埃拉托斯特尼筛法
埃拉托斯特尼筛法（古希臘語：κόσκινον Ἐρατοσθένους，英語：sieve of Eratosthenes），簡稱埃氏筛，是一种用來生成質數的筛法，得名於古希臘數學家埃拉托斯特尼。其基本步骤是從最小的質數2開始，將该質數的所有倍數標記成合數，而下一个尚未被标记的最小自然数3即是下一个質數。如此重复这一过程，将各个质数的倍数标记为合数并找出下一个质数，最终便可找出一定範圍內所有質數。
埃拉托斯特尼筛法可能在埃拉托斯特尼的时代之前就已经为人所知[1]:14，并记载于另一位古希腊数学家尼科马库斯的《算术概论》中，尽管该著作中的这一筛法是从3开始，从奇数中依次筛去奇数的倍数，而非从自然数中筛去质数的倍数[2]:242-243。
使用埃拉托斯特尼筛法找出120以内的所有質數。由于112=121>120，当11成为最小的未标记整数时，尚未标记的所有数皆可确认为質數。请注意到在标记时直接从每个质数的平方开始。
运用与示例[编辑]
埃拉托斯特尼筛法通过不断地标记当前质数的所有倍数为合数，从而取得最小的未标记整数为下一个質數。不过，在实际使用此筛法寻找一个范围内的質數时，不需要检查范围内所有整数，也不需要对每个質數都标记其所有的倍数。
- 寻找以内的質數时，若找到了一个大于的质数，则剩余的所有尚未标记的数也都是質數。
- 标记某一質數的倍数时，不需要每次皆从开始，而可直接从开始标记。
- 证明：所有较更小的的倍数必然拥有一个更小的质数为其因数，故在标记之前的质数的倍数时它们已经被标记过了[5]。
若要找出25以内的所有质数，使用如上述改进过的埃拉托斯特尼筛法的具体过程如下：
- 列出2以後所有數：
- 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
- 记录質数2，由22=4开始划去2的倍数：
- 2 3
45678910111213141516171819202122232425
- 2 3
- 记录下一質数3，由32=9开始划去3的倍数：
- 2 3
45678910111213141516171819202122232425
- 2 3
- 记录下一質数5，由52=25开始划去5的倍数：
- 2 3
45678910111213141516171819202122232425
- 2 3
- 下一質数为7，而72=49>25，故剩余所有未标记的数皆为質数：
- 2 3
45678910111213141516171819202122232425
- 2 3
由此得到25內的質数为2，3，5，7，11，13，17，19，23。
以上的算法可用以下伪代码表示：
输入：整数n > 1 设A为布尔值矩阵，下标是2至n的整数， 初始时全部设成true。 for i = 2, 3, 4, ..., 不超过： if A[i]为true： for j = i2, i2+i, i2+2i, i2+3i, ..., 不超过n： A[j] := false 输出：使A[i]为true的所有i。 
埃拉托斯特尼筛法的时间复杂度为；相比之下，若是通过对范围内每个整数进行试除法来找出范围内的质数，则其时间复杂度为[1]:13-14[5]。
程式码[编辑]
Python 3.6-3.10[编辑]
def eratosthenes(n): is_prime = [True] * (n + 1) for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1): if is_prime[i]: for j in range(i * i, n + 1, i): is_prime[j] = False return [x for x in range(2, n + 1) if is_prime[x]] print(eratosthenes(120)) C語言[编辑]
int prime[100005]; bool is_prime[1000005]; int eratosthenes(int n) { int p = 0; for (int i = 0; i <= n; i++) { is_prime[i] = true; } is_prime[0] = is_prime[1] = 0; for (int i = 2; i <= n; i++) { if (is_prime[i]) { prime[p++] = i; if (1ll * i * i <= n) { for (int j = i * i; j <= n; j += i) { is_prime[j] = 0; } } } } return p; } C語言新版
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> /* N: positive integer verbose: 1 -- print all prime numbers < N, 0 -- no print return total number of prime numbers < N. return -1 when there is not enough memory. */ int eratosthenesSieve(unsigned long long int N, int verbose) { // prime numbers are positive, better to use largest unsiged integer unsigned long long int i, j, total; // total: number of prime numbers < N _Bool *a = malloc(sizeof(_Bool) * N); if (a == NULL) { printf("No enough memory.\n"); return -1; } /* a[i] equals 1: i is prime number. a[i] equals 0: i is not prime number. From beginning, set i as prime number. Later filter out non-prime numbers */ for (i = 2; i < N; i++) { a[i] = 1; } // mark multiples(<N) of i as non-prime numbers for (i = 2; i < N; i++) { if (a[i]) { // a[i] is prime number at this point for (j = i; j < (N / i) + 1; j++) { /* mark all multiple of 2 * 2, 2 * 3, as non-prime numbers; do the same for 3,4,5,... 2*3 is filter out when i is 2 so when i is 3, we only start at 3 * 3 */ a[i * j] = 0; } } } // count total. print prime numbers < N if needed. total = 0; for (i = 2; i < N; i++) { if (a[i]) { // i is prime number if (verbose) { printf("%llu\n", i); } total += 1; } } return total; } int main() { unsigned long long int a1 = 0, a2 = 0, N = 10000000; a1 = eratosthenesSieve(N, 1); // print the prime numbers printf("Total of prime numbers less than %llu is : %llu\n", N, a1); a2 = eratosthenesSieve(N, 0); // not print the prime numbers printf("Total of prime numbers less than %llu is : %llu\n", N, a2); return 0; } C++[编辑]
#include <vector> auto eratosthenes(int upperbound) { std::vector<bool> flag(upperbound + 1, true); flag[0] = flag[1] = false; //exclude 0 and 1 for (int i = 2; i * i <= upperbound; ++i) { if (flag[i]) { for (int j = i * i; j <= upperbound; j += i) flag[j] = false; } } return flag; } R[编辑]
eratosthenes <- function(n) { if (n == 1) return(NULL) if (n == 2 | n == 3) return(2:n) numbers <- 2:n primes <- rep(TRUE, n-1) for (i in 2:floor(sqrt(n))) { if (primes[i-1]) { for (j in seq(i * i, n, i)) primes[j-1] <- FALSE } } return(numbers[primes]) } JavaScript[编辑]
const countPrimes = function (n) { const isPrime = new Array(n).fill(true); for (let i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) { if (isPrime[i]) { for (let j = i * i; j <= n; j += i) { isPrime[j] = false; } } } let count = 0; for (let i = 2; i < n; i++) { if (isPrime[i]) { count++; } } return count; }; 参见[编辑]
参考文献[编辑]
- ^ 1.0 1.1 Stefan Hougardy; Jens Vygen. Algorithmic Mathematics. Cham: Springer International Publishing Switzerland. 2016. ISBN 978-3-319-39558-6.
- ^ Jean-Luc Chabert. A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1999. ISBN 978-3-642-18192-4.
- ^ George M. Phillips. Mathematics Is Not a Spectator Sport. New York: Springer-Verlag. 2005. ISBN 978-0-387-28697-6.
- ^ G. H. Hardy; E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers (Fourth Edition). Oxford: Clarendon Press. 1960. ISBN 978-0-19-853310-8.
- ^ 5.0 5.1 Melissa E. O'Neill. The Genuine Sieve of Eratosthenes (PDF). Journal of Functional Programming. 2009, 19 (1): 95–106. doi:10.1017/S0956796808007004.
拓展阅读[编辑]
- Interactive animation (需要JavaScript) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- 打印质数的各种算法 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- 筛法小结 (Eratosthenes/Euler)
- 欧拉函数线性筛法详解 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（欧拉函数线性筛）
- 一般筛法求素数+快速线性筛法求素数(较好理解) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||