保罗·埃伦费斯特。 在量子力學 裏,埃倫費斯特定理 (Ehrenfest theorem )表明,量子算符 的期望值 對於時間 的導數,跟這量子算符與哈密頓算符 的對易算符 ,兩者之間的關係,以方程式表達為[1]
d d t ⟨ A ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ A , H ] ⟩ + ⟨ ∂ A ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle } ; 其中, A {\displaystyle A} 是某個量子算符 , ⟨ A ⟩ {\displaystyle \langle A\rangle } 是它的期望值 , H {\displaystyle H} 是哈密頓算符 , t {\displaystyle t} 是時間, ℏ {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數 。
埃倫費斯特定理是因物理學家保羅·埃倫費斯特 命名。在量子力學的海森堡繪景 裏,埃倫費斯特定理非常顯而易見;取海森堡方程式 的期望值,就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與哈密頓力學 的劉維定理 密切相關;劉維定理使用的泊松括號 ,對應於埃倫費斯特定理的對易算符 。實際上,從根據經驗法則,將對易算符換為泊松括號乘以 i ℏ {\displaystyle i\hbar } ,再取 i ℏ {\displaystyle i\hbar } 趨向於 0 的極限,含有對易算符的量子定理就可以改變為含有泊松括號的經典定理。
假設,一個物理系統的量子態 為 Φ ( x , t ) {\displaystyle \Phi (x,\ t)} ,則算符 A {\displaystyle A} 的期望值對於時間的導數為
d d t ⟨ A ⟩ = d d t ∫ Φ ∗ A Φ d x = ∫ ( ∂ Φ ∗ ∂ t ) A Φ d x + ∫ Φ ∗ ( ∂ A ∂ t ) Φ d x + ∫ Φ ∗ A ( ∂ Φ ∂ t ) d x = ∫ ( ∂ Φ ∗ ∂ t ) A Φ d x + ⟨ ∂ A ∂ t ⟩ + ∫ Φ ∗ A ( ∂ Φ ∂ t ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi ~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\\end{aligned}}} 薛丁格方程 表明哈密頓算符 H {\displaystyle H} 與時間 t {\displaystyle t} 的關係為
H Φ = i ℏ ∂ Φ ∂ t {\displaystyle H\Phi =i\hbar {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}} 。 其共軛複數 為
( H Φ ) ∗ = − i ℏ ∂ Φ ∗ ∂ t {\displaystyle (H\Phi )^{*}=-i\hbar {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}} 。 因為哈密頓算符是厄米算符 , H ∗ = H {\displaystyle H^{*}=H} 。所以,
( H Φ ) ∗ = Φ ∗ H ∗ = Φ ∗ H {\displaystyle (H\Phi )^{*}=\Phi ^{*}H^{*}=\Phi ^{*}H} 。 將這三個方程式代入 d d t ⟨ A ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle } 的方程式,則可得到
d d t ⟨ A ⟩ = 1 i ℏ ∫ Φ ∗ ( A H − H A ) Φ d x + ⟨ ∂ A ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle } 。 所以,埃倫費斯特定理成立:
d d t ⟨ A ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ A , H ] ⟩ + ⟨ ∂ A ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle } 。 使用埃倫費斯特定理,可以簡易地證明,假若一個物理系統的哈密頓量顯性 地不含時間,則這系統是保守系統 。
從埃倫費斯特定理,可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言,速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料,就可以分析量子系統的運動行為。
守恆的哈密頓量 [ 编辑 ] 考慮哈密頓算符 H {\displaystyle H} :
d d t ⟨ H ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ H , H ] ⟩ + ⟨ ∂ H ∂ t ⟩ = ⟨ ∂ H ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle H\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle } 。 假若,哈密頓量顯性地不含時間, ∂ H ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial t}}=0} ,則
⟨ H ⟩ = H 0 {\displaystyle \langle H\rangle =H_{0}} , 哈密頓量是個常數 H 0 {\displaystyle H_{0}} 。
位置的期望值對於時間的導數 [ 编辑 ] 試想一個質量 為 m {\displaystyle m} 的粒子,移動於一維空間.其哈密頓量 是
H ( x , p , t ) = p 2 2 m + V ( x , t ) {\displaystyle H(x,\ p,\ t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,\ t)} ; 其中, x {\displaystyle x} 為位置, p {\displaystyle p} 是動量 , V {\displaystyle V} 是位勢 。
應用埃倫費斯特定理,
d d t ⟨ x ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ x , H ] ⟩ + ⟨ ∂ x ∂ t ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ x , H ] ⟩ = 1 i 2 m ℏ ⟨ [ x , p 2 ] ⟩ = 1 i 2 m ℏ ⟨ x p p − p p x ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle [x,\ p^{2}]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle xpp-ppx\rangle } 。 由於 x p p − p p x = i 2 ℏ p {\displaystyle xpp-ppx=i2\hbar p} ,位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值:
d d t ⟨ x ⟩ = 1 m ⟨ p ⟩ = ⟨ v ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle =\langle v\rangle } 。 這樣,可以得到動量 p {\displaystyle p} 的期望值。
動量的期望值對於時間的導數 [ 编辑 ] 應用埃倫費斯特定理,
d d t ⟨ p ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ p , H ] ⟩ + ⟨ ∂ p ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle } 。 由於 p {\displaystyle p} 與自己互相交換,所以, [ p , p 2 ] = 0 {\displaystyle [p,\ p^{2}]=0} 。又在坐標空間裏,動量算符 p = ℏ i ∂ ∂ x {\displaystyle p={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}} 不含時間: ∂ p ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=0} 。所以,
d d t ⟨ p ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ p , V ] ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ V]\rangle } 。 將泊松括號展開,
d d t ⟨ p ⟩ = ∫ Φ ∗ V ∂ ∂ x Φ d x − ∫ Φ ∗ ∂ ∂ x ( V Φ ) d x {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V{\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(V\Phi \right)~dx} 。 使用乘法定則 ,
d d t ⟨ p ⟩ = ⟨ − ∂ ∂ x V ⟩ = ⟨ F ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\left\langle -\ {\frac {\partial }{\partial x}}V\right\rangle =\langle F\rangle } 。 在量子力學裏,動量的期望值對於時間的導數,等於作用力 F {\displaystyle F} 的期望值。
經典極限 [ 编辑 ] 取經典極限[2] , ⟨ ∂ V ( x ) ∂ x ⟩ ≈ ∂ V ( ⟨ x ⟩ ) ∂ ⟨ x ⟩ {\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}} ,則可得到一組完全的量子運動方程式:
d d t ⟨ x ⟩ = ⟨ v ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle v\rangle } , d d t ⟨ p ⟩ = − ∂ V ( ⟨ x ⟩ ) ∂ ⟨ x ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}} 。 這組量子運動方程式,精確地對應於經典力學的運動方程式:
d x d t = v {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v} , d p d t = − ∂ V ( x ) ∂ x {\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}} 。 取「經典極限」,量子力學 的定律 約化為經典力學 的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理 。這經典極限是什麼呢?標記 V ′ ( x ) {\displaystyle V\,'(x)} 為 ∂ V ( x ) ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}} 。設定 ⟨ x ⟩ = x 0 {\displaystyle \langle x\rangle =x_{0}} 。泰勒展開 V ′ ( x ) {\displaystyle V\,'(x)} 於 x 0 {\displaystyle x_{0}} :
V ′ ( x ) = V ′ ( x 0 ) + ( x − x 0 ) V ″ ( x 0 ) + 1 2 ( x − x 0 ) 2 V ‴ ( x 0 ) + … {\displaystyle V\,'(x)=V\,'(x_{0})+(x-x_{0})V\,''(x_{0})+{\frac {1}{2}}(x-x_{0})^{2}V\,'''(x_{0})+\ \dots } 。 由於 ⟨ x − x 0 ⟩ = 0 {\displaystyle \langle x-x_{0}\rangle =0} , ⟨ ( x − x 0 ) 2 ⟩ = σ x 2 {\displaystyle \langle (x-x_{0})^{2}\rangle =\sigma _{x}^{2}} ,
⟨ ∂ V ( x ) ∂ x ⟩ ≈ V ′ ( x 0 ) + 1 2 σ x 2 V ″ ( x 0 ) {\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx V\,'(x_{0})+{\frac {1}{2}}\ \sigma _{x}^{2}\ V\,''(x_{0})} 。 這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的,就可以取經典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關:
一個是量子態對於位置的不可確定性。 另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。 參考文獻 [ 编辑 ]