欧拉因式分解法

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欧拉因式分解法是一种整数分解方法，重点是用两种方式把要分解的数表示为两数平方和。比如要分解 ${\displaystyle 1000009}$，这个数既能写成 ${\displaystyle 1000^{2}+3^{2}}$，又能写成 ${\displaystyle 972^{2}+235^{2}}$，那么用欧拉的方法就能分解了：${\displaystyle 1000009=293\cdot 3413}$。

能用两种方式把一个整数表示为两数平方和，或许就能分解这个数，这个想法最早是由梅森提出的。但是直到一百年后，这个想法才得到了广泛应用。当时欧拉用他的方法分解了 ${\displaystyle 1000009}$，这个方法也由此得名。当时人们还认为 ${\displaystyle 1000009}$ 是質數，但是这个数在主流的素性检测算法中都不是伪質數。

对于因子相差不是特别小的数，欧拉因式分解法比费马的方法更高效。如果能比较容易地找出两种方式把要分解的数表示为两数平方和，那么欧拉的方法可能比试除法高效得多。欧拉取得的进展提高了人们分解整数的效率。20 世纪 10 年代，大因数表已经写到了将近一千万^{[來源請求]}那么大了。将数字表示为两数平方和的方法与在费马因式分解法（英语：Fermat's factorization method）中查找平方差的方法基本相同。

欧拉因式分解法最大的缺点是这样的：要分解的整数，它的质因数分解中，如果有任何一个 4k+3 型的質數是奇数次幂的，那么欧拉的方法就不能分解了。原因是，这样的数字不可能是两数的平方和。4k+1 型的奇合数也经常是两个 4k+3 型質數的积（例如 3053 = 43 × 71），由上面的结论可以知道，对于这类数，欧拉的方法是用不了的。

这个限制，就让欧拉因式分解法不太受计算机因子分解算法的欢迎，毕竟对于一个随机的大数，连能不能用这个方法分解它都很难知道。不过近来，有人尝试把欧拉的方法发展成计算机算法，用于已知确实可以应用欧拉方法的特定数字。

婆罗摩笈多-斐波那契恒等式指出，一个两数平方和，和另一个两数平方和，它们的乘积，是又一个两数平方和。欧拉的方法就依赖于这个定理，把它反了过来：给定${\displaystyle n=a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}$，那么${\displaystyle n}$是两个（可能不一样的）两数平方和的积。

首先移项得到

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=d^{2}-b^{2}}$

用平方差公式，对两边分别因式分解，得到

${\displaystyle (a-c)(a+c)=(d-b)(d+b)}$ (1)

现在令 ${\displaystyle k=\operatorname {gcd} (a-c,d-b)}$，令 ${\displaystyle h=\operatorname {gcd} (a+c,d+b)}$，这样就有 ${\displaystyle l,m,l',m'}$ 满足

• ${\displaystyle (a-c)=kl}$,
• ${\displaystyle (d-b)=km}$,

${\displaystyle \operatorname {gcd} (l,m)=1}$

• ${\displaystyle (a+c)=hm'}$,
• ${\displaystyle (d+b)=hl'}$,

${\displaystyle \operatorname {gcd} (l',m')=1}$

把这些代入式 (1)，得到

${\displaystyle klhm'=kmhl'}$

约去 ${\displaystyle k}$ 和 ${\displaystyle h}$，得到

${\displaystyle lm'=l'm}$

我们知道 ${\displaystyle l,m}$ 互素，${\displaystyle l',m'}$ 互素，因此

• ${\displaystyle l=l'}$
• ${\displaystyle m=m'}$

因此

• ${\displaystyle (a-c)=kl}$
• ${\displaystyle (d-b)=km}$
• ${\displaystyle (a+c)=hm}$
• ${\displaystyle (d+b)=hl}$

可以看到 ${\displaystyle m=\operatorname {gcd} (a+c,d-b)}$ 还有 ${\displaystyle l=\operatorname {gcd} (a-c,d+b)}$

现在应用婆罗摩笈多-斐波那契恒等式，我们就得到了

${\displaystyle \left(k^{2}+h^{2}\right)\left(l^{2}+m^{2}\right)=(kl+hm)^{2}+(km-hl)^{2}={\bigl (}(a-c)+(a+c){\bigr )}^{2}+{\bigl (}(d-b)-(d+b){\bigr )}^{2}=(2a)^{2}+(2b)^{2}=4n.}$

由于每个因子都是两数平方和，那么${\displaystyle (k,h)}$ 和 ${\displaystyle (l,m)}$ 之中必有一个数对中两个数都是偶数。不失一般性，假设数对${\displaystyle (k,h)}$里两数都是偶数。于是就可以这样分解了：

${\displaystyle n=\left(\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {h}{2}}\right)^{2}\right)\left(l^{2}+m^{2}\right).\,}$

已知 ${\displaystyle \ 1000009=1000^{2}+3^{2}=972^{2}+235^{2}}$

用上面的方法计算：

于是

${\displaystyle 1000009=\left[\left({\frac {4}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {34}{2}}\right)^{2}\right]\cdot \left[\left({\frac {14}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {116}{2}}\right)^{2}\right]\,}$

${\displaystyle =\left(2^{2}+17^{2}\right)\cdot \left(7^{2}+58^{2}\right)\,}$

${\displaystyle =(4+289)\cdot (49+3364)\,}$

${\displaystyle =293\cdot 3413\,}$

function Euler_factorize(int n) -> list[int]    if is_prime(n) then        print("数字是質數，不能分解")        exit function    for-loop from a=1 to a=ceiling(sqrt(n))        b2 = n - a*a        b = floor(sqrt(b2))        if b*b==b2            break loop preserving a,b    if a*a+b*b!=n then        print("数字无法表示成平方和")        exit function    for-loop from c=a+1 to c=ceiling(sqrt(n))        d2 = n - c*c        d = floor(sqrt(d2))        if d*d==d2 then            break loop preserving c,d    if c*c+d*d!=n then        print("没有第二种表示成平方和的方法")        exit function    A = c-a, B = c+a    C = b-d, D = b+d     k = GCD(A,C)//2, h = GCD(B,D)//2    l = GCD(A,D)//2, m = GCD(B,C)//2    factor1 = k*k + h*h    factor2 = l*l + m*m    return list[ factor1, factor2 ] 

• Ore, Oystein. Euler's Factorization Method. Number Theory and Its History. Courier Corporation. 1988: 59–64. ISBN 978-0-486-65620-5. 
• McKee, James. Turning Euler's Factoring Method into a Factoring Algorithm. Bulletin of the London Mathematical Society. 1996, 4 (28): 351–355. doi:10.1112/blms/28.4.351.