微分方程的級數解 微分方程模擬有阻礙下空氣流動的纳维-斯托克斯方程 范围 領域 自然科学工程学 天文學 物理学 化學 生物学 地质学 应用数学 连续介质力学 混沌理论 动力系统 社会科学 经济学 人口動力學（英语：Population dynamics） 分類 種類 常微分 偏微分 微分代數（英语：Differential-algebraic system of equations） 積分-微分（英语：Integro-differential equation） 分数 线性 非線性 依變數種類 自变量和因变量 自治 耦合 / 解耦合 全微分 齊次（英语：Homogeneous differential equation） / 非齊次 特徵 階數 微分算子 表示法 和過程的關係 差分 (離散下的類比) 隨機 随机偏微分 时滞 解 存在和唯一 柯西-利普希茨定理 皮亚诺存在性定理 Carathéodory存在性定理（英语：Carathéodory's existence theorem） Cauchy–Kowalevski定理（英语：Cauchy–Kowalevski theorem） 通用主題 朗斯基行列式 相圖 相空間 李雅普诺夫 / 漸進 / 指數穩定 收斂速度 級數 / 積分解 數值積分 狄拉克δ函数 解法 特征线 欧拉 指數響應公式（英语：Exponential response formula） 有限差分 (克兰克－尼科尔森) 有限单元 無限單元 有限體積 伽辽金 Petrov–Galerkin（英语：Petrov–Galerkin method） 积分因子 积分变换 摄动 龙格－库塔 分離變數 待定係數 參數變換 人物 列表 艾萨克·牛顿 戈特弗里德·莱布尼茨 萊昂哈德·歐拉 埃米尔·皮卡 Józef Maria Hoene-Wroński（英语：Józef Maria Hoene-Wroński） Ernst Lindelöf（英语：Ernst Lindelöf） 鲁道夫·利普希茨 奧古斯丁-路易·柯西 約翰·克蘭克 菲利斯·尼科爾森 卡爾·龍格 馬丁·威廉·庫塔 查论编 在數學中，冪級數法用於求某些微分方程的冪級數解。 通常這樣的解假設一個具有未知係數的冪級數，然後將該解代入微分方程以找到係數的遞推關係。 方法[编辑] 考慮二階線性微分方程 a 2 ( z ) f ″ ( z ) + a 1 ( z ) f ′ ( z ) + a 0 ( z ) f ( z ) = 0. {\displaystyle a_{2}(z)f''(z)+a_{1}(z)f'(z)+a_{0}(z)f(z)=0.} 假設對於所有 z，a2 都不為零。 然後我們可以劃分整個得到 f ″ + a 1 ( z ) a 2 ( z ) f ′ + a 0 ( z ) a 2 ( z ) f = 0. {\displaystyle f''+{a_{1}(z) \over a_{2}(z)}f'+{a_{0}(z) \over a_{2}(z)}f=0.} 進一步假設 a1/a2 和 a0/a2 是解析函數。 冪級數方法要求構建冪級數解 f = ∑ k = 0 ∞ A k z k . {\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}.} 如果對於某些 z，a2 為零，則 Frobenius 方法是該方法的一種變體，適用於處理所謂的正則特異點。 該方法類似地適用於高階方程和系統。
假設對於所有 z，a2 都不為零。 然後我們可以劃分整個得到
進一步假設 a1/a2 和 a0/a2 是解析函數。 
