\left({1+{\frac {x^{2}}{{k^{2}}{\pi ^{2}}}}}\right)\ \\\end{aligned}}} 此时,只需比较左右两端展开式的三次项系数,即可得出结果。 对左式进行级数展开,可得: e x − e − x = − ∑ k = 0 ∞ ( − x ) k − x k k ! {\displaystyle e^{x}-e^{-x}=-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}-x^{k}}{k!}}} 其中当 k = 3 {\displaystyle k=3} 时可提取左式的三次项为 2 x 3 3 ! {\displaystyle {\frac {2x^{3}}{3!}}} 。
同时展开右式可得右式的三次项为 ( ∑ k = 1 ∞ 2 k 2 π 2 ) x 3 {\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)x^{3}} 由于等式左右端相等,所以左右式三次项系数必须相等, 因此可得: 2 3 ! = ∑ k = 1 ∞ 2 k 2 π 2 {\displaystyle {\frac {2}{3!}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{k^{2}\pi ^{2}}}} 化简可得: π 2 6 = ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = ζ ( 2 ) {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\zeta \left(2\right)}
欧拉在1737年还发现了欧拉乘积公式 : ∑ n = 1 ∞ 1 n s = ∏ p ( 1 − 1 p s ) − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}(1-{\frac {1}{p^{s}}})^{-1}} 这是ζ函数与素数的联系的朦胧征兆,其证明可以在证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式 中看到。 通过这条公式,容易证明当 Re ( s ) > 1 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} (s)>1\end{smallmatrix}}} 时, ζ ( s ) > 0 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)>0\end{smallmatrix}}}
1749年,欧拉通过大胆的计算發現了(以下公式當中存在定義域謬誤,後由黎曼透過解析延拓証明以下公式只適用於 Re(s ) > 1 )[5] ζ ( − 1 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . = − 1 12 {\displaystyle \zeta (-1)=1+2+3+4+5+...=-{\frac {1}{12}}} ζ ( − 2 ) = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + . . . = 0 {\displaystyle \zeta (-2)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+...=0} ζ ( − 3 ) = 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 + . . . = 1 120 {\displaystyle \zeta (-3)=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+...={\frac {1}{120}}} 发现ζ(s)与ζ(1-s)之间存在某些关系。
波恩哈德·黎曼 对ζ解析延拓,用于素数的分布理论 将欧拉所做的一切牢牢地置于坚石之上的是黎曼,他在1859年的论文论小于给定数值的素数个数 以及未发表的手稿中做出了多项进展:[6]
第一积分表示: ζ ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x} 完备化的ζ,即黎曼ξ函数 : ξ ( s ) = π − s 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) {\displaystyle \xi (s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)} ,满足函数方程 ξ ( s ) = ξ ( 1 − s ) {\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)} 第二积分表示: φ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ e − π n 2 x {\displaystyle \varphi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-\pi n^{2}x}} ,则 ξ ( s ) = ∫ 0 ∞ φ ( x ) x s 2 − 1 d x {\displaystyle \xi (s)=\int _{0}^{\infty }\varphi (x)x^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} x} 黎曼 - 冯·曼戈尔特公式 :以 0 < N ( T ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {N} (T)\end{smallmatrix}}} 表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量,则 N ( T ) = T 2 π log T 2 π − T 2 π + O ( log T ) {\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+\mathrm {O} (\log T)} 黎曼猜想 :ζ函数的所有非平凡零点的实部非常有可能均为 1 2 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}}} 第三积分表示: ζ ( s ) = 1 2 π i Γ ( 1 − s ) ∮ γ z s − 1 e z 1 − e z d z {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{2\pi i}}\Gamma (1-s)\oint _{\gamma }{\frac {{z^{s-1}}{e^{z}}}{1-{e^{z}}}}\,\mathrm {d} z} ,其中围道γ逆时针环绕负实轴 第三积分表示的围道γ 黎曼-西格尔公式 :给出计算ξ函数的数值的方法 零点的计算:计算了虚部介于0与100的所有零点的数值 素数的分布公式:引入黎曼素数计数函数 ,给出了它与ζ函数的关系 阿达马与普森 [ 编辑 ] ζ(1+it)的图像,蓝色为实部,黄色为虚部 1896年,雅克·阿达马 与普森 几乎同时地证明了 ζ ( s ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}} 的所有非平凡零点的实部均小于1,即 Re ( s ) = 1 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} (s)=1\end{smallmatrix}}} 上无非平凡零点,从而完成了素数定理 的证明。
希尔伯特 [ 编辑 ] 1900年,希尔伯特 在巴黎的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲,提出了23道最重要的数学问题,黎曼假设在其中作为第8题出现。 之后,希尔伯特提出了希尔伯特-波利亚猜想 ,具体时间及场合未知。
玻尔与兰道 [ 编辑 ] 虚部介于0与T的零点数量(蓝点)与黎曼-冯·曼格尔特公式(红线)的图像 1914年,哈那德·玻爾 和愛德蒙·蘭道 证明了玻爾-蘭道定理 :含有临界线的任意带状区域都几乎包含了ζ的所有非平凡零点,表明了临界线为零点汇聚的“中心位置”。
哈代与李特尔伍德 [ 编辑 ] 1921年,哈代 和李特尔伍德 证明了存在常数T,使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为 K T {\displaystyle {\begin{smallmatrix}KT\end{smallmatrix}}} 。
塞尔伯格 [ 编辑 ] 1942年,阿特勒·塞尔伯格 更进一步,证明了存在常数T,使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为 K T log T {\displaystyle {\begin{smallmatrix}KT\log T\end{smallmatrix}}} ,这意味着ζ函数在临界线上的非平凡零点在所有零点中占有一个正密度,而临界线 Re ( s ) = 1 2 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} (s)={\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}}} 对于临界带 0 < Re ( s ) < 1 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {Re} (s)<1\end{smallmatrix}}} 的测度为0。
解析延拓 [ 编辑 ] 对ζ函数解析延拓时使用的围道 ζ函数原本定义在右半平面 Re s > 1 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} s>1\end{smallmatrix}}} 上,并且在此区域内为全纯函数
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x} ( Re s > 1 ) {\displaystyle (\operatorname {Re} s>1)} 解析延拓后在全局具有积分表达式
ζ ( s ) = 1 2 π i Γ ( 1 − s ) ∮ γ z s − 1 e z 1 − e z d z {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{2\pi i}}\Gamma (1-s)\oint _{\gamma }{\frac {{z^{s-1}}{e^{z}}}{1-{e^{z}}}}\,\mathrm {d} z} 满足函数方程
ζ ( 1 − s ) = 2 ( 2 π ) − s Γ ( s ) cos ( π s 2 ) ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (1-s)=2(2\pi )^{-s}\Gamma (s)\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\zeta (s)} 特别地,如果考虑正规化的ζ,即黎曼ξ函数
ξ ( s ) = π − s 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) {\displaystyle \xi (s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)} 那么它满足函数方程
ξ ( s ) = ξ ( 1 − s ) {\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)} 和数论函数的关系 [ 编辑 ] 黎曼ζ函数可看做是具有如下形式的级数的一个特例:
F ( s ) = ∑ n = 1 ∞ f ( n ) n s {\displaystyle \operatorname {F} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}} 这种类型的级数被称作狄利克雷级数 。当f为狄利克雷特征 时,又称作狄利克雷L函数 ,也有与黎曼猜想 相应的广义黎曼猜想
为了方便对数论函数 作讨论,此处引入狄利克雷卷积 f ∗ g {\displaystyle {\begin{smallmatrix}f*g\end{smallmatrix}}} : ( f ∗ g ) ( n ) = ∑ pq = n f ( p ) g ( q ) {\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{{\text{pq}}=n}f(p)g(q)}
设 F ( s ) = ∑ n = 1 ∞ f ( n ) n s {\displaystyle \operatorname {F} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}} , G ( s ) = ∑ n = 1 ∞ g ( n ) n s {\displaystyle \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}} 于是显然 F ( s ) G ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( f ∗ g ) ( n ) n s {\displaystyle \operatorname {F} (s)\operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}}
並不直覺?请看证明 事实上, F ( s ) G ( s ) = ∑ n = 1 ∞ f ( n ) n s ∑ m = 1 ∞ g ( m ) m s = ∑ n = 1 ∞ ∑ m = 1 ∞ f ( n ) g ( m ) ( n m ) s {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} (s)\operatorname {G} (s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {g(m)}{m^{s}}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {f(n)g(m)}{(nm)^{s}}}\\\end{aligned}}} 为了处理两个求和号,将所有可能的m与n的积相同的项合并,不妨设mn=k,那么 ∑ m = 1 ∞ f ( n ) g ( m ) ( n m ) s = ∑ k = 1 ∞ ∑ mn = k f ( m ) g ( n ) ( m n ) s = ∑ k = 1 ∞ ∑ mn = k f ( m ) g ( n ) k s = ∑ k = 1 ∞ ( ∑ mn = k f ( m ) g ( n ) ) k − s = ∑ k = 1 ∞ ( f ∗ g ) ( k ) k − s {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {f(n)g(m)}{(nm)^{s}}}&=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{{\text{mn}}=k}{\frac {f(m)g(n)}{(mn)^{s}}}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{{\text{mn}}=k}{\frac {f(m)g(n)}{k^{s}}}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }(\sum _{{\text{mn}}=k}f(m)g(n))k^{-s}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }(f*g)(k)k^{-s}\\\end{aligned}}}
于是,如果数论函数 h = 1 ∗ g {\displaystyle {\begin{smallmatrix}h=1*g\end{smallmatrix}}} ,亦即 h ( n ) = ∑ d ‖ n g ( d ) {\displaystyle h(n)=\sum _{d\|n}g(d)} (此时, h ( n ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}h(n)\end{smallmatrix}}} 与 g ( d ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}g(d)\end{smallmatrix}}} 可通过默比乌斯反演公式 相互转换) 那么 H ( s ) = ∑ n = 1 ∞ h ( n ) n s = ζ ( s ) ∑ n = 1 ∞ g ( n ) n s {\displaystyle \operatorname {H} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {h(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}} 通常两侧的求和有一个是相对简单的函数,或是和 ζ ( s ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}} 直接相关的函数 如果对 g ( n ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}g(n)\end{smallmatrix}}} 的求和较简单,可以将 h ( n ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}h(n)\end{smallmatrix}}} 与 ζ ( s ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}} 相联系,反之可以将 g ( n ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}g(n)\end{smallmatrix}}} 与 ζ ( s ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}} 相联系 即 ∑ n = 1 ∞ g ( n ) n s = H ( s ) ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}={\frac {\operatorname {H} (s)}{\zeta (s)}}} , 如下表所示:
目标函数名 g(n) h(n) G(s)或H(s) g(n)或h(n)与ζ函数的联系 莫比乌斯函数 μ ( n ) = μ ( p 1 a 1 p 2 a 2 . . . p k a k ) = { ( − 1 ) k a 1 = a 2 = . . . = a k 0 o t h e r w i s e {\displaystyle \mu (n)=\mu (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{k}^{a_{k}})={\begin{cases}(-1)^{k}&a_{1}=a_{2}=...=a_{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}} ⌊ 1 n ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {1}{n}}\right\rfloor } H ( s ) = 1 {\displaystyle \operatorname {H} (s)=1} G ( s ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s = 1 ζ ( s ) {\displaystyle \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}} 欧拉函数 φ ( n ) = Card { k | k < n , ( k , n ) = 1 } {\displaystyle \varphi (n)=\operatorname {Card} \{k\,\,|k<n,\,(k,n)=1\}\quad } n {\displaystyle n} H ( s ) = ζ ( s − 1 ) {\displaystyle \operatorname {H} (s)=\zeta (s-1)} G ( s ) = ∑ n = 1 ∞ φ ( n ) n s = ζ ( s − 1 ) ζ ( s ) {\displaystyle \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}} 除数函数 n α {\displaystyle n^{\alpha }} σ α ( n ) = ∑ d | n d α {\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=\sum _{d|n}d^{\alpha }} G ( s ) = ζ ( s − α ) {\displaystyle \operatorname {G} (s)=\zeta (s-\alpha )} H ( s ) = ∑ n = 1 ∞ σ α ( n ) n s = ζ ( s − α ) ζ ( s ) {\displaystyle \operatorname {H} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{\alpha }(n)}{n^{s}}}=\zeta (s-\alpha )\zeta (s)} 刘维尔函数 μ ( n ) = μ ( p 1 a 1 p 2 a 2 . . . p k a k ) = a 1 + a 2 + . . . + a k {\displaystyle \mu (n)=\mu (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{k}^{a_{k}})=a_{1}+a_{2}+...+a_{k}} { 1 n = m 2 0 o t h e r w i s e {\displaystyle {\begin{cases}1&n=m^{2}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}} H ( s ) = ζ ( 2 s ) {\displaystyle \operatorname {H} (s)=\zeta (2s)} G ( s ) = ∑ n = 1 ∞ λ ( n ) n s = ζ ( 2 s ) ζ ( s ) {\displaystyle \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}} 冯·曼戈尔特函数 Λ ( n ) = { log ( p ) n = p k 0 o t h e r w i s e {\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&n=p^{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}} log n {\displaystyle \log n} H ( s ) = ζ ′ ( s ) {\displaystyle \operatorname {H} (s)=\zeta '(s)} G ( s ) = ∑ n = 1 ∞ Λ ( n ) n s = − ζ ′ ( s ) ζ ( s ) {\displaystyle \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}}
佩龙公式 [ 编辑 ] ζ函数与数论函数存在的联系可以通过佩龙公式 转化为它和数论函数的求和的关系:设
G ( s ) = ∑ n = 1 ∞ g ( n ) {\displaystyle G(s)={\sum _{n=1}^{\infty }}g(n)} 则由佩龙公式,
A ( x ) = ∑ n ≤ x ′ g ( n ) = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ G ( z ) x z z d z {\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}'g(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }G(z){\frac {x^{z}}{z}}\,\mathrm {d} z} 其中右上角的'表示如果x是整数,那么求和的最后一项要乘以 1 2 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}}} 。 这样做的其中一个结果就是ζ函数和素数分布的关系。
和素数的关系 [ 编辑 ] 此函数和素数 的关系已由欧拉 所揭示:
ζ ( s ) = ∏ p 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}} 这是一个延展到所有的质数p 的无穷乘积 ,被称为欧拉乘积 。这是几何级数 的公式和算术基本定理 的一个结果。 如果对上式取对数,则可得到
log ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n ∑ p p − n s {\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{p}p^{-ns}} 更进一步的联系 [ 编辑 ] 黎曼阶梯素数计数函数 [ 编辑 ] 黎曼素数计数函数(蓝色)J(x)与对数积分(金色)Li(x)的图像,x<300 黎曼素数计数函数(蓝点)J(x)与对数积分(红线)Li(x)的图像,x<1 000 000 可以使用黎曼素数计数函数 J ( x ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}} 建立 ζ ( s ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}} 与素数分布的进一步联系,这也是黎曼 在他的论文论小于给定数值的素数个数 中使用的函数,定义如下:
J ( x ) = ∑ n ≤ x κ ( n ) {\displaystyle \operatorname {J} (x)=\sum _{n\leq x}\kappa (n)} 其中 κ ( n ) = { 1 k n = p k 0 o t h e r w i s e {\displaystyle \kappa (n)={\begin{cases}{\frac {1}{k}}&n=p^{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}} 那么可以建立 J ( x ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}} 与 ζ ( s ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}} 的零点ρ的联系,称为黎曼显式公式
J ( x ) = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ log ζ ( s ) x s s d s = Li ( x ) − ∑ ρ Li ( x ρ ) + ∫ x ∞ 1 t ( t 2 − 1 ) log ( t ) d x − log 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {J} (x)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\log \zeta (s){\frac {x^{s}}{s}}\,\mathrm {d} s\\&=\operatorname {Li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {Li} (x^{\rho })+\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t(t^{2}-1)\log(t)}}\,\mathrm {d} x-\log 2\\\end{aligned}}} 而 J ( x ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}} 与 π ( x ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\pi (x)\end{smallmatrix}}} 的联系可以通过莫比乌斯反演公式 完成。 π ( x ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n J ( x ) = J ( x ) + O ( x log log x ) {\displaystyle \pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {J} (x)=\operatorname {J} (x)+\mathrm {O} ({\sqrt {x}}\log \log x)} 然而 J ( x ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}} 的表达式过于复杂,如下的切比雪夫函数 更为常用。
切比雪夫函数 [ 编辑 ] 第二切比雪夫函数(蓝线)ψ(x)与y=x(金线)的图像,x<300 第二切比雪夫函数(蓝点)ψ(x)与y=x(红线)的图像,x<1 000 000 第一切比雪夫函数 ϑ ( x ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\vartheta (x)\end{smallmatrix}}} 定义为
ϑ ( x ) = ∑ p ≤ x log p {\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p} 而更常用的第二切比雪夫函数 ψ ( x ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\psi (x)\end{smallmatrix}}} 定义为
ψ ( x ) = ∑ p k ≤ x log p = ∑ n ≤ x Λ ( n ) = ∑ p ≤ x ⌊ log p x ⌋ log p {\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \log p} 其中,如前文定义的 Λ ( n ) = { log ( p ) n = p k 0 o t h e r w i s e {\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&n=p^{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}} 第二切比雪夫函数与第一切比雪夫函数的关系,可看做“等同于”黎曼素数计数函数与素数计数函数的关系。 第二切比雪夫函数 ψ ( x ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\psi (x)\end{smallmatrix}}} 与 ζ ( s ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}} 的零点ρ有如下的联系
ψ ( x ) = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ − ζ ′ ( s ) ζ ( s ) x s s d s = ∑ n ≤ x Λ ( n ) = x − ∑ ρ x ρ ρ − 1 2 log ( 1 − 1 x 2 ) − log ( 2 π ) {\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}{\frac {x^{s}}{s}}\,\mathrm {d} s\\&=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {1}{2}}\log(1-{\frac {1}{x^{2}}})-\log(2\pi )\\\end{aligned}}} 而 ψ ( x ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\psi (x)\end{smallmatrix}}} 与 J ( x ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}} 的联系可以通过阿贝尔求和公式 :
ψ ( x ) = ∑ n = p k ≤ x log p = ψ ( x ) = ∑ n = p k ≤ x 1 k log n = ∑ n ≤ x κ ( n ) log n {\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=p^{k}\leq x}\log p=\psi (x)=\sum _{n=p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}\log n=\sum _{n\leq x}{\frac {\kappa (n)}{\log n}}} 其中κ如前文所定义,则由阿贝尔求和公式
J ( x ) = ∑ n ≤ x κ ( n ) = ψ ( x ) log x + ∫ 2 x ψ ( t ) t 2 log t d t = ψ ( x ) log x + O ( x log 2 x ) {\displaystyle \operatorname {J} (x)=\sum _{n\leq x}\kappa (n)={\frac {\psi (x)}{\log x}}+\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)}{t^{2}\log t}}\,\mathrm {d} t={\frac {\psi (x)}{\log x}}+\mathrm {O} ({\frac {x}{\log ^{2}x}})} 解析延拓之后的ζ函数具有零点,他们分别是分布有序的平凡零点(所有负偶数),以及临界带 0 < Re s < 1 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {Re} s<1\end{smallmatrix}}} 内的非平凡零点。 以 N ( T ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {N} (T)\end{smallmatrix}}} 表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量,则 0 < N ( T ) {\displaystyle {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {N} (T)\end{smallmatrix}}} 遵循黎曼 - 冯·曼戈尔特公式 : N ( T ) = T 2 π log T 2 π − T 2 π + O ( log T ) {\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+\mathrm {O} (\log T)} 。
函数值 [ 编辑 ] 黎曼函数在s > 1的情况 ζ函数满足如下函数方程:
ζ ( s ) = 2 s π s − 1 sin ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)} 对于所有C \{0,1}中的s 成立。这裡,Γ表示Γ函数 。这个公式原来用来构造解析连续性。在s = 1,ζ函数有一个简单极点 其留数 为1。上述方程中有sin函數, sin ( π s 2 ) {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)} 的零點為偶數s = 2n ,這些位置是可能的零點,但s為正偶數時, sin ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)} 為不為零的規則函數 ,只有s為負偶數時,ζ函数才有零點,稱為平凡 零點。
当s为正整数 [ 编辑 ] 欧拉计算出ζ(2k ),对于偶整数 2k ,使用公式
ζ ( 2 k ) = B 2 k ( − 1 ) k + 1 ( 2 π ) 2 k 2 ( 2 k ) ! {\displaystyle \zeta (2k)={\frac {B_{2k}(-1)^{k+1}(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}} 其中B 2k 是伯努利数 。从这个,我们可以看到ζ(2) = π2 /6, ζ(4) = π4 /90, ζ(6) = π6 /945等等。(OEIS 中的序列A046988 (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )/A002432 (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ))。这些给出了著名的π 的无穷级数。奇整数的情况没有这么简单。拉马努金 在这上面做了很多了不起的工作。 s {\displaystyle s\,} 为正偶数时的函数值公式已经由欧拉 计算出。但当 s {\displaystyle s\,} 为正奇数时,尚未找到封闭式。
ζ ( 1 ) = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ = ∞ ; {\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty ;\!} 这是调和级数 。 ζ ( 3 2 ) ≈ 2.612 ; {\displaystyle \zeta \left({\frac {3}{2}}\right)\approx 2.612;\!} A078434 该值用于计算具有周期性边界条件的玻色-爱因斯坦凝聚 的临界温度以及磁系统的自旋波物理。 ζ ( 2 ) = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ = π 2 6 ≈ 1.645 ; {\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.645;\!} A013661 即巴塞尔问题 。这个结果的倒数回答了这个问题:随机选取两个数字而互质的概率是多少?[7] ζ ( 3 ) = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + ⋯ ≈ 1.202 ; {\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \approx 1.202;\!} A002117 称为阿培里常數 。 ζ ( 4 ) = 1 + 1 2 4 + 1 3 4 + ⋯ = π 4 90 ≈ 1.0823 ; {\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1.0823;\!} A0013662 黑體輻射 裡的斯特藩-玻尔兹曼定律 和维恩近似 。 s趨近於1 [ 编辑 ] lim ε → 0 ζ ( 1 + ε ) + ζ ( 1 − ε ) 2 = γ {\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}=\gamma } 其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數 = 0.577215... {\displaystyle 0.577215...}
负整数 [ 编辑 ] 同样由欧拉发现,ζ函数在负整数点的值是有理数,这在模形式中发挥着重要作用,而且ζ函数在负偶整数点的值為零。
事實上
ζ ( − n ) = − B n + 1 n + 1 {\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}} B n 是白努利數 。
因為 B 2n +1 =0,故ζ函数在负偶整数点的值為零。
复数值 [ 编辑 ] ζ ( x + i y ) = ∑ k = 1 ∞ cos ( y ln k ) − i sin ( y ln k ) k x , y ∈ R {\displaystyle \zeta (x+{\rm {i}}y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(y\ln k)-{\rm {i}}\sin(y\ln k)}{k^{x}}},y\in {\mathbb {R} }} ,x>1。 arg [ ζ ( x + i y ) ] = − arctan ∑ k = 1 ∞ sin ( y ln k ) k x ∑ k = 1 ∞ cos ( y ln k ) k x {\displaystyle \arg[\zeta (x+{\rm {i}}y)]=-\arctan {\frac {\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(y\ln k)}{k^{x}}}}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(y\ln k)}{k^{x}}}}}} , 函数值表 [ 编辑 ] ζ ( − 2 n n ∈ Z + ) = 0 {\displaystyle \zeta (-2n_{n\in \mathbb {Z} ^{+}})=0} , ζ ( − 9 ) = − 1 132 ( R ) {\displaystyle \zeta (-9)=-{\frac {1}{132}}({\mathfrak {R}})} , ζ ( − 7 ) = 1 240 ( R ) {\displaystyle \zeta (-7)={\frac {1}{240}}({\mathfrak {R}})} , ζ ( − 5 ) = − 1 252 ( R ) {\displaystyle \zeta (-5)=-{\frac {1}{252}}({\mathfrak {R}})} , ζ ( − 3 ) = 1 120 ( R ) {\displaystyle \zeta (-3)={\frac {1}{120}}({\mathfrak {R}})} , ζ ( − 1 ) = − 1 12 ( R ) {\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}({\mathfrak {R}})} , ζ ( 0 ) = − 1 2 {\displaystyle \zeta (0)=-{\frac {1}{2}}} , ζ ( 1 − ) = − ∞ {\displaystyle \zeta (1^{-})=-\infty } , ζ ( 1 + ) = ∞ {\displaystyle \zeta (1^{+})=\infty } , ζ ( 2 ) = π 2 6 {\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}} , ζ ( 4 ) = π 4 90 {\displaystyle \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}} , ζ ( 6 ) = π 6 945 {\displaystyle \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}} , ζ ( 8 ) = π 8 9450 {\displaystyle \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}} , ζ ( 10 ) = π 10 93555 {\displaystyle \zeta (10)={\frac {\pi ^{10}}{93555}}} , 临界线上的数值计算 [ 编辑 ] 临界线上的数值计算可以通过黎曼-西格尔公式 完成。 与之相关的,林德勒夫猜想 :对于任意给定的實数 ϵ > 0 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}\epsilon >0\end{smallmatrix}}} ,
ζ ( 1 2 + i t ) = O ( t ϵ ) {\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=\mathrm {O} (t^{\epsilon })} 參考資料 [ 编辑 ] 相關條目 [ 编辑 ]