算符

在物理學领域裡，算符（operator）亦稱算子、運算子^[1]，有别于数学的算子，其作用於物理系統的狀態空間，使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜，需要用很多方程式來表明，假若能夠使用算符來代表，可以更為簡單扼要地表達論述。

對於很多案例，假若作用的對象有所迥異，算符的物理行為也會不同；但是，對於有些案例，算符的物理行為具有一般性，這時，就可以將論題抽象化，專注於研究算符的物理行為，不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性或守恆定律的論題。因此，在經典力學裏，算符是很有用的工具。在量子力學裏，算符為理論表述不可或缺的要素。

對於更深奧的理論研究，可能會遇到很艱難的數學問題，算符理論（operator theory）能夠提供高功能的架構，使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂，更能展現出內中物理涵意。

一般而言，在經典力學裏的算符大多作用於函數，這些函數的參數為各種各樣的物理量，算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」，作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。

在經典力學裏，粒子（或一群粒子）的動力行為是由拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)}$或哈密頓量${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}$決定；其中，${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{n})}$、${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=({\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},{\dot {q_{3}}},\dots ,{\dot {q}}_{n})}$分別是廣義坐標、廣義速度，${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{n})={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}}$是共軛動量，${\displaystyle t}$是時間。

假設拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$或哈密頓量${\displaystyle {\mathcal {H}}}$與某廣義坐標${\displaystyle q_{i}}$無關，則當${\displaystyle q_{i}}$有所改變時，${\displaystyle {\mathcal {L}}}$或${\displaystyle {\mathcal {H}}}$仍舊會保持不變，這意味著粒子的動力行為也會保持不變，對應於${\displaystyle q_{i}}$的共軛動量${\displaystyle p_{i}}$守恆。對於廣義坐標${\displaystyle q_{i}}$的改變，動力行為所具有的不變性是一種對稱性。在經典力學裏，當研讀有關對稱性的課題時，算符是很有用的工具。

特別而言，假設對於某種群${\displaystyle G}$的變換運算，物理系統的哈密頓量是個不變量；也就是說，假設${\displaystyle S\in G}$，

${\displaystyle S{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ',\ \mathbf {p} ')={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}$。

在這案例裏，所有${\displaystyle G}$的元素${\displaystyle S}$都是物理算符，能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態；儘管${\displaystyle S}$作用於這物理系統，哈密頓量守恆不變。

舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」${\displaystyle T_{a}}$能夠將粒子從坐標為${\displaystyle q_{i}}$移動至坐標為${\displaystyle q_{i}+a}$，以方程式表示：

${\displaystyle T_{a}f(q_{i})=f(q_{i}-a)}$；

其中，${\displaystyle f(q_{i})}$是描述一群粒子的密度函數。

給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統，則儘管${\displaystyle T_{a}}$的作用，這物理系統的哈密頓量${\displaystyle {\mathcal {H}}}$是個不變量，對應於坐標${\displaystyle q_{i}}$的動量${\displaystyle p_{i}}$守恆。

算符	標記	位置	動量
平移算符	${\displaystyle T(\mathbf {\Delta \mathbf {r} } )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} }$
時間演化算符	${\displaystyle U(\Delta t)}$	${\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+\Delta t)}$	${\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+\Delta t)}$
旋轉算符	${\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p} }$
伽利略變換算符	${\displaystyle G(\mathbf {v} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} }$
宇稱算符	${\displaystyle P}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} }$
時間反演算符	${\displaystyle \Theta }$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)}$

• ${\displaystyle R({\hat {\mathbf {n} }},\theta )}$是旋轉矩陣，${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$是旋轉軸向量，${\displaystyle \theta }$是旋轉角弧。

對於一個微小的平移變換，猜測平移算符的形式為

${\displaystyle T_{\epsilon }\approx I+\epsilon A}$；

其中，${\displaystyle I}$是「單位算符」──變換群的單位元，${\displaystyle \epsilon }$是微小參數，${\displaystyle A}$是專門用來設定平移變換群的生成元。

為了簡化論述，只考慮一維案例，推導平移於一維空間的生成元。將平移算符${\displaystyle T_{\epsilon }}$作用於函數${\displaystyle f(x)}$：

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )}$。

由於${\displaystyle \epsilon }$很微小，可以泰勒近似${\displaystyle f(x-\epsilon )}$為

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x)}$。

重寫平移算符的方程式為

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon \mathrm {D} )f(x)}$；

其中，導數算符${\displaystyle \mathrm {D} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$是平移群的生成元。

總結，平移群的生成元是導數算符。

在正常狀況下，通過指數映射，可以從生成元得到整個群。對於平移於空間這案例，重複地做${\displaystyle N}$次微小平移變換${\displaystyle T_{a/N}}$，來代替一個有限值為${\displaystyle a}$的平移變換${\displaystyle T_{a}}$ ：

${\displaystyle T_{a}f(x)=T_{a/N}\cdots T_{a/N}\ f(x)}$。

現在，讓${\displaystyle N}$變得無窮大，則因子${\displaystyle a/N}$趨於無窮小：

${\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)=\lim _{N\to \infty }(I-(a/N)\mathrm {D} )^{N}f(x)}$。

這表達式的極限為指數函數：

${\displaystyle T_{a}f(x)=e^{-a\mathrm {D} }f(x)}$。

核對這結果的正確性，將指數函數泰勒展開為冪級數：

${\displaystyle T_{a}f(x)=\left(I-a\mathrm {D} +{a^{2}\mathrm {D} ^{2} \over 2!}-{a^{3}\mathrm {D} ^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x)}$。

這方程式的右手邊可以重寫為

${\displaystyle f(x)-af'(x)+{a^{2} \over 2!}f''(x)-{a^{3} \over 3!}f'''(x)+\cdots }$。

這正是${\displaystyle f(x-a)}$的泰勒級數，也是${\displaystyle T_{a}f(x)}$的原本表達式結果。

物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容，請參閱條目C*-代数與蓋爾范德-奈馬克定理（Gelfand-Naimark theorem）。

在量子力學裏，算符的功能被發揮得淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定，態向量是向量空間的單位範數向量。在向量空間內，量子算符作用於量子態，使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變，量子算符必須是厄米算符^{[來源請求]}。假若變換前的量子態與變換後的量子態，除了乘法數值以外，兩個量子態相同，則稱此量子態為本徵態，稱此乘法數值為本徵值。^[2]:11-12

物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量。每一個可觀察量，都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋，每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值，而且，測得這本徵值的機會呈機率性，量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。^[3]:106-109

假設，物理量${\displaystyle O}$是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符${\displaystyle {\hat {O}}}$可能有很多不同的本徵值${\displaystyle O_{i}}$與對應的本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$，這些本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots }$，形成了具有正交歸一性的基底：^[3]:96-99

${\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$；

其中，${\displaystyle \delta _{ij}}$是克羅內克函數。

假設，某量子系統的量子態為

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle }$；

其中，${\displaystyle c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle }$是複係數，是在${\displaystyle |e_{i}\rangle }$裏找到${\displaystyle |\psi \rangle }$的機率幅。^[2]:50

測量這動作將量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$改變為本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$的機率為${\displaystyle p_{i}=|c_{i}|^{2}}$，測量結果是本徵值${\displaystyle O_{i}}$的機率也為${\displaystyle p_{i}}$。

在量子力學裏，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，期望值是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。

採用狄拉克標記，對於量子系統的量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$，可觀察量${\displaystyle O}$的期望值${\displaystyle \langle O\rangle }$定義為^[2]:24-25

${\displaystyle \langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle }$；

其中，${\displaystyle {\hat {O}}}$是對應於可觀察量${\displaystyle O}$的算符。

將算符${\displaystyle {\hat {O}}}$作用於量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$，會形成新量子態${\displaystyle |\phi \rangle }$：

${\displaystyle |\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O}}|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle }$。

從左邊乘以量子態${\displaystyle \langle \psi |}$，經過一番運算，可以得到

${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i}}$。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和，就是可觀察量${\displaystyle O}$的期望值：

${\displaystyle \langle O\rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i}}$。

將上述定義式加以推廣，就可以用來計算任意函數${\displaystyle F(O)}$的期望值：

${\displaystyle \langle F(O)\rangle =\langle \psi |F({\hat {O}})|\psi \rangle }$。

例如，${\displaystyle F({\hat {O}})}$可以是${\displaystyle {\hat {O}}^{2}}$，即重複施加算符${\displaystyle {\hat {O}}}$兩次：

${\displaystyle \langle O^{2}\rangle =\langle \psi \vert {\hat {O}}^{2}\vert \psi \rangle }$。

假設兩種可觀察量${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$的算符分別為${\displaystyle {\hat {A}}}$、${\displaystyle {\hat {B}}}$，它們的對易算符定義為

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\ {\stackrel {def}{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$。

對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符，當作用於量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$時，會給出

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]|\psi \rangle ={\hat {A}}{\hat {B}}|\psi \rangle -{\hat {B}}{\hat {A}}|\psi \rangle }$。

假設${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}$，則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」，否則，${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0}$，稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。

假設兩種可觀察量為不相容可觀察量，則由於不確定原理，絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題，不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗，裝備足夠優良的測量儀器，則對於某些量子系統，測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。^[4]

每一種經過測量而得到的物理量都是實值，因此，可觀察量${\displaystyle O}$的期望值是實值：

${\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}}$。

對於任意量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$，這關係都成立：

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}}$。

根據伴隨算符的定義，假設${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$是${\displaystyle {\hat {O}}}$的伴隨算符，則${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle }$。因此，

${\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }}$。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。^[3]:96-99

應用基底的完備性，添加單位算符${\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|}$於算符${\displaystyle {\hat {O}}}$的兩旁，可以得到^[2]:20-23

${\displaystyle {\hat {O}}=\sum _{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|=\sum _{ij}O_{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{j}|}$；

其中，${\displaystyle O_{ij}=\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle }$是求和式內每一個項目的係數。

所以，量子算符可以用矩陣形式來代表：

${\displaystyle {\hat {O}}\ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}}$ 。

算符${\displaystyle {\hat {O}}}$與它的伴隨算符${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$彼此之間的關係為

${\displaystyle \langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle =\langle e_{j}|{\hat {O}}^{\dagger }|e_{i}\rangle ^{*}}$。

所以，分別代表這兩個算符的兩個矩陣，彼此是對方的轉置共軛。對於厄米算符，代表的矩陣是個實值的對稱矩陣。

用矩陣代數來計算算符${\displaystyle {\hat {O}}}$怎樣作用於量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$，假設系統因此變換為量子態${\displaystyle |\phi \rangle }$：

${\displaystyle |\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle }$。

從左邊乘以本徵態${\displaystyle \langle e_{i}|}$，應用基底的完備性，添加單位算符${\displaystyle {\hat {I}}}$於算符的右邊，可以得到

${\displaystyle \langle e_{i}|\phi \rangle =\langle e_{i}|{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{j}\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\psi \rangle =\sum _{ij}O_{ij}\langle e_{j}|\psi \rangle }$。

右矢${\displaystyle |\phi \rangle }$、${\displaystyle |\psi \rangle }$分別用豎矩陣來代表

${\displaystyle |\phi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}}$ 、　　　　${\displaystyle |\psi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}}$ 。

兩個豎矩陣彼此之間的關係為

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}}$ 。

假設算符${\displaystyle {\hat {O}}}$是厄米算符，則其所有本徵態都相互正交。^[5]以矩陣來代表算符，可以計算出一組本徵值與對應的本徵態，每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質，可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式，就可以找到本徵值${\displaystyle \lambda }$：

${\displaystyle \det \left({\hat {O}}-\lambda {\hat {I}}\right)=0}$。

在這表格裏，算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間，則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符，不是單位向量。

算符名稱	直角坐標系分量表示	向量表示
位置算符	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}=x\\{\hat {y}}=y\\{\hat {z}}=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} }$
動量算符	一般狀況 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\\{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\\{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}}$	一般狀況 ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$
	電磁場 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}}$	電磁場（${\displaystyle \mathbf {A} }$是磁向量勢） ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$
動能算符	平移運動 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}}$	平移運動 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\hat {T}}_{x}+{\hat {T}}_{y}+{\hat {T}}_{z}\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\\\end{aligned}}}$
	電磁場 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}}$	電磁場（${\displaystyle \mathbf {A} }$是磁向量勢） ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}}$
	旋轉運動（${\displaystyle I}$是轉動慣量） ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}}$	旋轉運動 ${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}}$
勢能算符	N/A	${\displaystyle {\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)}$
總能量算符	N/A	含時位勢： ${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$ 不含時位勢： ${\displaystyle {\hat {E}}=E}$
哈密頓算符	N/A	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V\\&={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V\\\end{aligned}}}$
角動量算符	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {\hat {L}} =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla }$
自旋算符	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x}\\{\hat {S}}_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y}\\{\hat {S}}_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}}$ 其中， ${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$ 是自旋1/2粒子的包立矩陣。	${\displaystyle \mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}}$ 其中，向量${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$的分量是包立矩陣。
總角動量算符	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}}$
躍遷矩（電） （transition moment）	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=qx\\{\hat {d}}_{y}&=qy\\{\hat {d}}_{z}&=qz\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {r} }$

只思考一維問題，將位置算符${\displaystyle {\hat {x}}}$施加於位置本徵態${\displaystyle |x\rangle }$，可以得到本徵值${\displaystyle x}$，即粒子的位置：^[6]:220-221

${\displaystyle {\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle }$。

由於位置基底具有完整性，${\displaystyle {\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x}$，任意量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$可以按著位置本徵態形成的基底展開：

${\displaystyle |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x}$。

將位置算符${\displaystyle {\hat {x}}}$施加於量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$，由於算符${\displaystyle {\hat {x}}}$只作用於右矢${\displaystyle |x\rangle }$，與其它數學個體無關，可以移入積分式內：

${\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ {\hat {x}}|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ x|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x}$。

左矢${\displaystyle \langle \psi |}$與這方程式的內積為

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ x\langle \psi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x}$。

設定量子態${\displaystyle |\alpha \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle }$。由於位置基底具有完整性，${\displaystyle {\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x}$，量子態${\displaystyle \langle \psi |}$與${\displaystyle |\alpha \rangle }$的內積，可以按著位置本徵態形成的基底展開為

${\displaystyle \langle \psi |\alpha \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|\alpha \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle \mathrm {d} x}$。

將這兩個積分式加以比較，立刻可以辨識出全等式

${\displaystyle \langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =x\langle x|\psi \rangle }$。

設定量子態${\displaystyle |\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle }$。量子態${\displaystyle |\Psi \rangle }$、${\displaystyle |\psi \rangle }$的位置空間表現，即波函數，分別定義為

${\displaystyle \Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle }$、

${\displaystyle \psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle }$。

兩個波函數${\displaystyle \Psi (x)}$、${\displaystyle \psi (x)}$之間的關係為

${\displaystyle \Psi (x)=x\psi (x)}$。

總結，位置算符${\displaystyle {\hat {x}}}$作用於量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$的結果${\displaystyle |\Psi \rangle }$，表現於位置空間，等價於波函數${\displaystyle \psi (x)}$與${\displaystyle x}$的乘積${\displaystyle \Psi (x)}$。

表現於位置空間，一維動量算符為

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$。

將動量算符${\displaystyle {\hat {p}}}$施加於量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$，可以得到類似前一節得到的結果：

${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle }$。

應用位置基底所具有的完整性，對於任意量子態${\displaystyle |\phi \rangle }$，可以得到更廣義的結果：

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \phi |{\hat {p}}|\psi \rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \phi ^{*}(x)\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi (x)\mathrm {d} x\\\end{aligned}}}$ ；

其中，${\displaystyle \phi (x)=\langle x|\phi \rangle }$、${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$分別是量子態${\displaystyle |\phi \rangle }$、${\displaystyle |\psi \rangle }$表現於位置空間的波函數。

假設${\displaystyle |\psi \rangle }$是${\displaystyle {\hat {p}}}$的本徵態，本徵值為${\displaystyle p}$，則可得到

${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =p\langle x|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle }$。

將${\displaystyle |\psi \rangle }$改寫為本徵值為${\displaystyle p}$的本徵態${\displaystyle |p\rangle }$，方程式改寫為

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|p\rangle =p\langle x|p\rangle }$。

這微分方程式的解析解為

${\displaystyle \langle x|p\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{ipx/\hbar }}$。

所以，動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式，就可以推導求得這出結果。^[2]:50-54

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• 表示論
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