在物理學 裏，作用量 （英语：action ）是一個很特別、很抽象的物理量 。它表示著一個動力物理系統 內在的演化趨向。雖然與微分方程式 方法大不相同，作用量也可以被用來分析物理系統的運動，所得到的答案是相同的。只需要設定系統在兩個點的狀態，初始狀態與最終狀態，然後，經過求解作用量的平穩值 ，就可以得到系統在兩個點之間每個點的狀態。
皮埃爾·德·費馬 於1662年發表了費馬原理 。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是極值 。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律 的機械性，現今，一個物理系統的運動擁有了展望與目標。
戈特弗里德·萊布尼茨 不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於1682年發表了他的理論：光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑；更精確地說，阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題，如果要符合實驗的結果，玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙；但是，玻璃的密度大於空氣，應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易擴散 ；因此，光被約束在一個很窄的路徑內。假若，河道變窄，水的流速會增加；同樣地，光的路徑變窄，所以光的速度變快了。
1744年，皮埃爾·莫佩爾蒂 在一篇論文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中，發表了最小作用量原理 ：光選擇的傳播路徑，作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理，他證明了費馬原理：光傳播的正確路徑，所需的時間是極值 ；他也計算出光在反射 與同介質 傳播時的正確路徑。1747年，莫佩爾蒂在另一篇論文《On the laws of motion and of rest》中，應用這原理於碰撞 ，正確地分析了彈性碰撞與非弹性碰撞；這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。
萊昂哈德·歐拉 在同年發表了一篇論文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律，而這物理量是 ∫ p a t h v 2 d t {\displaystyle \int _{path}\ v^{2}\ dt\,\!} 連心力 作用時，正確的拋射體運動。
在此以後，許多物理學家，包括約瑟夫·拉格朗日 、威廉·哈密頓 、理查德·費曼 等等，對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。
微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，再加上這物理變數在某些點的已知數值或已知導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。
作用量方法是一種全然不同的方法，它能夠描述物理系統的運動，而且只需要設定物理變數在兩點的數值，稱為初始值與最終值。經過作用量平穩的演算，可以得到，此變數在這兩點之間任何點的數值。而且，作用量方法與微分方程式方法所得到的答案完全相同。
哈密頓原理 闡明了這兩種方法在物理學價位的等價：描述物理系統運動的微分方程式 ，也可以用一個等價的積分方程式 來描述。無論是關於經典力學 中的一個單獨粒子、關於經典場 像電磁場 或重力場 ，這描述都是正確的。更加地，哈密頓原理已經延伸至量子力學 與量子場論 了。
用變分法 數學語言來描述，求解一個物理系統作用量的平穩值 （通常是最小值），可以得到這系統隨時間的演化（就是說，系統怎樣從一個狀態演化到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演化對於任何微擾 必須是平穩 的。這要求導致出描述正確演化的微分方程式。
在經典物理裏，作用量這術語至少有七種不同的意義。每一種不同的意義有它不同的表達形式。
最常見的作用量是一個泛函 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} 函數 ，輸出是一個純量 。在經典力學裏，輸入函數是物理系統在兩個時間點 t 1 {\displaystyle t_{1}\,\!} t 2 {\displaystyle t_{2}\,\!} 廣義座標 q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
作用量 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} 拉格朗日量 L {\displaystyle L\,\!}
S [ q ( t ) ] = ∫ t 1 t 2 L [ q , q ˙ , t ] d t {\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!} 根據哈密頓原理 ，正確的演化 q t r u e ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} _{\mathrm {true} }(t)\,\!} 平穩 的作用量 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} 鞍值 ）。經過運算，結果就是拉格朗日方程式 。
簡略作用量 也是一個泛函，通常標記為 S 0 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!} S 0 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!} 廣義動量 p {\displaystyle \mathbf {p} \,\!}
S 0 = ∫ p d q {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int \mathbf {p} \,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\!} 其中， q {\displaystyle \mathbf {q} \,\!} 莫佩爾蒂原理 ，正確路徑的簡略作用量 S 0 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}
主條目：哈密頓主函數 。 哈密頓主函數 是由哈密頓-雅可比方程式定義的。哈密頓-雅可比方程式是經典力學的另一種表述。哈密頓主函數 S {\displaystyle S\,\!} S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} t 1 {\displaystyle t_{1}\,\!} q 1 {\displaystyle \mathbf {q} _{1}\,\!} t 2 {\displaystyle t_{2}\,\!} q 2 {\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!} t 2 {\displaystyle t_{2}\,\!} q 2 {\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!} S {\displaystyle S\,\!} S {\displaystyle S\,\!} 拉格朗日量 對於時間的不定積分 ：
S ( q , P , t ) = ∫ L [ q , q ˙ , t ] d t {\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=\int L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!} 更加地，可以證明 P {\displaystyle \mathbf {P} \,\!} a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
S ( q , P , t ) = S ( q , a , t ) {\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)\,\!} 主條目：哈密頓特徵函數 。 假若，哈密頓量 H {\displaystyle H\,\!}
H = α {\displaystyle H=\alpha \,\!} 其中， α {\displaystyle \alpha \,\!}
設定哈密頓特徵函數 W {\displaystyle W\,\!}
W ( q , a ) = S ( q , a , t ) − α t {\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)-\alpha t\,\!} 則哈密頓特徵函數 W {\displaystyle W\,\!}
更加地，
d W d t = ∂ W ∂ q q ˙ = p q ˙ {\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}=\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}\,\!} 對於時間積分：
W ( q , a ) = ∫ p q ˙ d t = ∫ p d q {\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=\int \mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}dt=\int \mathbf {p} \,d\mathbf {q} \,\!} 這正是簡略作用量 的方程式。
主條目：哈密頓-雅可比方程式 。 哈密頓-雅可比方程式 是經典力學的一種表述。假若，哈密頓-雅可比方程式是完全可分的；則哈密頓主函數 S ( q , P , t ) {\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!} S k ( q k , P , t ) {\displaystyle S_{k}(q_{k},\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!}
主條目：作用量-角度座標 。思考一個作用量-角度座標 的廣義動量變數 J k {\displaystyle J_{k}\,\!} 相空間 內，關於轉動運動或振蕩運動，廣義動量的閉路徑積分 ： J k = ∮ p k d q k {\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\mathrm {d} q_{k}\,\!} 這變數 J k {\displaystyle J_{k}\,\!} q k {\displaystyle q_{k}\,\!} 正則座標 是角度 w k {\displaystyle w_{k}\,\!} q k {\displaystyle q_{k}\,\!} J k {\displaystyle J_{k}\,\!} q k {\displaystyle q_{k}\,\!} S k ( q k ) {\displaystyle S_{k}(q_{k})\,\!} J k {\displaystyle J_{k}\,\!} J k {\displaystyle J_{k}\,\!} 微擾理論 與緩漸不變量 的研究。
參閱重言1形式 。
哈密頓原理闡明，如果一個物理系統在兩個時間點 t 1 {\displaystyle t_{1}\,\!} t 2 {\displaystyle t_{2}\,\!} 泛函 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} 一次變分 δ S {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!}
S = d e f ∫ t 1 t 2 L ( q , q ˙ , t ) d t {\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,dt\,\!} 其中， L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!} 拉格朗日函數 ，廣義座標 q = ( q 1 , q 2 , … , q N ) {\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},\ q_{2},\ \ldots ,\ q_{N}\right)\,\!}
假若， q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!} δ S = 0 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0\,\!}
從哈密頓原理可以導引出拉格朗日方程式．假設 q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!} ε ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!} δ q {\displaystyle \delta \mathbf {q} \,\!}
ε ( t 1 ) = ε ( t 2 ) = d e f 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!} 取至 ε ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!} 一次變分 為
δ S = ∫ t 1 t 2 [ L ( q + ε , q ˙ + ε ˙ ) − L ( q , q ˙ ) ] d t = ∫ t 1 t 2 ( ε ⋅ ∂ L ∂ q + ε ˙ ⋅ ∂ L ∂ q ˙ ) d t {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},\ {\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!} 這裏，將拉格朗日量 L {\displaystyle L\,\!} ε ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
應用分部積分法 於最右邊項目，
δ S = [ ε ⋅ ∂ L ∂ q ˙ ] t 1 t 2 + ∫ t 1 t 2 ( ε ⋅ ∂ L ∂ q − ε ⋅ d d t ∂ L ∂ q ˙ ) d t {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!} 邊界條件 ε ( t 1 ) = ε ( t 2 ) = d e f 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!}
δ S = ∫ t 1 t 2 ε ⋅ ( ∂ L ∂ q − d d t ∂ L ∂ q ˙ ) d t {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!} 要求作用量泛函 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} ε ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!} δ S {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!}
δ S = ∫ t 1 t 2 ε ⋅ ( ∂ L ∂ q − d d t ∂ L ∂ q ˙ ) d t = 0 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt=0\,\!} 請注意，還沒有對廣義座標 q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!} 完整限制 ）。這樣，根據變分法基本引理 ，可以得到拉格朗日方程式：
∂ L ∂ q − d d t ∂ L ∂ q ˙ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=\mathbf {0} \,\!} 在各個物理學領域，拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。
對應於廣義座標 q k {\displaystyle q_{k}\,\!} 廣義動量 p k {\displaystyle p_{k}\,\!} 共軛動量 ，定義為
p k = d e f ∂ L ∂ q ˙ k {\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!} 假設 L {\displaystyle L\,\!} q k {\displaystyle q_{k}\,\!}
∂ L ∂ q k = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\,\!} 則廣義動量 p k = d e f ∂ L ∂ q ˙ k {\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!} q k {\displaystyle q_{k}\,\!} 循環座標 。舉例而言，如果用極座標系 ( r , θ , h ) {\displaystyle (r,\ \theta ,\ h)\,\!} L {\displaystyle L\,\!} θ {\displaystyle \theta \,\!} 角動量 。
Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",（Dover Publications, New York, 1986）, ISBN 0-486-65067-7 .這領域最常引用的參考書。 列夫·朗道 and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1,（Butterworth-Heinenann, 1976）, ISBN 0-7506-2896-0 .這本書一開始就講解最小作用量原理。Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed.,（Addison Wesley, 1980）, pp. 35-69。 Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2,（Simon & Schuster Macmillan, 1996）, ISBN 0-02-897359-3 , OCLC 35269891 , pages 840–842。 Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",（Dover Publications, 1974）, ISBN 0-486-63069-2 。非常好的古早書。 Dugas, René, "A History of Mechanics",（Dover, 1988）, ISBN 0-486-65632-2 , pp. 254-275。
线性（平动）的量 角度（转动）的量 量纲 — L L2 量纲 — — — T 时间 : t s 位移积分 : A m s T 时间 : t s — 距离 : d 位矢 : r s x 位移 m 面积 : A m2 — 角度 : θ 角移 : θ rad 立體角 : Ω rad2 , sr T−1 頻率 : f s−1 Hz 速率 : v 速度 : v m s−1 面積速率 : ν m2 s−1 T−1 頻率 : f s−1 Hz 角速率 : ω 角速度 : ω rad s−1 T−2 加速度 : a m s−2 T−2 角加速度 : α s−2 T−3 加加速度 : j −3 T−3 角加加速度 : ζ s−3 M 质量 : m kg ML2 轉動慣量 : I m2 MT−1 动量 : p 冲量 : J m s−1 , N s 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s ML2 T−1 角动量 : L 角衝量 : ι m2 s−1 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s MT−2 力 : F 重量 : F g kg m s−2 , N 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J ML2 T−2 力矩 : τ moment M kg m2 s−2 , N m 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J MT−3 加力 : Y kg m s−3 , N s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W ML2 T−3 rotatum P kg m2 s−3 , N m s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W
![{\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cee0c85b006a45d487296b17782c626c041b79d)
![{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=\int L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67eaae9b7f3d2a6e098f0bbf839c28a77b6955bd)
![{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},\ {\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fabe04476c8943e5676ea94fb3b6aff8a476a3f)
![{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066955b204ff91fa042d9a4a3469e9cb2c3fa5a4)
